Theorie Generale Fonctionnelles

UNIVERS;

LIBRARY

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NIVERSAL

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rilKdlUK (’.KNKKALE

OUVRAGES EN PRÉPARATION

THÉORIE GÉNÉRALE DES PONf.TIONNELLES

Tomb II. — Composition. liquation.^ intépfro-diffé rende Iles et aux
dérivées fonelionnetles. Généralisations des fonctions anulytù/nes.

'l’oMB III. — Complé/zients et applications.

COl.LKCTION DK MONOGIIAI'IIIKS SUK L\ THftORIK DKS PONCTIONS

PUBLIÉB SOL'S LA DIBKCTION UE M. EMILE BOREL

DKS

Vito VOLT ERRA

Mrmbi'i’ il« rinsfitiit

Joseph PÉRÈS_

Piofesscur a la Sorlîdnne

TOME PR EM IKK

GÉNÉRALITÉS SUK LES FONCTIONNELLES
THÉORIE DES ÉQUATIONS INTÉGRALES

Préface de Vito VOLTERRA

PARIS

GAÜTHIER-VILLARS, ÉDITEUR

LIBRAIRE DU BUREAU UES LONUITUUKS, UK l’ÂCOLE POLYTECHNIQUR
55, Quai des Grands-Auguslins, 55

Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés

poûr tous pays.

PREFACE

Mes Leçons sur les équations intégrales et intégra- différentielle s
publiées en 1913 (' ) étant épuisées, l’éditeur m’a proposé d’en
faire une nouvelle édition. Mais leur réimpression, melfiie avec
des adaptations, n’aurait pas fourni un ouvrage au courant des
progrès réalisés par l’Analyse moderne. Les travaux sur le
sujet, publiés pendant les vingt dernières années, ont été trop
nombreux pour qu’il ne devînt pas nécessaire de modifier
substantiellement tout l’ouvrage.

D’autre part le concept de triiiler les équations intégrales
et intégro-dilTérentielles comme des chapitres de la Théorie des
fonctionnelles était déjà amorcé dans mes Leçons de ipiS. Le
développement ultérieur de ces théories a révélé des rapports
toujours plus étroits entre leurs diverses branches, de sorte
qu’un ouvrage consacré aux équations intégrales et intégro-
différentielles, qui aurait négligé ces rapports et abandonné le
concept précédent, présenterait de profondes lacunes. Il ne
suivrait pas l’ordre naturel du sujet et il mas{[uerait l’évolu-
tion historique de la théorie qui a amené aux méthodes

(') Leçons sur les équations intéi;rales et les équations intégro-
différentielles (Gaulliier-Vlllars, éditeur. Paris, 19131.

(*) J’ai exposé celle évolution historique dans la première de mes
Leçons sur les fonctions de lignes (Gaulhier-Villars, éditeur, Paris,
IQlS).

VIH

PRÉFACE

employées aujourd’hui pour traiter les équations intégrales
dans toute leur généralité. Ces méthodes sont en effet les mêmes
que celles qui ont servi au passage des fonctions ordinaires aux
fonctionnelles; il a suffi de les appliquer aux équations algé-
briques. Dans l’un et l’autre cas on se base sur l’application
systématique et uniforme du principe dit « principe de passage
du discontinu au continu ».

C’est ce procédé que j’ai introduit et développé dès mes
premiers travaux sur les fonctionnelles et sur les équations
intégrales. J’y ai insisté dans tous mes travaux suivants et il a
été employé par ceux qui se sont occupés plus tard des mêmes
sujets. Il était 4 onc logique de penser à élargir le plan des
Leçons de 19 1 3 , en transformant l’ouvrage dans une exposition
générale de la Théorie des fonctionnelles qui se rattacherait
très intimement à l’ordre d’idées en question.

Or un ouvrage ainsi conçu existait déjà, car, dans les Leçons
tenues à Madrid en 192G, j’avais exposé diverses branches de
la Théorie des fonctionnelles en donnant un développement
étendu à la partie consacrée auxéquationsintégralesetintégro-
difîérentielles. Ce volume, publié d’abord en espagnol et,
quelques années après, révisé et traduit en anglais ('), offrait
donc le plan d’après lequel il fallait composer le nouveau
traité. Mais il n’en donnait que le canevas, parce que l’exposé y
était limité souvent aux résultats ; les démonstrations et les
développements de calcul nécessaires pour les obtenir étant la
plupart du temps négligés. Plutôt qu’un traité complet, il était
un aperçu général des différentes théories, permettant de

(‘) Teoria de las funcionales y de las equaciones intégrales e inte-
,( Madrid , i9.î7). Tlieory of functionals and intégral
and integro’-dijferential équations (Loadon and Glasgow, Blackie and
Son, éditeurs, 1980).

PHÉFACË IX

s’orienter dans l’ensemble des méthodes et des |»roposiCions
fondamentales. Pour avoir un traité complet, il fallait y
reprendre les divers détails.

C’est ce que justement M. Pérès et moi-même nous nous
sommes proposé de faire par le présent ouvrage. Je suis sin-
cèrement reconnaissant à M. Pérès, qui connaît parfaitement
toutes les branches de la théorie des équations intégrales et de
la théorie des fonctionnelles et qui a apporté à ces parties
de l’Analyse d’importantes contributions originales, de s’être
associé à moi dans cette entreprise.

L’ouvrage sera divisé en trois volumes. Le premier comprend
les généralités sur la théorie des fonctionnelles et sur les
extensions les plus récentes, puis l’exposé de la théorie des
équations intégrales, mis à jour et faisant connaître les résultats
modernes à côté des plus anciennes recherches.

Le second volume débutera par la théorie de la composition,
qui se rattache trèsintimement à celles des équations intégrales.
Nous avons déjà publié sur ce sujet un traité spécial (’) et
nous insisterons surtout sur les résultats nouveaux. Les Cha-
pitres suivants seront consacrés aux équations intégro-difléren-
tielles et aux dérivées fonctionnelles qui constituent la suite
naturelle des équations intégrales. I^a dernière partie du second
volume sortira du cadre des théories précédentes : elle envisagera
l’application des fonctionnelles à l’extension de la théorie des
fonctions analytiques.

Le troisième volume concernera les compléments des théories
déjà développées et les applications; nous y exposerons en
particulier les théories modernes du Calcul des variations, les

(’) Leçons sur la composition et les fonctions permutables (Gajilhier-
V'illars, éditeur, Paris, 1924)*

X

PRÉFACE

fonctionnelles analytiques et les applications à la Mécanique,
à la Physique mathématique, à la Biologie, à la Statistique et
à l’Elconomie politique.

La rédaction du présent volume a été faite par M. Pérès en
se basant sur les deux ouvrages cités.

La première partie (Généralités sur les fonctionnelles) se
réfère au Chapitre I de ma Theory of functionals, avec des
extensions qui concernent particulièrement les travaux de
M. Fréchet sur les ensembles abstraits et l’Analyse générale,
ceux de M. P. Lévy, dont les Leçons d'analyse fonctionnelle
sont souvent citées, ceux enfin de M. F. Riesz, à qui l’on doit
nombre de mémoires fondamentaux. Bien des développements
appartiennent à M. Pérès et je signale ici l’exposé sur l’inté-
grale de Lebesgue, suivant une méthode dont le principe a été
donné par M. F. Riesz, divers points de la théorie des diffé-
rentielles et, en particulier, la forme générale du principe
d’inversion des différentiations fonctionnelles.

J’ai l’agréable devoir de remercier ici, en mon nom et de la
part de M. Pérès, M. L. Tonelli qui nous a accordé son précieux
concours en rédigeant la seconde partie du Chapitre II où est
exposée sa méthode pour l’étude de l’extrémum d’une intégrale
simple.

Dans la seconde partie de l’ouvrage (Équations intégrales),
on a repris les questions traitées au Chapitre II de ma Theory
of functionals et dans mes Leçons de i()i3. Il a été tenu compte
des principaux Mémoires et exposés didactiques, tels que ceux
de Hilbert, E. Schmidt, Heywood et Fréchet, Lalesco, Coursât,
Evans, Davis et beaucoup d’autres, que l’on trouvera cités dans
la bibliographie du volume. Tout en réservant pour le second
volume la théorie complète de la composition, on en a adopté

PRÉFACE

XI

ici les notations et Ton a fait usage de ses principes fondamen-
taux.

L’étude du cas singulier de l’équation de Volterra de
première espèce (zéro isolé de la diagonale du noyau) a été
faite en reprenant la méthode de mon premier mémoire sur le
sujet, avec un complément de M. Holmgren. M. Pérès y a
ajouté une autre méthode qui lui est propre et dont le dévelop-
pement est fort simple. Relativement aux équations dites
intégro-fonctionnelles, M. Pérès a ajouté l’exposé de divers
résultats obtenus par M. Popovici. La partie concernant les
équations de Fredholm a été complétée tant en ce qui concerne
la structure du noyau que pour Tétude des développements en
séries de fonctions fondamentales et M. Pérès a donné une
nouvelle façon d’introduire les fonctions fondamentales de
Schmidt. Quelques pages ont été consacrées aux équations
intégrales à valeurs principales, avec les recherches si
importantes de M. G. Giraud. Enfin, en ce qui concerne les
équations non linéaires, on a exposé les résultats de
M. E. Schmidt et ceux, tout récents, de M. Leray.

La théorie des éijuations intégrales se prolonge, dans l’Analyse
générale de Fréchet et Moore, par l’étude des transformations
générales dans les espaces abstraits et de leur inversion. Nous
avons volontairement laissé de côté cette extension, qui sera
plus à sa place dans le troisième volume de notre ouvrage.

J’espère que les efforts accomplis par M. Pérès et par moi-
même pour la préparation de ce volume, serviront à donner un
cadre, le plus possible complet, des théories rattachées aux
équations intégrales et fourniront une préparation suffisante
pour les théories qui seront développées dans les volumes sui-
vants.

Les Auteurs tiennent à exprimer ici leur gratitude aux
excellents éditeurs Gauthier-Villars. Ils sont heureux d’adresser

XII

PRÉFACE

leurs remerciements à M‘‘® Freda, qui, avec sa profonde con-
naissance du sujet, a bien voulu les aider dans la révision dés
épreuves. Ils présentent enfin à M. Borel, qui a accueilli
l’ouvrage dans son importante Collection de monographies sur
la Théorie des fonctions^ leurs sentiments de profonde recon-
naissance.

ViTO VoLTEKRA.

THÉORIE GÉNÉRALE

DES

FONCTIONNELLES

LIVKE I.

OÉNÉUALH ÉS

si: K

LES FONCTIONNELLES

CHAPITKE I.

LA NO I ION DE FONCTIONNEI.U:.

1. EXEMPI.E PIIÉLIMLNAIHE.

1. Avant «le définir les concepls dont, nous nous proposons l’élnde,
nous ovaininerons nn problème très simple de maxima cl minima
pour moniror commenl ou passe nalurcllemenl de la considération
des fonctions d'un nombre fini de variables h ccWv do quantités qui
dépendent (Vune infinité de v(n'iables, à savoir les valeurs, en
nombre infini, assumées par une fonction arbitraire x(t) dans un
inter\alle (a, b) de valeurs de t.

2. Soit le produit de deux nombres x, j- dont la somme est cons-
tante. Il est connu que ce produit est maximum quand les deux
nombres sont égaux. Interprétant géométriquement ce résultat, nous
obtenons l’énoncé suivant ; de tous les rectangles qui ont un môme
périmètre, c’est le carré qui donne Faire maximum.

VOl.TKRRA

CHAPITRE 1.

Passons au problème plus général de déterminer le polygone plan
de n côtés qui, pour un périmètre donné, renferme l’aire maximum.
Il est facile de voir que la solution est donnée par le polygone régu-
lier. Si nous notons les 2/1 coordonnées des sommets du polygone par

la quantité qui doit être rendue maximum est l’aire

I \

fonction des 2/1 variables x’,-, yi soumises à la condition

-+- Xvf = CDiist . ,

I

en posant

A.r, ./•( — Xi, \yt = y,,. , — j,-.

3 . Si nous considérons eniin le problème de déterminer, parmi
toutes les courbes fermées G de longiumr donnée, celle qui limite
l’aire A maximum (cercle), la quantité A est donnée par

* 2 J'^ ( — y )

et il y a la condition

*3 ) / V -f- dy- — f coiist.

Les expressions précédentes dépendent, non plus d'un nombre
fini de variables, mais des valeurs des coordonnées de tous les
points, en nombre infini, de la courbe G. Au lieu d’un problème <le
calcul différentiel ordinaire, portant sur la" détermination d’un
nombre fini de quantités inconnues, nous avons affaire à un problème
de calcul des variations, dans lequel l’inconnue est une fonction (par
ses valeurs en tous les points d’un certain intervalle) ou une courbe
(par les coordonnées de tous ses points).

4 . Dans le cas du polygone à n sommets, nous avions à trouver

LA NOTION DE FONCTIONNELLE.

3

2rt quantités ), où figure un indice /,

indice discontinu et variable par valeurs entières de i à n.

Dans le cas d’une courbe fermée, par contre, il est nécessaire, pour
la déterminer, de connaître les coordonnées x et r de tous ses points

x = x(t), y=Yit) (a<t'^h)

avec

x{a ) r=i x( ô ), y(a) — y(f>).

Ces coordonnées dépendent d’un paramètre / qui varie de façon con-
tinue dans un intervalle (a, b-). Ce paramètre continu t prend la
place de l’indice discontinu i et les sommes qui figurent dans les for-
mules (i) et (i') sont remplacées, dans (2) et (2'), par des intégrales
dans lesquelles le paramètre t est variable d’iutégralion.

i), La marche suivie dans c(!t exemple particulier pour passer d’un
problème comportant un nombre fini d’inconnues à un problème
dans lequel l’inconnue est une fonction (problème à une Infinité
d’inconnues) a le caractère d’un principe général, et dont la portée
se précisera par la suite. Dans beaucoup de cas analogues, et pour
passer de même d’un problème d(‘ Vanalyse ordinaire à un problème
du calcul fonctionnel, il sera en fait suffisant de remplacer un indice
discontinu i par un indice continu (ou paramètre) t et de remplacer
les sommes par rapport à i par des intégrales ndatives à la variable
<l’intégration t.

iiG principe, que nous appellerons princi/ie de passage du discon-
tinu au (‘ontinu, a été donné par M. Volterra dès ses premiers travaux
sur les qmvslions qui font l’objet du présent Ouvrage. Il constitue une
méthode de découverte qui s’est révélée extrêmement féconde. Son
rôle a été et reste fondamental dans les progrès du Calcul fonc-
tionnel.

H. - LA NOTION DK FONCTIONNELLE.

(>. Cette notion fondamentale apparaît comme généralisant celle
de fonction de plusieurs variables.

Une fonction de n variables

('O z=f{x^,xt c„)

<>st une quantité dont la valeur est bien déterminée par celle des para-

CHAPITRE I.

mètres j?,, Xj, . . variables dans un certain champ qui constitue
le domaine d’existence ou de définition de la fonction considérée. Du
point de vue géométrique on peut faire correspondre à chaque sys-
tème de valeurs ari , , æ,, un point de l’espace à n dimensions;

le champ ou domaine d’existence de / aura une image géométrique
dans cet espace et à tout point du domaine ainsi représenté corres-
pondra une valeur de la fonction.

Une autre représentation géométrique est la suivante : soit dans le

plan (f, jc) {Jig. i) des droites d’abscisses fixes

Faisons correspondre à l’ensemble d(îs valeurs c,, .... x,, les

points

,/-i )> ^1, X-i), iVÏ:)(^3, .r.i ), ...

ou encore^ la ligne polygonale M<, Mj, Mu, ... ; la fonction (3) des
n variables X\, . . ., Xn pourra être considérée comme fonction

de cette ligne polygonale et sera définie pour un certain ensemble de
telles lignes.

7. Pour passer enfin à la notion de fonctionnelle, il suffit de rem-
placer l’ensemble des variables {xt , x.,, . . . , Xn) par une fonction x{t)
définie dans un intervalle (a, b), ce qui géométriquement revient à
remplacer la ligne polygonale précédente par la courbe représenta-
tive de la fonction

x(t} (a^t^by,

on peut dire si l’on veut que l’on est dans un espace dont le nombre

LA NOTION DE FONCTIONNELLE.

5

de dimensions est infini, avec la puissance du continu (cf. infra,

ÜI).

Une fonctionnelle de x{t) dans l’intervalle (a, b) sera une
quantité z, que nous noterons

dont la valeur est déterminée par celles de la fonction x{t) sup-
posée connue lorsque t varie entre a et b, cette fonction x(t) pou-
vant être prise arbitrairement, sous des restrictions qui limitent
le champ fonctionnel de définition ou d’existence de z.

8. Le concept ainsi introduit contient naturellement, comme cas
particulier, celui de fonction de plusieurs variables. C’est ainsi, par
exemple, que si z d<^pend seulement des valeurs a?,, Xj, prises par j:(f)
en deux points fixes t\ et t., de l’intervalle, ce sera une fonction ordi-
naire

( • ) ) z — fi X\. x.)

et il est inutile de recourir pour la représenter à une autre notation.

Considérons maintenant, par exemple.

C’cîsl, si l’on veut, une fonctionnelle de mais dont on peut

dire (ju'elle dépend seulement de la valeur de x{t) au point ti et au
point infiniment voisin.

L’étude de fonctionnelles telles que les précédentes (5) ou (0) ne
fait pas sortir du domaine de l’analvse ordinaire.

I..e cas véritablement nouveau, etauque. nous nous attachons parla
suite, est celui où z dépend eflectivement de toutes les valeurs prises

(') Dans ses travaux de 1 H.S 7 ( Ril>lii>^rapliie I, [108]) où fut introduite la notion
«le fonctionnelle, M. Volterra employait la notation f| j^x(<)j |' •! utilisé ulté-

rieurement la nutation du texte.

Quand il n’y a pas ambiguïté, on peut se «lispenser d’indi«|uer les limites de

variations de t et é«:rire F[j;(<)] au lieu de F

KM-

6

CHAPITRE 1.

par x{t) dans l’intervalle b) f z est alors une fonction d’une infi-
nité continue de variables.

9. Précisons, avant d’aller plus loin, d’autres aspects du concept
de fonctionnelle et fixons des notations.

La fonction x(t) peut être dite fonction-argument on simplement
argument de la fonctionnelle F[a7(<)].

Il peut arriver que l’intervalle (a, 6), dans lequel on prend la
fonction-argument pour en déduire la fonctionnelle, soit lui-même
variable. Pour un argument x{t) assigné dans un intervalle (ao, 6o)
(auquel a ex b restent intérieurs), la fonctionnelle sera alors fonction
ordinaire de a ou 6.

Notons également le cas où contient aussi d’autres variables»,
(3, ... ; nous écrirons alors

F a, [i, . . . )j = 3 (a, [j, . . .

pour indiquer que l’opérateur fonctionnel F qui, applicjué à l’argu-
ment variable a?, donne le résultat z doit être appliqué en supposant
que les variables «, jS, . . . ont des valeurs assignées; z est alors
une fonction ordinaire de «, j3, ... mais ne dépend pas de /.

La fonctionnelle peut enfin contenir des paramètres X, p, .
dehors de l’argument x(^t')

3 = F|^^.r(/); X, 1.1, ... j.

(•n

Dans ce cas, pour chaque système de valeurs de ces paramètres, 3 est
une fonctionnelle de .c(f), au sens précédent; elle est par contre une
fonction ordinaire de p, ... quand est fixe. Nous voyons donc
que dans ce cas V opérateur fonctionnel^ fait correspondre à chaque
fonction »?(/), donnée dans un certain champ, une autre fonction

3( X, II, . . .) = F j^.x( t)\ X, (1, . . .

Nous obtenons ainsi la notion de transformation fonctionnelle.

Lorsqu’il n’y aura pas d’ambiguïté sur le rôle des variables t et a,
(3, . . . ou X, fl, . . . , nous pourrons omettre a et 6 et écrire simple-
ment

P- • • •)] ou • • •!•

LA NOTION DE FONCTIONNELLE.

7

10. La noliou de fonctionnelle peut être immédiatement étendue
aux quantités z qui dépendent de toutes les valeurs de plusieurs fonc-
tions, par exemple de

x = x(t), y=y(u).

dans les intervalles

La considération de telles fonctionnelles peut avoir son intérêt,
mais il convient de noter qu’elles se réduisent immédiatement aux
précédentes où apparaissait seulement une fonction-argument . La
donnée du couple x{t), y{u) revient en elTet à la donnée d’une
seule fonction définie par les valeurs de x et y dans un intervalle
dont la longueur est la somme des longueurs de (a, 6) et de (c, d\

11. On obtient par contre une véritable généralisation en considé-
rant une quantité z qui dépend de tontes les valeurs prises par une
ou plusieurs fonctions de plusieurs variables dans les champs res-
pectifs Ci, C.., ... { ' ) •

•J — F* f Y 1 ( 1 , "2 . • • • . /i ) . 9 2 ^ 1 î 2 ' • • ’ * , . . . ].

C.

12. Le concept de fonctionnelle comprend enfin celui de fonction
d^une ligne et, plus généralement, d’w/t liyperespace (-),

Nous dirons, en (fffet, qu’une grandeur 2 : est fonction d’un hyper-
espace variable S, contenu dans un espace Sifn^r) et défini
paramètrùjuement par des équations

•Tl — ?(( ^1 , <2, tr) ( /' = 1 , -i fl)

lorsqu'à tout S,, correspond une valeur de z

3 = FfS.].

z est donc une fonctionnelle des n fonctions eit, dépendant de
toutes leurs valeurs dans le champ C, à r dimensions, pour lequel
elles sont définies. Mais il faut remarquer (juc z n’est pas la fonc-
tionnelle générale des n fonctions tp,. Si les paramètres t^ sont rem-
placés par d’autres Uk au moyen de la transformation

tk= tk{ui, Ui, . .., «/•) {h = 1 , •>., /•)

{') Cf. c. Fahry, [23] et [24]. Les nombres entre crochets se rapportent à la
bibliographie donnée à la fin du Volume.

(") Cf. V, VOLTERRA, [108] et [109].

8 CHAPITRE I.

avec le déterminanl fonctionnel

D( ii, h tr) .

— ^ O,

D(ai, Wï, . . Ur)

les coordonm^es jci seront d’autres fonctions des nouvelles
variables u

iC, = '>/(«,. Mi, tr),

mais la quantité qui dépend uniquement de la forme de l’hyper-
espace S,, et non de son mode de représentation paramétrique, reste
inchangée.

Z est donc une fonctionnelle des 9 / jouissant de la propriété parti-
culière suivante : elle est mcarian^e lorsque les <p, sont remplacés par
d’autres fonctions c|/( déduites des premières par un changement
des paramètres.

111. - CHAMPS FONCTIONNKLS.

13. Une fonctionnelle F )] de la fonction x{t) ne sera définie

en général que lorsque varie dans un certain champ fonctionnel.
C’est ainsi, par exemple, que la fonctionnelle

F

h

:r{t) tU

est définie seulement dans le champ di!S fonctions x qui sont inté-
grables dans l’intervalle (rt, b) (champ dépendant d’ailleurs de la
définition adoptée pour l’intégrale). La fonctionnelle

P[^(Ol = J f[t, X,

dx

7ft'

d"x

~dt

7 )

dt

est définie seulement pour les fonctions x(^t) qui ont d<‘s dérivé(îs
jusqu’à l’ordre n et pour lesquelles

?(0

</" X \

~dF }

est intégrable dans l’intervalle (a, b).

14. L’étude des champs fonctionnels, c’est-à-dire des ensembles
dont les éléments sont des fonctions, est évidemment d’un intérêt

LA NOTION DE FONCTIONNELLE.

9

primordial pour une compriîhension exacte du concept do fonction-
nelle.

Pour une fonctionnelle F le champ fonctionnel le plus vaste

est celui de toutes les fonctions possibles x{l) définies dans l’inter-
valle («, b) : il constitue en somme un « espace » à une infinité non
dénombrable de dimensions (le nombre de ses dimensions a la puis-
sance du continu en ce que chaque élément de cet ensemble est défini
par un ensemble de valeurs de x correspondantes à tontes les valeurs
de t entre a et b).

Pi;u de fonctionnelles sont définies dans la totalité de ce champ et
les théories que nous développerons par la suite suppos(?ronl toujours
un domaine de définition plus ou moins restreint.

11 semble d’ailleurs <pi’il n’y ait point là une insuffisance de nos
inoyeus d’analyse et que les restrictions dont il vient d’être question
soient dans la nature des choses : les difficultés que présente déjà la
conception arithmétique du continu se retrouvent, à une puissance
supérieure, dans la conception du champ de toutes les fonctions pos-
sibles. Il est donc sans inconvénient, dans certains cas même néces-
saire. de se limiter à des classes de fonctions telles que chacune soit
caractérisée par une infinité dénombrable de conditions ('). La classe
des fonctions intéressantes et auxquelles on se bornera dépendra du
problème envisagé et aussi de nos moyens d’analyse.

1.‘). Sans prétendre on aucune façon à être complet, citons ici les
champs fonctionnels les plus couramment utilisés.

Un champ assez restreint, mais d’intérêt notable, est celui des fonc-
tions analytiques sur le segment (a, h). Il a une infinité dénombrable
de dimensions en ce sens que ses éléments (x{t) sont déterminés par
les valeurs de a et des dérivées successives en un point fixe (coeffi-
cients d’un développement de Taylor).

Un champ 'plus vaste est celui des fonctions continues x{t). 11 a
aussi une infinité dénombrable de dimensions, puisqu’une fonction
continue est déterminée par ses valeurs aux points d’abscisses ration-

(') Pour toutes ees questions le Lecteur se reporlera aux Ouvrages de M. Borel
et, en particulier, aux Notes III, IV et VI de ses Leçons sur la llicorie des fonc-
tions [ 9 |.

10

CHAPITRE 1.

nelles ou parce qu’elle peut être considérée comme limite de fonctions
analytiques, ou même de polynômes (Weierstrass [119]).

Plus étendu encore est le champ des fonctions limites de fonctions
continues. En général nous pouvons adopter la classification bien
connue de Baire [8] qui s’applique aux fonctions actuellement les
plus intéressantes pour l’analyse.

D’autres champs intéressants seront ceux des fonctions dérivables
jusqu’à un certain ordre, des fonctions à variation bornée, des fonc-
tions dont le carré est sommable, etc.

16. Par la suite le champ auquel nous nous limiterons dépendra,
comme il vient d’être dit, de la nature de la question traitée. Mais il
nous arrivera de le restreindre encore pour la simplicité de l’exposi-
tion. Il y a ainsi souvent gros avantage à se limiter à la considération
des {oncVions généralement continues {') o\i hien généralement con-
tinues ainsi que quelques-unes de leurs dérivées et, les résultats
étant acquis, il est aisé de passer, par des procédés de prolongement
dont le lecteur aura assez d’exemples, aux cas plus généraux.

IV. - FONCTIONNELLES ET FONCTIONS D’UNE INFINITÉ
DÉNOMBRABLE DE VARIABLES.

17. Les considérations précédentes appellent quelques remarques
sur le rapport entre la théorie des fonctionnelles et celles des fonc-
tions d’une infinité dénombrable de variables.

Une fonction analytique de t est déterminée par les coefficients
(« 0 , a», • • • , «/M • • •) de son développement en série de Taylor; une
fonction sommable et de carré sommable peut être considérée comme
définie par les coefficients (c,, c., . . ., c„, . . .) d’un développement
en série du type de Fourier

Cl -+- Cl 92(«) -4-. . C„ 9„(#) -H. . .,

procédant suivant des fonctions 9 , (<), 92 (^)» •••! 9n(t), ... données
et formant un système orthogonal complet (cf. Chap. X).

Dans l’un et l’autre cas les fonctionnelles correspondantes s’identi-

(^) G^esl-à-dire continues sauf en un nombre fini de points de discontinuité.

LA NOTION DE FONCTIONNELLE.

1 1

fieront avec des fonctions d’une infinité dénombrable de variables et,
du point de vue géométrique, elles pourront apparaître comme fonc-
tions d’un point variable dans un espace à une infinité dénombrable
de dimensions : espace analytique, étudié tout d’abord par Pincherle
et Bourlel ( ' ) dans le premier cas, espace hilbertien dans le second cas.

18. Si l’on se place au point de vue réaliste qui est celui de
M. Borel et de beaucoup de spécialistes de théorie des ensembles, et
si l’on admet avec eux que la notion de fonction la plus générale est
en quelque sorte au delà des mathématiques, toute portion utilisable
de l’espace fonctionnel général n’aura pas une puissance supérieure
à celle des ensembles précédents. Le calcul fonctionnel a-t-il donc,
autrement qu’en apparence, une généralité supérieure à celle des
théories sur les fonctions d’une infinité dénombrable de variables,
théorie de l’espace hilbertien par exemple?

19. l’our répondre à cette question nous ferons d’abord remar-
quer que le calcul fonctionnel est capable de toute théorie de ce
genre, actuellement établie ou à venir. De plus, et c’est là un point
que l’on apercevra clairement par la suite, le point de vue purement
fonctionnel, qui est celui de M. Volterra, est nécessaire pour mettre
en évidence, de la façon la plus immédiate, des concepts dont l’utilité
ne peut être mise en question.

L’un de ces concepts est celui de dérivée fonctionnelle {cf.
Chaj). IV) qui ne pourrait en aucune façon être suppléé par celui de
dérivée d’une fonction d’une infinité dénombrable de variables : si
par exemple, on envisage une fonctionnelle F comme fonction des
coefficients d(* Fouricr de son argument les dérivées par-

lielles — dépendent essentiellement du choix du système orthogonal

(.fC i

9l(0) •••. ?n(0, ••••

elles n’ont pas le caractère Intrinsèque que présente le concept tout
difFérent de dérivée fonctionnelle.

A cet égard ou pourrait dire que, dans le calcul fonctionnel géné-
ral, les théories sur les fonctions d’une infinité dénombrable de
variables occupent une position assez analogue à celle de la géomé-

(‘) Cf. l’iNCHERI.E, [8i|; ttoCRI.ET, [ 1 1 ].

12

CHAPITRE I.

trie cartésienne par rapport à l’analyse vectorielle : la représentation
d’une fonctionnelle par une infinité dénombrable de variables implique
le choix d’un système de référence [ qui sera par exemple défini par
la suite orthogonale des 9i(<)].

20. Historiquement le développement de l’Analyse fonctionnelle a
précédé de bien des années celui des théories concernant l’espace
hilbertien. Ces dernières théories ont pris récemment un grand
développement par suite de leur application à la physique des quanta.
Mais divers Mémoires marquent un retour au point de vue initial.
Nous citerons en particulier : une intéressante étude de Ilelsenberg
et Pauli sur la dynamique des quanta [03]; les travaux de
Conforte [12] qui étend à l’analyse fonctionnelle les théories de Ricci
et le parallélisme de Lcvl-Civlta; les résultats obtenus par Fanlappié
en ce qui concerne le calcul des matrices, résultats (pii découlent d(!
sa théorie des fonctionnelles analytiques.

Cette dernière théorie [27], que nous aurons à exposer dans iiii
autre volume du présent Ouvrage, aboutit essentiellement à l’appli-
cation de la notion de dérivée fonctionnelle dans une question où,
a priori, il pouvait paraître difficile d’appliquer les méthodes mêmes
du calcul fonctionnel et où pourtant elles s(^ sont révélées très
fécondes.

21. Les remarques précédentes n’impliquent point, bùm entendu,
que l’on doive négliger les méthodes basées sur les fonctions à une*
infinité dénombrable de variables : MM. Hilbert, Schmidt, Vitali et
d’autres auteurs en ont tiré une ample moisson de beaux résultats.
NotJS aurons d’ailleurs à faire place à ces méthodc's dans le présent
Ouvrage.

V. - ENSEMBLES ABSTHAIÏS ET ANALYSE GÉNÉBALE.

22. Notons pour terminer qu’une théorie générale qui englobe non
seulement les champs fonctionnels, mais les ensembles abstraits dont
les éléments peuvent être de nature quelconque et non spécifiée, a
été développée indépendamment par M. Fréchet et E. IL Moore ('),

(') E. H. Mookb, [78]; PafeHET, [35].

LA NOTION DE FONCTIONNELLE. li

dans une sth-io de mémoires qui donnent les bases d’une nouvelle
théorie appelée Analyse générale.

Le point de départ de M. Fréchet peut être résumé de la façon
suivante : on ne peut limiter à l’avance le champ dans lequel doit
être choisie la variable d’une fonctionnelle; il faut donc développer les
démonstrations « sans faire entrer en ligne de compte la nature de la
variable envisagée et en retenant les propriétés lopologiques de
l’espace, du champ de variation ». E. H. Moore propose, de môme,
d’extraire les notions plus abstraites communes à plusieurs théories
et de les généraliser ainsi en abandonnant pour chacune les propriétés
parliculières qui dépendent des éléments concrets qu’elle concerne.
C’est la marche qu’a toujours suivie la pensée mathématique et, pour
ne citer qu’un exemple, des principes analogues sont à l’origine du
développement de la théorie des vecteurs.

23. Bien qui* nous ne puissions, dans le présent Ouvrage, rester
au point de vue de Y A nalyse générale, nous pensons qu’il.j a gros
avantage à s’> placer au début. Aussi envisagerons-nous le cas
iV ensembles abstraits dans ce paragraphe et au début du prochain
Chapitre, en renvoyant h? lecteur, pour plus de détails, aux travaux
<l(*s auteurs déjà cités, ainsi qu’à ceux de IJrvsohn, Alexandrol,
I’. Lévy et beaucoup d’autn's. Nous signalerons tout particulièrement
le réc<>nt Trait»'* de M. Fréchet (').

2i. Le concept di* fonctionnelle, ou d’opérateur fonctionnel, s’étend
bien entendu sans difliculté à ces ensembles abstraits. Nous pourrons
dire que C[A] est une. fonctionnelle uniforme dans un ensemble
abstrait E si à tout élément A de E correspond un nombre bien
déterminé U [A]. M. Fr<’*chet étend même ce concept à des relations
entre deux éléments de nature quelconque.

L’étude des propriétés d’un tel concept ne peut-être développée
qu’en choisissant quelques propriétés imposées aux éléments de E.
C’est ainsi que l^Cf. le Chapitre suivant) pour étudier la continuité et
développer ensuite un calcul infinitésimal d(*s fonctionnelles géné-
rales, il faudra transport»*!’ le concept de distance au champ abstrait
et préciser les propriétés infinitésimales des ensembles d’éléments de
ce champ.

(*) [ 48 ], où l’on trouvera une bibliographie très eoniplète.

CHAPITRE I.

<4

25. St, en particulier, étant donné un ensemble E, nous consi-
dérons comme éléments d’un nouvel ensemble les ensembles partiels
E|, Ea, . . E,i, . . . qui peuvent être extraits de E nous pourrons
définir une fonction ensemble V[E„] et c’est là une généralisation
du concept de fonction de ligne, puisqu’une ligne est un ensemble
particulier extrait de l’espace dans lequel elle est placée.

D’importance particulière sont les fonctions additives d’ensemble
qui jouissent de la propriété suivante : E| et Ea étant deux ensembles
sans éléments communs et

Ë = E,-hEï

l’ensemble formé par leur réunion, on a
(7) V[Ë| = VfE,J-HV[E,J.

26. Un premier exemple très simple de fonction addilive
d’ensemble est donnée par l’accroissement

V=/(^i) -/(<*)

d’une fonction dans un intervalle (<,, fa), intervalle qui constitue un
ensemble particulier des points du segment (a, b). Cette fonction
d’ensemble sert à définir l’intégrale de Slieltjes ( ' )

quand la limite existe; les termes de la somme au second membre
sont les produits de valeurs x,- comprises entre le maximum et le
minimum de x{t) dans l’intervalle tr) par l’accroissement cor-

respondant

et la limite concerne le cas où l’amplitude maxima p des n inter-
valles en lesquels est divisé le segment (a, b) tend vers zéro.

27. Un autre exemple est donné par la mesure M(E) d’un ensemble
de points d’un espace ordinaire, la propriété d’additivité exprimée

(') Qf- par exemple P. Lévy, [75], (’.liap. III. Nous revenons sur cette notion
page 56,

LA NOTION DE FONCTIONNELLE.

l5

par (7) devant être remplie pour toute définition acceptable de la
mesure. La mesure étant d’ailleurs définie élémentairement pour
les figures simples (intervalle, rectangle, etc.), le problème général
de la mesure est un cas particulier du suivant : prolonger, pour
d’autres ensembles, une fonction addiiive connue pour des domaines
élémentaires (' ).

(') Le développement de telles questions nous entraînerait en dehors de notre
sujet; le lecteur pourra se reporter au livre de M. de La Vallée Poussin [105].

CHAPITHE 11.

CONTINUITI-: DKS FONCJIONNKLIJÎS BT QUESTIONS CONNEXES.

I. - LIMITE ET DISTANCE DANS UN ESPACE ABSTRAIT.

LA NOTION D’ENSEMBLE COMPACT.

I. Espaces (if) de Fréchet. — Pour poursuivre i’clude des espaces
abstraits il faut introduire tjuelques propriétés de leurs éléinenls.
Dans la plupart des (jiiestions il est nécessaire, comme l’indique
E. IL Moore, do postuler au moins l’opération qui fait passer d’un
ensemble des éléments considérés à l’ensemble dérivé.

Suivant, dans ces questions, les idées de M. Fréchct ('), nous
admettrons d’abord que l’on ait choisi, dans l’ensemble (ou espace)
abstrait considéré, qui sera désij^né par(ê), um» définition de la con-
vergence d’une suite jouissant des propriétés suivantes :

a. Si une suite A,, A.j, ... formée d’éléments de (<ê) converge
vers B, toute suite qui en est e.xtraite converge aussi vers B;

h. Une suite dont tous les termes sont identiques, A. A, . . . , con-
verge vers A.

Un espace abstrait pour lequel on peut définir la convergence d’une
suite d’éléments eu respectant ces deux propriétés est dit, suivant
M. Fréchet, espace (if). Il convient de remarquer que, bien souvent,
une définition de la convergence respectant les conditions (a) et (/.;)
est imposée par la nature d(*s questions étudiées.

Espace distanciable. — Un cas |)lus particulier, mais fort impor-
tant, est celui d’un espace (if) pour lequel la notion de convergence

(*) Pour tout re paraj^raplie, c/. Fhi'chet, | .‘îo ].

CONTINUITÉ DES FONCTIONNELLES ET QUESTIONS CONNEXES. 17

d’uiie suite peut être reliée à une définition de la distance de deux
éléments de l’ensemble.

11 est naturel d’imposer à une telle distance les conditions sui-
vantes :

1 " La distance <le deux éléments quelconques A et B est un nombre

(A. B) = (B, A)^(>.

La distance (A, B) n’est nulle que si les éléments A et B coïn-
ci«lent.

3" Qu(‘ls que soient les éléments A, B, C, on a

(A, B)^( A, B).

Dans tout enseinhU' abstrait (d’)on peut définir une distance véri-
fiant I<‘s conditions (i), (a), (.3) ('), mais, s’il s’agit d’un espace {C),
on possède déjà une définition de la convergence d’une suite et, pour
présenter quelque utilité, la distance doit vérifier la quatiièine condi-
tion suivante :

4" Pour que A soit la limite d’une sniti' A| , A.>. . . . , A„. . . . , il est
néc<‘ssaire et suffisant que la distance (A. A„) tende vers zéro avec "

Lorsqu’un espace (/,”) est capable d’une définition de la distance
satisfaisant aux conditions 1 à 4 nous dirons q»ie c’est un espace (Cî))
on un espace distanciable. 11 faut envisager un espace dislanciable
pour généraliser, le plus complètement, les propriétés des ensembles
<le points et des fonctions de point.

3. Exemple d’espace (i^^) qui n’est pas distanciable. — Un espace (iS)
quelconque sera-t-il nécessairement distanciable? La réponse à cette
question est négative et il est facile de le voir par des exemples.

Soit l’ensemble de tontes les fonctions x{t) (a<t<b) et adoptons
pour la convergence d’une suite de telles fonctions vers la fonction
limite cc{t) la définition usuelle (convergence en chaque point t con-
sidéré individuellement). On vérifie qu’il est impossible de relier cette
notion de convergence à une distance possédant les propriétés pré-

(') Kii pi-uiiant. par exemple (A, B) r- i, sauf si A el B sont identiques, et
(A, K) - O.

VOl.TKHRA

2

CHAPITRE U.

i8

cisées. M. Fréchet, à qui est dû ce résultat (’), ludique aussi que
c’est pour cela que, dans la théorie des fonctions, la convergence
ordinaire est souvent peu maniable et que l’on se trouve amené, dans
bien des cas, à renforcer la convergence en introduisant par exemple
une condition de convergence uniforme.

4. Espace complet. — Soit {&) un espace abstrait distanclable.
On pourrait être tenté d’énoncer un critère de convergence analogue
au critère classique de Cauchy : pour la convergence d’une suite
d’éléments de (ê) A,, A.j, . . . , A„, . . . , il est nécessaire et suffisant
que la distance de deux éléments quelconques de la suite soit arbi-
trairement petite quand leurs rangs sont assez élevés.

Ce n’est pas toujours vrai : la condition posée est bien nécessaim ^
mais elle n’est pas toujours suffisante^ comme on le voit immédiate-
ment en envisageant l’ensemble d(!S nombres rationnels, avec la défi-
nition habituelle de la distance.

Lorsque le critère de Cauchy est applicable, l’espace {&) sera dit
complet. Dans le cas contraire il peut arriver que (ê) puisse être
rendu complet par un changement de la définition de la distance, ou
encore par l’adjonction d’éléments nouveaux (éléments impropres) :
le lecteur le concevra sans peine d’après l’exemple des nombres
rationnels.

3. Les notions précédentes étant acquises, les principales propriétés
des ensembles de points se généralisent sans peine.

Voici un exemple : les éléments limites d’un ensemble E (‘x trait de
l’ensemble distanclable sont ceux qui peuvent être obtenus

comme limite de suites infinies d’éléments distincts appartenant à E.
11 forment un nouvel ensemble E' {premier dérivé de E). Un ensembh^
qui contient son premier dérivé est dit fermé. On reconnaît immé-
diatement que Vensemble E', dérivé de E, est fermé.

(^) Fréchet, [35]. La démonstration est assez simple pour pouvoir être reproduite
ici. Si Tespace considéré était distanclable, tout ensemble dérivé d’un ensemble de
ses éléments serait fermé (c/., infra, n®5). Or il est facile de voir qu’il n’en est pas
toujours ainsi. Prenons pour ensemble celui des fonctions continues; l’ensemble
dérivé E' est formé par les fonctions de classes zéro et i de Baire [8] et il y a des
fonctions de classe 2 , c’est-à-dire qui appartiennent à l’ensemble dérivé de K' sans
faire partie de E’.

19

CONTINUITÉ DES FONCTIONNELLES ET QUESTIONS CONNEXES.

t>. Ensemble compact. — Les ensembles bornés de points de
l’espace ordinaire jouent un rôle important dans la théorie des fonc-
tions et ils Interviennent par la propriété suivante : n'importe quel
sous ensemble infini d'un ensemble borné admet au moins un
élément limite.

M. Fréchet a justement souligné l’intérêt de cette propriété dans le
cas des ensembles abstraits. Il nomme ensemble compact tout
ensemble d’éléments d’un espace (/?) qui : ou bien ne contient qu’un
nombre fini d’éléments, ou bien, s’il en contient une infinité, est tel
(|ue tout sous-ensembl(! infini que l’on en extrait admette au moins
un élément limite.

7. Nous verrons le concept iVensemble compact intervenir, au
paragraphe suivant, dans l’étuch* <le la continuité des fonctionnelles
eide leurs maximum et minimum, la* même concept joue aussi un
rôle essentiel dans d’autres questions : il faut rappeler au moins que
l’on peut y relier la notion de famille normale de fonctions (une
famille de fonctions est dite normale dans un domaine si, de toute
suite infinie de fonctions de la famille, on peut extraire une suite par-
li(^lle convergeant uniformément dans le domaine); on sait que. grâce
principahîinenl aux travaux de M. I*. Monlel, la notion de famille
normale a trouvé d’importantes applications à la Théorie des fonctions
analytiqu«*s.

8. Exemples d’ensembles compacts. — Dans le cas d’un ensemble
de points de l’espace ordinaire il y a identité entre les notions
d' ensemble compact et d' ensemble borné. Dans le cas d’ensembles
<le fonctions et en général d’ensembles abstraits, il convient d’avoir
des critères permettant d’affirmer que l<‘l ensemble est ou non com-
pact. Nous envisagerons quelques exemples :

a. Espace de fonctions holomorphes de Fréchet. — 11 est cons-
titué par toutes les fonctions qui sont holomorphes à l’intérieur d’une
même aire fixe A du plan complexe, (*n convenant de dire qu’une
suite de telles fonctions fn{^) converge vers une limite f{z) quand
fn{z) converge vers f{z) uniformément dans toute aire intérieure
à A. M. Fréchet établit [3S] que l’espace ainsi défini est dislan-
ciable et complet. Il démontre do plus que : pour qu’un ensemble
extrait de {3C) soit compact, il faut et il suffit que les fonctions de cet

CHAPITRE 11.

•iO

ensemble soient également bornées (') dans toute aire intérieure à A.

b. fonctions également continues (Ascoli et Arzelà). — Les
résultats de Ascoli, puis de Arzelà ('-*) (lequel avait pour but l’étude
des maxima et des mininia d’une fonctionnelle) ont été obtenus avant
qu’ait été introduite la notion d’ensemble compact. Ils impliquent en
particulier l’énoncé suivant :

Plaçons-nous dans l’espace ((?) des fonctions continues x{t)
{a"^t<b) en prenant pour définition de la convergence la conver-
gence uniforme. Pour qu'un ensemble de fonctions de (< 5 ) soit
compact.! il est nécessaire et suffisant que ces fonctions soient éga-
lement bornées et également continues.

Vu l’importance de ce résultat nous en esquisserons la démonstra-
tion.

Rappelons tout d’abord que des Fonctions xft) formuiit un
ensemble E sont dites également continues si à tout nombre
positif £ on peut faire correspondre un nombre positif a tel que.
tu et ^2 étant arbitraires et vérifiant

1 l\ — /•« i < a,

on ait

î.

quelle que soit la fonction x{t) de l'ensemble Iv

Ceci posé ^érifions que les conditions posées sont suffisantes. Pre-
nons pour cela une suite dénombrable de valeur de /

(i) /i, t>, ..., ...

denses dans tout intervalle du segment (a, b) [par exemple les \aleurs
obtenues en divisant (a, b) en 2. 2-, 2', . . . parties égales]. Si
l’ensemble E des fonctions considérées n’est pas formé d’un nombre
fini d’éléments, on pourra, de tout sous-ensemble infini, extraire une
suite

..., x\y(t), ...

convergente pour t~t^ [ceci parce ({ue les valeurs x{t^) sont

(‘) C’esl-à-dire bornées dans leur ensemble.

(-) Bibliographie [7], [ 1 |, [2]. Il convient de noter que Ascoli n’avait pas Tidée
de fonctionnelle et ne considère que des ensembles de lignes dont il étudie la
limite. Arzelà^ dont les travaux sont notablement plus récents, applique au con-
traire le concept de fonctionnelle. Le but de ses travaux était la justification du
principe de Dirichlet et il a précédé Hilbert dans cette voie (cf. Cdiap, V, n* 'i).

CONTINUITÉ DES FONCTIONNELLES ET QUESTIONS CONNEXES, ai

bornées]. Puis, on tirera de celte suite une autre suite qui converge
aussi pour t — t-2 et ainsi de suite. On parviendra enfin à une suite

...

convergente pour t =: t = . . ., t = La succession

oc'.^Kt), ..., •••

esljévideminentconvergentepour l’infini lé dénombrable des valeurs (i).

Or, t étant quelconque, on a

(2 ) 1 t ) ~ x'IJ* ( n K 1 ( h ) - h ) I

H- I X,[‘ ( t) ~ x'//' ) — X%> (/,)!,

quantité arbitrairement petite, quel que soit f, si m et n sont choisis
assez grands : on prendra on effet <,• tel que

ce qui peut se faire, quel que soit /, en utilisant seulement un nombre
fini des ; puis on prendra ni et n assez grand pour que

pour chacun des /, en ([ueslion; d’après l’égale conlinuilé le second
membre de ( 2 ) est inférieur à 3c arbitrairement pelil,

La suite converge^ donc uniformément \ers une fonction

continue ^{l) et les conditions précitées sont bien suffisantes. On
vérifiera aisénumt ipi’elles sont de même nécessaires,

9, Extension du théorème de Borel-Lebesgne, — On sait le rôle*
essentiel que joue, en Théorie des fonctions, le théorème de Borel-
Lebesgue, dont l’énoncé est le suivant :

Soit, .sur un segment Jini, une injinitè d’intervalles tels que
tout point du segment soit intérieur à l’un au moins d’entre eux.
On peut remplacer ces intervalles par quelques-uns d’entre eux, en
nombre limité, jouissant de la même propriété,

M. Fréchel a montré [44] qu’on peut généraliser ce théorème en se
plaçant dans un espace abstrait distanciable et en remplaçant le
segment par un ensemble E compact et fermé. L’énoncé devient :

S’il existe une famille ïï* d’ensembles I, formés d’éléments de

22

CHAPITRE 11.

V espace considère^ telle que tout élément de ^ soit intérieur à V un
au moins des I, on peut extraire de S* une famille jouissant
de la même propriété et formée par des ensembles I en nombre fini.

Justifions ce résultat, que nous aurons l’occasion d’utiliser. Il faut
d’abord préciser le sens du mot intérieur : suivant M. Fréchet, un
élément de E sera dit intérieur à I s’il appartient à I et ne peut pas
être obtenu comme limite d’éléments n’appartenant pas à I.

La démonstration repose alors sur les deux lemmes suivants :

«. Si un élément A intérieur à I est limite d'une suite A,,
Aa, . . . , A„, . . . , les An sont intérieurs àV à partir d'un certain
rang.

Sinon en effet il y aurait une infinité de valeurs de n tel que A„ soit
limite d’une suite A'*', A*,f’, . . . d’éléments qui n’appartiennent pas
à I. Mais l’ensemble dérivé de l’ensemble des A'f’ est fermé (n" 5 ),
A appartient donc à cet ensemble, ce qui contredit l’hypothèse : A inté-
rieur à I.

[ 3 . L'ensemble E étant compact, on peut, pour toute valeur du
nombre positif e, former des ensembles K, , Ka, . . . , K, y, en nombre
fini, tels que la distance entre deux éléments quelconques de K,-
soit inférieure ht et tels que tout élément de^soit intérieur à V un
au moins des K;.

Prenons pour cela rj tel que les conditions (A, C)><ï 3 et (G, B)>< rj
entraînent (A, B) •< e, puis prenons un nombre w <; tq. A, étant un
élément de E choisissons, s’il en existe, un autre élément Aa de E tel
que (A,, Aa) dépasse w, puis un élément A3 tel que les distances
(A,, A3) et (A3, A3) dépassent w et ainsi de suite. Nous formons
ainsi une suite A,, Aa, . . . d’éléments dont les distances mutuelles
dépassent co. Or cette suite est forcément limitée car, dans le cas
contraire, on pourrait, l’ensemble E étant compact, en extraire une
suite A',; convergente et l’on aurait alors (A'- , A)) inférieur à w pour i
et / assez grands ( ' ).

Au moyen des Aj on formera les ensembles K, en prenant, pour K,,

(*) Notons en passant le résultat suivant (Frérhet) : dans un espace distanciable
complet il est nécessaire et suffisant, pour qu’un ensemble E soit compact, que,
quel que soit w, tout ensemble formé de points de E dont les distances mu-
tuelles sont supérieures à o) ne puisse contenir qu’un nombre fini de points.

CONTINUITÉ DES FONCTIONNELLES ET QUESTIONS CONNEXES. 2 3

tous les éléments C de l’espace pour lesquels (A,-, G) < y}. Tout élé-
ment B de E sera intérieur à l’un des Kj, si w a été choisi assez petit
pour que des conditions (A,-, B)-<c«) et (BB')<;w entraînent
{A/,B')<y).

Pour établir enfin le théorème, prenons $ = ^ et formons pour cette
valeur de e les ensembles K,, Kq, . . - , K.^. Si le théorème est en
défaut, il sera également en défaut pour la partie de E qui appartient
à l’un des ensembles K, lequel sera désigné par T^. Désignons par A^
l’un des éléments de E qui appartiennent à T,,, p prenant toutes les
valeurs entières nous aurons une suite d’éléments Ap dont nous pour-
rons extraire une suite partielle A'- convergente vers un élément A
de E (ensemble compact et fermé). A est intérieur à l’un des 1,
soit lo. Désignons d’ailleurs par T'- l’ensemble Tp qui correspond
à A'-. Si l’on constate que, pour i assez grand, T'- a tous ses éléments
intérieurs à lo il y aura contradiction avec le fait que le théorème
doit être en défaut pour la partie de E appartenant à T'- et la démons-
tration sera achevée. Mais, dans le cas contraire, on pourrait trouver
une infinité de valeurs de i telles que, dans chaque T'-, il y ait un
élément Ci non intérieur à lo. Or ( A' , A) et (A' , G/) tendent vers zéro ;
la suite des G/ tendrait donc vers A ce qui contredit l’hypothèse : A
intérieur à lo {lemme a).

II. - CONTINUITÉ ET SEMI-CONTINUITÉ
D’UNE FONCTIONNELLE.

10. Soit une fonctionnelle Ü[A] définie dans un espace abstrait d»
qui soit un espace (X?). Elle sera dite continue pour l’élément A si
l’on a

lim Uf A„] = U1 A)

/I = »

toutes les fois que la suite des éléments A„ de & donne

Uni A„ = A.

00

Si l’espace abstrait est distanciable la continuité en A s’exprimera
par les inégalités habituelles : à tout nombre e arbitrairement petit
on pourra associer un nombre rj tel que

<3)

1U[A']-U[A]|<e

soit entraînée par

(4)

CHAPITRE II.

i A, A'X Ti.

11. La notion de continuité uniforme s’étend de même. Si la pré-
cédente (4) entraîne (3) quels que soient A et A' dans un certain
champ, il j aura continuité uniforme dans ce champ.

Seulement une fonctionnelle continue pour tout élément d’un
champ n’est pas forcément uniformément continue dans ce champ
et c’est là une différence importante avec le cas des fonctions d’un
nombre fini de variables. Mais M. Fréchel a montré qu’il y a bien
continuité uniforme si le champ de définition de U [A] est un
ensenible E compact et fermé : dans ce cas la continuité pour tout
élément de E entraîne la continuité uniforme dans E.

12. Indiquons rapidement la démonstration, tout à fait analogue à
celle que l’on donne pour les fonctions ordinaires. Si la fonction-
nelle U[A], continue en chaque élément de son champ de défini-
tion E (qui est supposé compact et fermé) n’était pas uniformément
continue, il existerait un nombre positif a tel que. n étant arbitrai-
rement petit, on ait dans E des couples A' A" dont la distance est
moindre que yj et qui donnent

(5) I UfA'|-lJ|.V||^a.

l’renons une infinité de valeurs do tendant vers zéro et, pour
chacune, un couple d’éléments A' A". Puisque E est compact et fermé,
il existerait un élément Ao qui soit un élément limite de l’ensemble
des A! A" ainsi choisis; mais l’inégalité (5) contredirait alors la conti-
nuité en A„, ce qui justifie l’énoncé.

13. Remarquons que la définition de la continuité d’une fonclion-
nelle dépend de la définition de la limite d’une suite contenue dans
l’ensemble E ou encore de la convention adoptée pour mesurer la dis-
tance (A, B) de deux éléments. Par un changement de cette conven-
tion une fonctionnelle peut donc cesser d’être continue, ou vice-versa.
On en verra un exemple plus loin (§ III, n"* 18-20).

14. Extremum d’une fonctionnelle. — Beaucoup de théorèmes qui

CONTINUITÉ DES FONCTIONNELLES ET QUESTIONS CONNEXES. >.5

valent pour les fonctions de variables réelles peuvent être étendus à
des fonctionnelles définies dans un espace abstrait.

Soit, par exemple, le théorème bien connu, dù à Weierstrass, et
qui peut s’énoncer ainsi : une fonction d'une variable, définie pour
un ensemble fermé et borné e de valeurs de cette variable et con-
tinue sur cette ensemble, jouit des propriétés suivantes : i” elle est
bornée sur e; 2*’ elle prend au moins une fois sur e une valeur
égale à sa limite supérieure (maximum) et une valeur égale à sa
limite inférieure (minimum). Ce ihéoréinc se généralise iiiimédia-
lement aux fonctions de plusieurs variables.

Pour avoir le résultat analogue du calcul fonctionnel, il faut bien
entendu utiliser encore la notion d’ensemble compact. M. Fréchet a
établi le théorème suivant

Toute fonctionnelle U [A] uniforme et continue dans un
ensemble fermé et compact E : i"ca'^ limitée sur E; 2" prend les
valeurs de ses limites supérieure et inférieure au moins une fois
dans E ( ' ).

La démonstration calque exactement celle de Weierstrass. Si la
fonctionnelle n’était pas limitée il y aurait une suite d'éléments de E
pour lesquels U prendrait d(‘s valeurs croissantes à l’infini. Cette
suite aurait au moins un élément limite An appartenant à E et pour
le(|uel U ne saurait être continue. Soit d’autre part M la limite supé-
rieure (ou inférieure) de la fonctionnelle. Si celle limite n’élail pas
eflectivement atteinte en un élément de E, on pourrait trouver une
suite d’éléments pour lesquels les valeurs de tendent vers M : mais
alors, d’après la continuité, la valeur de U en un point limite de celle
suite serait effectivement M.

lo. Nous avons déjà fait allusion (page 2) au Calcul des varia-
tions et nous y reviendrons ultérieurement. Le Calcul des variations
concerne l’exlrémum de fonctionnelles particulières de sorte qu’il
peut apparaître comme un Chapitre particulier du Calcul fonctionnel
ayant peut être ses méthodes propres, mais où il y a aussi grand
intérêt à utiliser les théories générales sur les fonctionnelles : dans

(') On trouvera aussi un réei|>ru<|ue de ce lliéorèine dans le Mémoire de
M. Fréol.et, (Sôl.

i6

CHAPITRE 11.

son beau Traité de Calcul des variations, M. Hadamard a justement
insisté sur ce dernier point (^) qui a élé développé par M. Tonelli.

On pourrait donc croire à première vue qu’un théorème tel que
celui que nous avons établi au n“ 14 doit dominer le calcul des varia-
tions. Il n’en est pas tout à fait ainsi parce que la condition de con-
tinuité imposée à la fonctionnelle U[A] est trop restrictive : les
fonctionnelles les plus importantes au point de vue du Calcul des
variations ne sont pas continues^ mais présentent seulement la semi-
continuité supérieure ou inférieure.

Cette notion de semi-continuité, introduite par Baire pour les
fonctions ordinaires a été étendue par M. Tonelli aux fonctionnelles (■^).
Elle joue un rôle primordial.

16. Semi-continuité. — Reprenons la fonctionnelle U[A]; elle sera
dite semi-continue inférieurement {supérieurement) pour l’élé-
ment A St, étant donnée une quantité arbitraire positive e, on
peut lui associer a telle que l’inégalité

( A, A') < a

entraîne

U[A']> U[AJ-e, (U[A'1< Ul A]+

11 est clair qu’une fonctionnelle qui est semi-continue à la fois supé-
rieurement et inférieurement est continue au sens ordinaire [avec une
définition donnée de la distance (A, A')]. Ceci posé le théorème du
n® 14 s’étend aux fonctionnelles semi-continues et l’on a les résultats
suivants, dont la démonstration est d’ailleurs très simple :

a. Si la fonctionnelle Ü[A], définie dans un ensemble E de valeurs
de A, y prend une valeur maximum (absolu) ou minimum (absolu), il
y a semi-continuité supérieure ou inférieure pour la valeur corres-
pondante de A.

b. Si la fonctionnelle U[A]est semi-continue supérieurement dans
l’ensemble E compact et fermé : i" elle est bornée supérieurement
dans E; 2 ® elle atteint son maximum en au moins un élément de E.

c. Enoncé analogue à b pour la semi-continuité inférieure et le
minimum de Ü[A].

(') Cf . Hadamard, [61 ].
(=) Tonelli, [99], [100].

CONTINUITÉ DES FONCTIONNELLES ET QUESTIONS CONNEXES.

IH. - LE CAS DU CALCUL FONCTIONNEL;
DISTANCES ET CONTINUITÉS ÉLÉMENTAIRES.

17. Nous supposerons luainlenanl que l’ensemble E soit celui des
fondions définies dans l’intervalle {a, b). Étant donné deux telles

fonctions æ^it) nous pourrons définir leur distance comme

égale au maximum du module de'Xi(f) — quand a'^t^b. Les

conditions posées au n" 2 sont évidemment satisfaites, une suite de
fonction xi^t) ne devant être dite convergente que s’il y a conver-
gence uniforme pour a</^b.

La définition précédente de la distance est la plus immédiate et la
plus commode lorsqu’il s'agit d’étudier des fonctionnelles définies
dans un ensemble de fonctions continues, ou même seulement
bornées. C’est elle que M. Volterra a utilisée dès le début de ses
recherches. Nous dirons qu'elle donne la distance élémentaire
{^d’ordre zéro) des d<Mix fonctions considérées. Il est utih* d’intro-
duire cette dénomination parce que, comme nous le verrons, d’autres
définitions de la distance fonctionnelle sont possibles.

La fonctionnelle

définie pour tout ou partie du champ E et continue avec la définition
précédente de la distance sera dite posséder la continuité élémen-
taire (^d'ordre zéro) (').

18. Soit, par exemple.

F|^^.r(nj = jf f\t.

(‘) Dans plusieurs traites cette continuité est dite continuité liée au voisinage
uniforme : le mot uniforme rappelle seulement qu’une suite des fonctions .r„( /)
doit être considérée comme a>ant une limite x(t) (tue s’il y a convergence uniforme.
Mais celle dénomination peut entraîner confusion avec la continuité uniforme de
la fonctionnelle. On pourrait employer la désignation de continuité absolue qui
ne présenterait pas le même défaut. Comme pourtant il y a une notion, toute diffé-
rente, d'absolue continuité {Cf- Chap. V, ir’G), nous préférons la dénomination du
texte.

Il faut préciser distance ou continuité élémentaire d'ordre zéro^ parce que, comme
on le verra, on doit introduire les notions analogues pour un ordre entier quelconque.

28

CHAPITRE II.

fonclionacUe qui a im sens si les fonctions / cl x sont continues par
rapport aux variables qui y figurent; elle a alors la continuité élémen-
taire d’ordre zéro.

Au contraire, soit

i)j =îîm.r'(n ( ' )

qui a lia sens dans le champ des fondions dérivables. Elle n\;sl
évidemment pas conllnm» an sons qui vient d’étrc précisé. Primons,
en elfet

1 ( O — ^ ?

X / ) = A -f- Ê Slll — — 9

nous aurons

I .>6*1 ■

X*

d’où, avec la définition précédentir de la distance

lim .r.i( t ) — X\{ t

Or

d’où

.C\ —

, i-t

,r.,( t ) — cos »

(;|.r,(<)| = O,

G| /)! =

ce qui montre bien qu’il n’y a pas continuité élémentaire d’ordre zéro.

19. Avec la définition précédente de la distance, d(Mix fond ions, /•, (/),
doivent être considérées comme très voisiiuîs si leur jdifi’énïnce
reste en valeur absolue très p(!tiu; quel que soit t. On peut définir b»
voisinage {élémentaire) d’ordre zéro, correspondant au nombre
positif e, d’une fonction donnée Xx{t) comme l’ensemble des fonc-
tions x{t) appartenant au champ fonctionnel considéré telles que

I x( ! ) — x^{ t) \

qmd que soit t{a‘^l‘^b).

Cette notion de voisinage jom* un rôb; (‘U Calcul des variations ( - )
ainsi que d’autres types de voisinage, faisant intervenir non seulement

(*) liin désignant la plus grande des limites.
(2) IIadamard, [61], p. ^0-

CONTINUITÉ DES FONCTIONNELLES ET QUESTIONS CONNEXES. H)

la (lilléroiict! x{t) — mais aussi les dérivées successives de celte

dill’érence.

20. Bornons-nous à des fonctions j;(t) définies, ainsi que leur
dérivée première^ dans l’intervalle (a, b). Nous pourrons convenir
que deux fonctions de ce genre siéront Irès voisines lorsque seront
très voisines, non seulement leurs valeurs pour un même t d’ailleurs
(juelconqmï, mais encore les valeurs correspondantes des dérivées.

Nous arrivons ainsi à la notion de voisinage {élémentaire) du
premier ordre, défini par les inégalités

I .r ( / ) — .*• I C < ) ! ; s , I x' ( / ) — ./-’i ( / ) I < c i a ).

aiupud cori’espond une nouvelle définition de la distance fonction-
nelle de deux fondions .e, (/ ),æ.‘j(/). Ce sera la distance élémentaire
du premier ordre, égale au maximum de

1 .r,( n — ./-id) i et I ./•',(/) — ! (e'^f^b).

La continuité corres|)ondant<* sera dite continuité élémentaire
du premier ordre.

La fonctionnelle précédent** (i qui n’avait pas la continuité élé-
mentaire (l’ordre zén* admet la continuité du pn'inier ordre.

21. Plus générah'inenl considérons comiiu* très voisim‘s deux fonc-
tions qui difi'ên'nl très peu «*n tout point de l’inlersalle {a, h) ainsi
qui* leurs dérivées d’ordre i . a, . . ., />. Nous serons conduits à de nou-
velles définitions du \oisinage (voisinage* élémentaire d’ordre p). delà
distance (la distance élémentaire d’ordre p sera égale au maximum,
dans {a, h) d<*s expressions

' ./’i ( / ) — ./• ■( / )'. ! ( n — .rije / 1 ' ]./■/'(/) — d ).

La continuité correspondante sera dite* continuité élémentaire
d’ordre p.

Les diverses continuités éleMuentairos, d’ordres o. i. ■>. p. sont

évidi'mmi'ut de plus en plus restrictives.

22. L’introduction di* la continuité éléiiu'utaire permet de pré-
ciser, comme l’a r(*marqué Gateaux ('), le passage signalé au début
(( jliap. 1, lÿ I) des fonctions de n variables aux fonctionnelles.

( ' ) (Iatk.m X, I •'■>7 J.

3o

CHAPITRE II.

Soit en effet une fonctionnelle

définie dans le champ des fonctions bornées et continues (o

et continue élémentaire d’ordre zéro dans ce champ.
Remplaçons /(<) par une fonction ri(t) telle que

= pour<=^ (A = i, 2,

et qui varie linéairement pour

i\<t<!L±l

/i ^ n

(/( = 1 , 2 ,

n —i)

{n ôtant un entier positif). h'[To(Oj fonction ordinaire des n

variables y ,,r 2 ,

P'hCOl y-i, ■

fn étant évidemment continue par rapport aux variables y., . .
Puisque j'(<) est fonction continue de t on a

liin ■o(<) =y( t)

H — X

et, du moment que la fonctionnelle a la continuité élémentaire d’ordre
zéro, il vient

La convergence est uniforme dans tout ensemble compact de fonc-
tions continues.

Donc : les fonctionnelles ayant la continuité élémentaire
d'ordre zéro s'expriment comme limites de fonctions continues
de n variables lorsque le nombre de ces variables augmente indé-
finiment.

IV. -- L’ESPACE DES FONCTIONS MESURABLES.
DIGRESSION SUR L’INTÉGRALE DE LEBESGUE.

23. Nous aurons à étudier dans la suite un autre mode de conti-
nuité des fonctionnelles, également très important : la continuité en

CONTINUITÉ DES FONCTIONNELLES ET QUESTIONS CONNEXES. 3t

moyenne. Celle nolion repose sur une définilion de la dislance
disltncle de celles du paragraphe 111 el qui ne prend loulc sa valeur
que par l’emploi de l’inlégrale de Lebesgue. L’inlégrale en queslion
esl d’ailleurs mile dans de nombreuses queslions d’Analyse fonc-
lionnelle. Nous en reprendrons donc ici la ihéorie en nous plaçanl à
un poinl de vue qui ne nous (^carle pas de l’objel du présenl ouvrage :
l’ëlude des diverses dëfînilions de l’inlégrale esl Télude des champs
fonclionnels dans lesquels on peul définir la fonclionnelle

t) dt.

En parlant d’un champ fonctionnel très simple, quelques propriétés
iminédiales conduisent à un prolongement qui donne, très nalurel-
leinent. l’inlégrale de Lebesgue ( ' ).

24. Soit l’intervalle («, h) divisé en un nombre fini d’intervalles
partiels, d’ailleurs quelconques el soit une fonction x{l) constante
dans chacun de ces intervalles; nous dirons que c’est une fonction
simple. Il n’y a aucune difficulté à définir, comme somme de rec-
tangles, l’intégrale

I = f ./•( ()dt.

La fonclionnelle I est donc définie, de façon immédiate, dans le
champ des fonctions simples.

Pour étendre sa définition il faut d’abord se rendre compte du
mode de continuité de l dans le champ précédent. Or on voit de suite
que deux intégrales peuvent être très voisines sans que les fonctions
correspondantes soient partout très voisines : Xt{t) et x.,{f) étant
deux fonctions simples, on a en ell’el

II - I.

HX'

-f'

Xî(t) dt

g/e -H MI,

en désignant par l l’étendue totale des intervalles dans lesquels
\xi — ar-j I <[ £, en prenant L = 6 — a — / el nommant H le maximum
de I Xi I -1- I iPj I* Le second membre esl très petit avec s et L.

(') La méthode donnée ici pavM. Pérès s’inspire très directement de celle «le
Fr. Ries* [93].

CHAPITRE il.

3î

25. La convergence en mesure. — Rappelons ici qo’un
ensemble E de points du segment (o, b) est dit avoir une mesure
inférieure à yj si l’on peut enfermer ses points dans des intervalles en
nombre fini ou dénombrable et dont la somme des longueurs est
inférieure à n. L’ensemble E sera dit de mesure nulle si les intervalles
précédents peuvent être choisis de façon que la somme de leurs lon-
gueurs soit arbitrairement petite.

Introduisons enfin la notion de convergence en mesure (*) : une
suite de fonctions définies dans l’inlervalle {a. h)

(6) ocx{t}, x„(0. •••

est dite converger en mesure dans cet intervalle vers la fonction
si, £ et y) étant choisis arbitrairement petits, on peut leur associer N
tel que, pour n > N on ail

1 ./•«( /) — \ ( / ) I < î,

sauf sur un ensemble En, \ariable avec n mais dont la mesure reste,
quel que soit « > N, inférieure à

X(<) sera dite limite en mesure de la suite (6).

Il est clair que l’on peut modifier X(<) d’une façon quelconque sur
un ensemble de mesure nulle sans modifier sa propriété d’être limite
en mesure de (6). Inversement d’ailleurs, si deuï fonctions X(<),
X'(<) sont limites en mesure de la même suite (6), elles ne peuvent
différer que sur un ensemble de mesure nulle.

Soit en effet E l’ensemble des points où X(/) et X'(<) sont diffé-
rentes et E(£) l’ensemble des points où |X — X'|>e. Prenons une
suite de valeurs e<, Sj, . . . , Sp, ..., tendant vers zéro. Tous les
points E se relroiivenl dans l’ensemble formé par les points di*

E(si), E(3,), Eiîpi,

Or, d’après la convergence en mesure, l’inégalité

OÙ l’on prend n assez grand, prouve que | X' — Xj est inférieur à Zp
sauf sur un ensemble dont les points peuvent être enfermés dans une

(».) Cf. Fhkciiëï, [47],

33

CONTINUITÉ DES FONCTIONNELLES ET QUESTIONS CONNEXES.

infînité dénombrable d’intervalles dont la somme des longueurs rj;, est
arbitrairement petite. Prenant la série tJi 4- ïJaH-. . . + rï, .
convergente et de somme arbitrairement petite, on voit que la même
propriété appartient à E.

En résumé la limite en mesure X(<) n^est définie qu'en faisant
abstraction des valeurs sur un ensemble, d’ailleurs quelconque,
de rhesure nulle. Mais nous allons voir que V intégrale corres-
pondante est bien définie.

Intégrale d’ime fonction bornée. — Soit une suite Ae fonctions
simples x,(t), j:.2{t), . . . , Xn{t), ... bornées en module dans leur
ensemble par un nombre H et qui converge en mesure vers X(<). La
fonction X(<) peut évidemment être prise bornée en module par le
nombre H.

La suite des intégrales 1 .in(t) dt est convergente.

•J n

Prenons. en effet m et n tous deux supérieurs à N ; on peut affirmer
que

i — J’m i < 1 — X I -e 1 .r

X

sauf sur un ensemble E' appartenant à l’ensemble E„i-|- £« et dont la
mesure est donc inférieure à av/. Mais, d’après la nature simple
de x,x et x,n, les points de E' forment un nombre fini d’intervalles
dont la longueur sera moindre do arj.

Donc

.r

m

Mit

•i{b — (/ ) ï -4- { T, Il

arbitrairement petite avec ^ > puisqu'il en est ainsi de i etyj.

Il est naturel, dans ces conditions, de poser par définition

sous réserve de vérifier que :

a. Si X(Z) est une fonction simple, la définition précédente n’est
pas contradictoire:

b. La limite au second membre ne dépend pas de la suite Xn{t)
considérée, pourvu qu’elle converge en mesure vers la même X(^).

VOLTKRRA

3

34

CHAPITRE U.

Or le premier point est évident en reprenant, pour et X, le rai-
sonnement qui vient d’être fait pour x,n et Pour établir h on rai-
sonnera de même sur Xm et y,, \^yn{t) appartenant à la seconde suite
qui converge en mesure vers X(<)].

27. La fonctionnelle intégrale définie est ainsi déterminée dans
le champ (i?) des fonctions bornées qui peuvent être obtenues comme
limite en mesure de suite de fonctions simples.

Le champ {(S) est d’ailleurs clos en ce sens que l’opération qui
consiste à prendre une limite en mesure ne fait pas sortir du champ.
Vérifions en effet que :

Étant donnée une suite X,(f), \ fit). ..., ... de fonctions

quelconques du champ (i?) bornées en module par le nombre M et
convergente en mesure vers une fonction \{t) :

2

O

Cette dernière fonction appartient au champ ( C*);
On a

La première partie résulte de ce que l’on peut associer à 'K, fl)
une fonction simple xfit) telle que

i hK I ^ X ,f{ t) \ • —,

sauf aux points d’un ensemble E', dont la mesure est inferieure à ^ ■

On peut d’ailleurs adm<}ltre que | .<:?„(/) | < aM car. dès que n est
assez grand, les points où | Xn | > 2 M appartiennent à E', et il est loi-
sible d’y modifier la valeur de .r,,. Dans ces conditions

| \ 1^. c-t-— 5

n

sauf aux points d’un ensemble contenu dans E„ -f- E', et dont
la mesure est donc inférieure à yj-l-i* X(f) appartient doue au
champ (i?).

La deuxième partie sera conséquence immédiate du lemme sui-
vant : deux fonctions du champ (X?), X(/) et Y(<), bornées toutes
deux en module par H et telles que | X — Y j <; s sauf aux points d’un

CONTINUITÉ DES FONCTIONNELLES ET QUESTIONS CONNEXES. 36

ensemble E dont la mesure est inférieure à yj sont telles que

h

X( t) (Il —

lemme qui est évident eu introduisant les fonctions simples qui con-
vergent en mesure vers X(f) et Y(<),

J

Y (/U//

{h

a\i

7. U T,,

28. Les règles usuelles du calcul des intégrales définies s’appliquent
pour la définition précédente. Par exemple :

a. Si X(f) est une fonction du champ (JS) partout positive ou
nulle ^ il en est de même de son intégrale définie.

(3. X(/) et Y(t) étant deux fonctions du champ (fS), leur
somme appartient au même champ et a pour intégrale la somme
des intégrales de X(^) et Y(t).

{3'. Enoncé analogue à (3 pour une différence ou, en général,
une combinaison linéaire, à coefficients constants, de fonctions
du champ (iS) (en nombre fini).

D’autre part étant donnée une fonction X(/) du champ ( iS) nous
dirons qu’on la borne supérieurement (ou inférieurement) au
nombre c si on ramène sa valeur à c pour tous les t qui sont tels que

X(n r (\(t)-^:c).

Y- La nouvelle fonction obtenue appartient au champ (JS) et
l'intégrale ne peut que. diminuer (augmenter) ( ' ).

29. Il est aisé de relier aux notions précédentes celle de mesure
d’un ensemble due sous sa forme première à M. Borel, puis de passer
à la définition de l’intégrale due à M. Lebesgue (-).

A tout ensemble E de points du segment (a, b) associons une fonc-
tion E(< ) nulle sauf aux points de E ou elle prend la valeur i ; on sait
que la mesure de l’ensemble doit être l’intégrale

mes. K = /
dn

(‘) Pour s’en rendre compte, on notera qu'en bornant de nu^ine au nombre c une
fonction x{t), fonction simple d’approximation en mesure de X, I X(<) — x{t) j ne
peut que diminuer.

( = ) Cf. |(i81.

36

CHAPITRE II.

Nous pouvons donc dire que l’ensemble E est mesurable si E(i)
appartient au champ (i?). Son complémentaire E^ (ensemble des
points du segment qui n’appartiennent pas à E) a pour fonction
associée i — E(<), il est donc également mesurable et sa mesure
vaut {cf. |3').

b — a — mes. E.

Il convient de vérifier, et le lecteur le fera sans peine, qu’il n’y a
nulle contradiction entre la définition précise qui vient d’étre donnée
de la mesure d’un ensemble et la notion, introduite au .début
du n® 2o, d’ensemble dont la mesure est inférieure à un certain
nombre.

Faisons aussi la remarque suivante. Soit x{t) une fonction simple
qui approche en moyenne E(i), on a

1 E(«) — 37(01 < £,

sauf aux points d’un ensemble de mesure inférieure à yj. Puisque E(0
ne prend que les valeurs o et i, la fonction simple x{t) prendra,
dans les divers intervalles (où elle est constante) des valeurs comprises
entre ±: s ou i ±: g. En ramenant ces valeurs respectivement à o et i ,
on aura une nouvelle fonction simple y'(/) telle que

E(0— 7(<) = o.

sauf aux points d’uii ensemble de mesure inférieure à v). On passe
facilement de là à la définition habituelle de la mesure.

Etant donnés des ensembles en nombre fini ou dénombrable
E,, Ea, . . . , E„, . . . l’ensemble somme (formé de tous les points qui
appartiennent à l’un des E,) a pour fonction associée la somme des
fonctions E,(i), qu’il faut borner supérieurement à i si les ensembles
ont des points communs. On en tire aisément l’énoncé classique,
qu’il suffira de rappeler

é. L’ensemble somme E E, + Eo + . . . -i- E„ + . . . est mesu-
rable et Von a

mes. E ^ mes. Ei -h mes. Ea -t- . . . -t- mes. E„ -i- . . . ,

l’égalité ayant sûrement lieu quand les Ej sont sans points com-
muns deux à deux.

On vérifie de même que :

CONTINUITÉ DES FONCTIONNELLES ET QUESTIONS CONNEXES.

e. Soit E' l’ensemble des points qui appartiennent à tous
lesl£.i{i— 1,2, ...). Il est mesurable, sa mesure étant au plus
égale à la borne inférieure des mes. E/. Sa mesure est d’ailleurs
égale à la borne inférieure en question si chaque E,- contient tous
ceux d’indices plus grands.

lU), Convenons alors, avec M. Lebesgne, qu’une fonction X(<),
bornée ou non., sera dite mesurable si, quel que soit le nombre /,
l’ensemble des valeurs de t pour lesquelles \{t)'^>l (') est me-
surable. Les fonctions mesurables seront dites appartenir au
champ (Jll). Il est aisé de voir que toute fonction bornée du
champ (OTl) appartient nu champ ( C).

Pour s’en rendre compte il suffit de montrer qu’on peut approcher
en mesure une telle fonction X(<) par des fonctions simples. Or,
admettons qu’on ait constamment

//I < \ (t) - ; M

et divisons l’intervalle (m, M) en intervalles partiels d’étendue moindre
de 2e. L’un de ces intervalles partiels, numéroté i est noté mimi^.i

et nous désignons par Ej l’ensemble (mesurable) des points l pour
lesquels m,<X(f) <; mi,.y. En introduisant la fonction associée E,(<)
(*t en désignant par pi, la moyenne entre m, et m,vi on a évidemment

\( O E,( M

/

quelque soit t. On se rend compte d’ailleurs aisément que chaque
L,(<) peut être approché par une fonction simple e,(^) avec

K/l t) — r,( / » = O.

sauf en des points formant un ensemble dont la mesure est inférieure
à m donné arbitrairement. La fonction

/ )

i

approche alors en mesure X(<).

(') Auquel cas, d’ailleurs, seront aussi mesurables les ensembles pour lesquels

38

CHAPITRE II.

Désignant par /, la mesure de Ej, on vérifie de suite que

y 2 < >.H^ Yif = all-n

[d’après ( 7 ) du n" 27]. Prenons alors une suite de subdivisions de
l’intervalle (m, M) telles que les valeurs correspondantes de e tendent
vers zéro et associons à chacune une fonction simple

t)

choisie de façon que 1 ] = iyjj tende aussi vers zéro. 11 est clair que
l’intégrale

f

^ n.

définie comme il a été dit nu n“ 26, est aussi la limite de

«f

/

Nous retrouvons ainsi, pour les fonctions mesurables bornées,
la définition même de M, Lebesgue.

31. D’après le n" 27, si une fonction X(;) peut être définie comm(?
limite en mesure d’une suite de fonctions X„(<), bornées dans leur
ensemble et mesurables, son intégrale est la limite de l’intégrale
de X„(i).

Une question se pose naturellement ici. Peut-on, dans l’énoncé
précédent, remplacer la limite en mesure par une limite prise au sens
ordinaire? La réponse est affirmative, comme cela résulte immédia-
tement du lemme suivant :

Lemme I. — Etant donnée la suite des fonctions mesurables,
bornées ou non, S.n(t), suite convergente dans {a, b) vers X(«),
on aura

iX„(o-X(0|<*,

dès que n > N sauf sur un ensemble dont la mesure tend vers

, I

zéro avec •

CONTINUITÉ DES FONCTIONNELLES ET QUESTIONS CONNEXES. 89

X(f) est mesurable (cela résulte de 8 et e, n" 29 ).

Désignons par Bp l’ensemble des valeurs de t pour lesquelles
1 ^/>(0 — 1 < e et par &p l’ensemble commun à tous les

,.2, .... L’ensemble + (<^2 — ) + (ê;, — &■,)+... contient

tout (a, b). On peut donc prendre assez de termes dans la série pour
que la somme des mesures de ces termes, qui est mes.^v, diffère
de h — a d’aussi peut que l’on veut. A ce moment on aura

1 \„(o — Xfo 1 • A

pour rt >> N, sauf sur le complément de qui a une mesure arbitrai-
rement petite.

Si la suite des X„( /) est bornée, X appartient au champ ( iS) et

\(^ / ) = lim \„( t ),

n »

la limita étant prise au sens usuel, entrât ne

f \(t)tff = Uni f \„( <)<//;

. /„ H X

c’est là une propriété très importante de l’intégrale de Lebcsgue.

32 . Fonctions sommables. — Il reste à indiquer la définition donnée
par M. Lebesgue pour l’intégrale des fonctions mesurables non
bornées.

Soit X(<) une telle fonction, bornons-la supérieurement au nombre
d et inférieurement au nombre c, nous obtenons la fonction mesu-
rable bornée

\( /. C. )/)

définie par

\{ f. r. (f ) = \{ f) >\ r \[f.) ,/.

\{ t, r. (t ) — (t '•i \{

\ ( t, r, </) = <• si \ ( ^) c.

Ceci posé, si

J(c’, ^/)= /

tend vers une limite J lorsque c et d tendent vers — oo et -4-00 sui-
vant des lois quelconques, la fonction X(/) sera dite sommable et
on aura, par définition,

f \{t)(lt = i.

40

CHAPITRE II.

33. Pour la suite, il est utile de rappeler les propriétés suivantes :

Ç. La somme de deux fonctions sommables est également
sommable et les intégrales s’ajoutent.

Ç'. Propriété analogue pour une combinaison linéaire de fonc-
tions sommables.

yj. Étant donnée une fonction sommable X(i) et la fonc-
tion Xi(f) égale à X(«) quand elle est positive, nulle quand X(f)
est négative, X,(f) est sommable.

Cela résulte de la considération de l’intégrale J(c, d) où c est pris
nul et où d tend vers l’infini. Par suite :

0. Si X(i) est sommable il en est de même de | X(^) |.

La réciproque est d’ailleurs vraie, pourvu que l’on sache que X (0
est mesurable.

On notera enfin

T. Si X(f) est sommable, il en est de même X(f) |; cela

résulte d’inégalités évidentes entre les intégrales J (c, d) correspon-
dantes envisagées pour c = i , d tendant vers •+• oo, et pour d — — i ,
c tendant vers — oo.

34. Le résultat de la fin du n" 31 sur l’intégrale d’une fonction
définie comme limite d’une suite bornée de fonctions mesurables ne
s’applique pas à la limite d’une suite de fonctions sommables.

Pour étudier la question nous avons besoin de définir l’intégrale
d’une fonction X(f) sur un ensemble E mesurable et quelconque de
points du segmenta, b. Envisageons la fonction Y(i) égale à X(f)
si t appartient à E, nulle si E appartient à l’ensemble complémen-
taire Ef. Y(f) est évidemment mesurable et, en comparant les
sommes o de Lebesgue (fin du n“ 30) relatives à X(<) et Y(<), on
reconnaît que, si X(<) est sommable, il en est de même de Y(/). Par
définition nous écrirons

( \{t) (it ~ f X(t)dt :
J n J V.

c’est V intégrale définie de la fonction sommable X(C sur V en-
semble E.

Toujours par comparaison des sommes a et en admettant que E

CONTINUITÉ DES FONCTIONNELLES BT QUESTIONS CONNEXES. 4l

dépende d’un paramètre £ de telle façon que sa mesure tende
vers h — a quand s tend vers zéro, on a le

Lemme II. Siyi.{t) est sommable, on a

Hm f \{t) lit f \(t.) fit.

D’où enfin

Lemme III. X(/) étant mesurable et telle que

\(f ) \ dt

existe et soit bornée pour e tendant vers zéro, X(£) est sommable
et, d’après le lemme précédent,

\( t) dt — liin

£ 0

\(t) dt.

Ces préliminaires permettent enfin d’établir le résultat suivant, que
nous avions en vue :

Si les fonctions \„(t), sommables sur (a. 6), ont une fonction
limite, au sens habituel, X{t) et si les intégrales

f \\„{t)\dt

sont bornées par un nombre M, quel que soit n. la fonction X(^)
est sommable .

D’après le lemme I on a en cfict 1 X„(f) — X(/) | < £ pour n > N,
sauf sur l’ensemble dont la mesure tend vers zéro avec La fonc-

iN

tion \„{t) — X(<)Gst intégrable sur de même X„(^ ) donc aussi
X(0et|X(0|. Or

f \\(t)\dti f \X„(t)\dt-h f \\{t)~\„(t)]dt^M-h —

t/K •y E

r.y rsy

d’où, d’après le lemme III, l’existence de

42

CHAPITRE U.

Le théorème précédent ne permet pas d' affirmer que

est la limite de 1 \.n{t)dt. El il est facile de voir en prenant des

cas particuliers (par exemple X„(/) = ne~"‘) qu’il n’en est pas tou-
jours ainsi.

V. - AUTRE DÉFINITION DE Lh DISTANCE DANS LE
CHAMP FONCTIONNEL ; DISTANCE EN MOYENNE.
CONTINUITÉ EN MOYENNE.

3o. Si nous revenons au cas d'un espace à n dimensions, la distance

euclidienne de deux points x-î. . . ., u-,,) y,,) sera

une grandeur d telle que

(8) = (.r, — ..-h (a-„ — y„yK

Un voisinage du point (a?|, u?.., . . ., x„) est alors obtenu en limi-
tant d, mais on peut aussi le définir d’autres façons, pratiquemcnl
équivalentes, par exemple en limitant toutes les diflérences j Xi — j'i j :
au point de vue géométrique cela revient à définir respectivement le
voisinage par une hypersphère ou par un hyperparallélipipède de
centre (xf, æ.,, x,,)- La définition de la distance fonctionnelle

donnée au n” 17 se rattache au second point de vue; elle est à certains
égards la plus simple mais il eut été également naturel, partant de (8)
et appliquant le principe de passage du discontinu au continu, de
définir la distance fonctionnelle de deux fonctions /{t) et g'(t) par la
racine carrée de l’intégrale

( 9 ) / — 'h;

c’est la distance en moyenne que nous allons maintenant étudier.

36. Dans l’espace à n dimension la distance de deux points [définie
par (8) ou bien définie par le maximum des | x-, — r, |] n’est nulle que
si les deux points coïncident. Les distances fonctionnelles élémen-
taires envisagées au paragraphe 3 sont de même nulles dans le seul
cas où les fonctions considérées sont identiques : elles vérifient ainsi

CONTINUITÉ DES FONCTIONNELLES ET QUESTIONS CONNEXES. 43

la deuxième des conditions posées au n" 2 pour toute distance dans un
espace abstrait quelconque. La distance en moyenne ne vérifie pas
cette condition : elle sera nulle des que f {t) et g {t) ne différent entre
elles de zéro qu'aux seuls points d'un ensemble de mesure nulle.

C’est là un inconvénient auquel on pallie en faisant la convention
■suivante, qu’il convient d’accepter dans presque toutes les questions
où intervient la distance en moyenne :

Deux fonctions f(t),g{t)ne seront pas considérées comme diffé-
rentes si f{t) — g{t) n'est différent de zéro qu'aux points d'un
ensemble de mesure nulle.

37. Pour l’intégrale définie (jui figure dans ( 9 ) il est naturel d’adopter
la définition la plus large possible, c’est-à-dire celle de M. Lebesgue.
Remarquons d’autre part que si une fonction est sommable il n’est
pas forcé que son carré soit également sommable. Par contre
d’après 9 et t du n" 33, si une fonction est mesurable et de carré
sommable, elle est ellc-mème sommable ainsi que sa valeur absolue.

Nous nous bornerons au champ (JC) des {oncùona mesurables et de
carré sommable ; on va voir que dans ce champ il n’y a pas de diffi-
cultés à prendre la distance en moyenne.

Deux fonctions /(O elji^(C appartenant au champ (JC), on vérifie
sans peine que leur produit est sommable et que l’on a l’inégalité de
Schwarz

-S f

* a *

' (I

(10)

Toute combinaison linéaire de f et g a
sommable; en particulier

donc aussi son carré

qui, par définition, donne le carré de la distance en moyenne de f {t)
cl g{t). L 'espace fonctionnel (JC) est donc distanciable en prenant
pour distance

t) — jï

distance en moyenne. On adopte.^ bien entendu, la convention de
la fin du n” 36.

CHAPITRE II.

38. Dnns le champ (^) ainsi distancié, la définition de la conver-
gence sera évidemment la suivante (c/. n° 2); une suite /i(0'

. . . , tend vers/(f) si

Hm f [fnit) dt =

« = » J a

on dit alors qu’il j a convergence en moyenne vers f{t).

Il est clair alors que toutes les conditions posées au n" 2 pour la
distance abstraite seront satisfaites par la distance fonctionnelle en
moyenne. Notons seulement que pour établir rapidement l’inégalité

(11) (/, .A’-)S(/» ^0 ^0-

où h{t) est une troisième fonction du champ (c^C), ou remarquera
que l’on peut toujours supposer h(^t) nulle et l’on se ramène alors à
l’inégalité de Schwarz. Observons aussi que (i i) entraîne la suivante

( 12 ) (/, / o -+ 2 ( a ''. h y

qui se ramène à l’inégalité entre nombres

( rt -4- 6 )-^ 2 n- -t- •>. h-

et qui est souvent d’un emploi commode.

Un voisinage en moyenne de f{l) pour le nombre e sera l’ensemble
de toutes les fonctions g{t) telle que

(./'. é') < -

Enfin une fonctionnelle U[/(f)] sera continue en moyenne
si, lorsque fn{t) tend en moyenne vers f{t), U[/n(<)| tend
vers U[/(«)J-

39. Quand la suite /«(Q converge en moyenne vers f{t) il est
évident, d’après (i i) ou ( 12 ), que

(13) lim / \fnM)—fn{t)ydt = v.

ni, n — 'x,

Il est intéressant pour la suite d’établir que V espace fonctionnel {SC)
est complet, c’est-à-dire qu’on y a une généralisation du critère de
Cauchy :

CONTINUITÉ DES FONCTIONNELLES ET QUESTIONS CONNEXES. 4^

Si une suite /n{t) vérifie (i3) elle converge en moyenne vers
une fonction f{t) appartenant à{3C) et qui n’est définie, bien
entendu, qu’en faisant abstraction de ses valeurs sur un ensemble de
mesure nulle ( ’ ).

Pour établir ce fait, nous passerons par l’intermédiaire de la con-
vergence en mesure. D’après (i3) on voit que, s et rj étant choisis
arbitrairement petits on aura, dès que m et n sont assez grands.

1 f ni it) f H {t)\ . ^ ?

sauf sur un ensemble de mesure inférieure à tj. On s’en rend comple
eu observant que, d’après la définition même de l’intégrale, si

il est certain que

(O— /«(Ol* d/

a.

\fni^ t ) f n{ t ) ,

ne peut dépasser une limite [3 que sur un ensemble de points dont la
mesure est inférieure à on prendra m et n assez grands pour que «
soit égal à puis (3 = £.

40. Montrons ensuite que, étant donné une suite telle que,

s et rj étant arbitrairement petits, on ail

/„( m ^ î.

sauf sur un ensemble de mesure inférieure à rj dès que m et n sont
assez grands, cette suite f,i{t) converge en mesure vers une fonc-
tion f(^t).

Pour délinir f{t) nous prendrons l’entier N, tel que, pour m > iN,,
on ait

|/m(O-/x.(0l< îl,

sauf sur un ensemble de mesure inférieure à rj, ; puis, k étant un
nombre inférieur à l’unité, nous prendrons N., de façon que

\fni{t) —fsft) I < A s, (m >

sauf sur un ensemble de mesure inférieure à yî-j, ...; en général

OC/. Ribm, 1 !)t |.

46

pour m > N,,, on aura

CHAPITRE 11.

sauf sur un ensemble d’étendue inférieure à rip.

La suite

(i4) A(0> / n ,( 0 , •••' /spit), •••

est convergente, au sens usuel, en même temps que la série

/n,(0 ■+■ f/N,(<) — /ni(0] -•-•••-+- 1/n,,+,(<) — fypi 0] “*■••• î

dont le terme général est inférieur en module à sauf sur un

ensemble é^, de mesure inférieure à rip.

En tout point t qui n’appartient pas à une infinité d’ensembles E,,
la suite (i4) ® donc une fonction limite /(<). Tout autre point appar-
tient à l’ensemble &p t»/, + . quel que soit p] l’ensemble

correspondant a donc une mesure inférieure à y);, -f- ^(]p.^.^ quan-

tité qui sera arbitrairement petite avec ^ si, ce qui est toujours possible,
on choisit les rip de façon que la série rji iQa + • . • soit convergente.

Il reste à vérifier que la suite fn{t) converge en mesure vers la
fonction /(<) dont l’existence vient d’être établie. C’est évident car

/— /v/. = (/>> • . — A- ) -+■ ^fyp

d’où

infiniment petit sauf en des points formant un ensemble dont la
mesure est arbitrairement petite avec il en est de même

pour |/„ — dès que n dépasse N^.

41. La fonction /(t) ainsi obtenue est limite de la suite sauf
aux points qui appartiennent à tous les Sp. Or l’ensemble S' commun
à tous les Sp est évidemment de mesure nulle ; en modifiant conve-
nablement les valeurs de /(t) et des aux points de S', modifi-

cation qui est évidemment sans importance, on aura

lim/N (0=/(0
/; =: 00

en tout point de l’intervalle (a, b), la limite étant prise au sens usuel.
La fonction /(t) est donc mesurable.

CONTINUITÉ DES FONCTIONNELLES ET QUESTIONS CONNEXES. 47

Pour prouver qu’elle est de carré sommable on appliquera le théo-
rème du n" 34. L’inégalité ( 12 ) du n" 38 conduit à

b pb P b

n n

et le premier terme au second membre est borné quel que soit A,
donc aussi le premier membre.

42. Reste enfin à voir que /(<) est bien la limite en moyenne de
la suite fn{t). Or on a, comme ci-dessus,

^ n ^ a

I ) ]- dt -+-

-/"l/v.'-

''a

— /„{ tf^-dt.

Le second tenue à droite peut évidemment être rendu arbitrairement
petit. Nous n’avons plus à considérer que l'intégrale

(| 5 | f d/.

Or, sur le complémentaire d'un ensemble &q du n“ 40, la suite
/ni’/x,’ '•"! <îonverge uniformément vers /(O^ sorte que la partie

correspondante de l’intégrale (i5) tend vers zéro avec -• 11 reste à

établir que l’on peut prendre q assez grand pour que

soit arbitrairement petit quel que soit p assez grand; mais

f [/(f )-/s,(t)Ydt >. I \/(f)-/.„{n\^dt + 9 f \Mt)-/s,{t)Y-df:

• ./fs- .J

pour m et N,, assez grands le second terme à droite sera arbitrairement
petit; m et N,, étant fixés, le premier terme à droite tend vers zéro

avec ^ puisque, dans ces conditions, la mesure de 3q tend vers zéro.

Le théorème du n“ 39 est ainsi établi.

CHAPITRE lü.

FONCTIONNELLES LINÉAIRES. AUTRES TYPES SIMPLES
DE FONCTIONNELLES.

I. - FONCTIONNELLES LINÉAIRES.

1. Après ces considérations générales, nous allons examiner
maintenant divers cas particuliers notables et, d’abord, celui des fonc-
tionnelles dites linéaires ou du premier degré (homogène). Les plus
simples d’entre elles sont déduites des formes linéaires à n variables

n

y»)

en appliquant le procédé général de passage du discontinu au continu
(Chap. 1, n" 5); elles seront par suite de la forme

(0

Fl

b

OÙ k{t) est une fonction donnée (fonction-coefficient) et où >'(^) est
fonction-argument. Une fonctionnelle du type(i) sera dite Un(hiir<> et
régulière.

En posant

(2) /(U = +

il vient

(3) Fi[r(Uj = >‘F,[j,(01-H|xF,[j,(0J.

Sous des conditions très larges pour k{t) et pour le champ de
variation de l’argument j(f) les fonctionnelles définies par (i) pos-

FONCTIONNELLES LINÉAIRES.

49

sèdent la continuité élémentaire d’ordre zéro. On peut d’ailleurs (*)
leur attribuer la continuité en mo^^enne : les fonctions considérées
étant prises dans le champ (0C) des fonctions mesurables et de carré
sommable on a, d’après l’inégalité de Schwarz,

I Fif.Ki I — J AHtjflt I —

d’où le résultat.

2. Avec M. Hadamard, nous nommerons fonctionnelle linéaire
tonte fonctionnelle telle que :

a. mile soit distributive^ c’est-à-dire

-t- = U(_Ki(0! J:

b. c étant une constante quelconque, on ait

t;( = r ( j.

Ces deux conditions entraînent la précédente
rî t F|,k( F|^K|(/)| -I- ,u I 1 V2(/)J;

en posant loujour.s

K( / ) = À Kt ( / ) -H }Jt ^»'2< t >■

[j’expressiou précédente (i) définit bien une fonctionnelle linéaire.
Mais il est clair que (i) ne donne pas tontes les fonctionnelles
linéaires; elle ne donne même pas toutes celles qui ont la continuité
d’ordre zéro.

En (îffet, considérons par exemple

('») Ax /).»■( O -eV a, •)•(-, I.

I

où les T, représentent des valeurs fixes choisies entre a et b et les a,-
des constantes, (^ette fonctionnelle est continue d’ordre zéro si la
série ^ | «/ i converge, elle ne peut pourUnl pas être mise sous la
forme (i). Les fonctionnelles de type (4) joueront un rôle assez
important dans la suite. L’intégrale an second membre sera dite

Kréchet, [33]; Stki\h.\is, i!)8).

VOLTBRHA

5o

CHAPITRE III.

représenter la partie régulière d’une telle fonctionnelle ; la série en
représente la partie exceptionnelle et nous dirons aussi que la
fonctionnelle dépend exceptionnellement de y{t) aux points excep-
tionnels Xi', la contribution finie iXiy{xi) apportée par chacun de ces
points à la fonctionnelle est d’un ordre de grandeur plus élevé que
la partie infinitésimale k{t)y{t) dt venant d’un autre point du
segment («, h').

De même

/ /•

si 2 I I converge

/

élémentaire d’ordre un; sa partie exceptionnelle comporte des
termes où figure la dérivée première de y calculée aux points excep-
tionnels ô,-. Il sera facile de définir de même des fonctionnelles linéaires
ayant une continuité élémentaire d’ordre quelconque.

3. Les types précédents de fonctionnelles linéaires sont assez
généraux pour la plupart des applications. Ils n’épuisent pourtant pas
tous les cas possibles.

Mous avons donc à examiner ici le problème de la représentation
analytique de toutes les fonctionnelles linéaires. Ce problème n’est
bien posé et ne peut être traité (ju’en précisant le champ fonctionnel
de définition et le mode de continuité des fonctionnelles cherchées.

4. Rappelons an préalable quelques propriétés simples des fonc-
tionnelles linéaires et continues ('), en admettant, pour fixer les
idées, qu’il s’agisse de la continuité élémentaire d’ordre zéro.

Si une fonctionnelle linéaire est continue pour une valeur y i (ï) ch*
la fonction-argument, c’est que

(G) iJly-iCol-lMj.COI

tend vers zéro avec la distance (yi, yo). Or en posant

5y = yî — .»■>,

^ la continuité

sera fonctionnelle linéaire avec

(

(*) Vf. F. Hiesz. f'J2].

FONCTIONNELLES LINÉAIRES.

:ji

la différence (6) est égale

et doit tendre vers zéro avec max |ôr(<)!.

La condition ainsi obtenue no dépend plus de la fonclion-argu-
uienty,(i) de sorte que : la continuité pour une valeur de l'argu-
ment entraîne la continuité pour toute valeur de cet argument.

Désignons d’autre part comme domaine borné du champ fonc-
tionnel de définition de U la portion de ce champ caractérisée par le
fait que

max ! _)'( t) I

reste inférieur à un nombre M. Nous allons voir que :

Toute fonctionnelle linéaire et continue, est bornée dans un
domaine borné du champ fonctionnel .

Sinon, en ell’et, on pourrait trouver une suite de fonctions »,((<)
telles que

ma\j,)M(/)

et

' t '[.)•/( ( / ) 1 X* ( X = I .

.Mais alors la série

1

si"nc de l ( ) 7 - 1

convergerait uniformément vers une fonction du champ et l'on

aurait

ce qui est absurde.

Remarquons enfin que le fait que L est bornée en module par le
nombre P dans un domaine du champ fonctionnel

max ],»■(/ ) 1 • M

entraîne, d’après la propriété b du n" (|ue

I 7 )

I < ' >1 ! = '^1 '»ax I t ) I,

quelle que soit p(f). Il en résulte que la fonctionnelle L est continue
au voisinage de o. donc pour toute valeur de l’argument > (/).

CHAPITRE III.

5 *

Il est donc équivalent de dire que la fonctionnelle linéaire est
continue ou de dire qu'elle est bornée pour tout domaine borné
du champ fonctionnel.

Toutes ces propriété, établies ici pour la continuité d’ordre zéro,
s’étendent, mutatis mutandis., aux autres types de continuité.

5 . Revenons au problème, posé dans le n" 3 , do la représentation
analytique des fonctionnelles linéaires. Une première solution fut
donnée par M. Hadamard en 1908 (*). Elle s’applique aux fonction-
nelles linéaires définies pour les fonctions continues et ayant la
continuité élémentaire d’ordre zéro; elle s’appliquerait aussi au cas
où l’on admet seulement la continuité élémentaire d’un ordre p
quelconque.

La fonctionnelle cherchée étant linéaire, si

/

on a

i

et, passant de la somme à une intégrale, on a

^ [ X V( >• ) ^ [n (01

Ramenons l’intervalle (a, 6) à (0,1) et prenons en particulier

•^0

C ^-^«(0-/)» ^/o

^ O

expression dans laquelle y'(X) joue le rôle qu’avait plus haut /(X). 11
vient, d’après (8),

ufrix(0]= IX)

• 0

(') Cf. ( 60 ] et ( 61 ].

avec

FONCTIONNELLES LINÉAIRES.

PyK f^)=--ü

«-^0

53

qui est indépendante de l’argument variable ^(f). Mais il est classique
que tend uniformément vers y{t) quand (x tend vers l’infini.

Nous aurons donc, à cause de la continuité postulée pour la fonc-
tionnelle

(9) L)|.X< = lÛH f’f.Ku.( O) = •'»' f PO', (IX.

- « Jlrr 3C

Telle est la formule générale de M. Hadamard : mais il est clair
que la représentation ainsi obtenue n'est pas unique. Toute formule
analogue à (8) et donnant, sous forme d’intégrale où figure j'(/), une
fonction qui tend uniformément vers yit) pour jui infini,

donnera pour ü[ )'] une- expression analytique analogue à (9) avec
une F(X, ix) convenablement choisie.

6. Une autre expression des fonctionnelles linéaires a été donnée par
M. F. Riesz ( ' ). Elle suppose seulement la fonctionnelle linéaire
définie pour les fonctions continues dans V intervalle (a, b) et pos-
sédant la continuité élémentaire d’ordre zéro, donc bornée. Mais
comme la démonstration utilisera des fonctions ayant des discon-
tinuités de première espèce, il convient d’abord do prolonger à de
telles fonctions la définition de la fonctionnelle.

C’est ce qui est aisé par les remarques suivantes : étant donnée une
suite de fonctions continues, suite croissante, c'est-à-dire telle que

(l<>) • • •>

quel que soit t, suite ayant une limite u{t) bornée, mais qui n’est
pas forcément continue, je dis que, pour n ce, U[y,, (f)]
une limite. Soit, en effet, la série

(il) 1 1 1 i I — i

dont les sommes partielles correspondent par l’opérateur U à celles de
la série

(.>■•-’ — (/:i — y* ) • • •

(') Riesz, [ 90] et [95 |.

CHAPITRE III.

54

avec des signes convenablement choisis. Mais, d’après les inéga-
lités (lo), les sommes partielles de la dernière série sont en module
inférieure à

j'î — ri -+-(^3 — ^2) -+-...= u—yx

bornée supérieurement par un nombre C. Puisque la fonctionnelle U
est bornée, les sommes partielles de (i i) sont elles-mêmes bornées et
la série

uiril + (U[r2j-u[ri])+...,

dont les sommes partielles sont U[r'„J, est absolument convergente;
donc U[yrt] a bien une limite.

Par définition cette limite donnera U[m(<)], valeur de la fonc-
tionnelle U lorsque la fonction argument est u{l).

Reste à vérifier qu’une seconde suite z„{t), également croissante

et tendant vers la même limite n(f), donnera
(12) lim U[3„] = lira Ufr» | =

// = 00 fl — »

En effet, en remplaçant au besoin les suites par >'„(^) — ^ » ^«(0 —

ce qui ne change pas les limites, on peut les prendre croissantes au sens
étroit

y i <c y 2 <.•••? ^ ^ 2 •

et, yn étant un élément quelconque de la première suite, on aura,
pour m assez grand, Zm^yn, car sinon les points tels que

yn^Z], yn^Z-Xi ...

formeraient une suite d’ensembles dont chacun contient le suivant,
ayant donc au moins un point limite pour lequel on aurait yn^ u, ce
qui est absurde.

De même, m’étant fixé on aura yu-'> ^ès que n' est assez grand.
Dans ces conditions on peut extraire des suites yn et Zn une suite
analogue

yni<^ S/,, <> • . •

tendant vers u. On en déduit ( 12 ) et cotte même égalité permet
d’affirmer que la définition de U[w] n’est pas entachée de contra-
diction dans le cas où u{t) est elle-même continue.

FONCTIONNELLES LINÉAIRES.

55

Remarquons enfin que si h cl v sont deux fonctions du type consi-
déré (limites de suites croissantes de fonctions continues), a -t- e esl
du même type et que

U — n’est pas forcément du même type, mais il n’y a pas de diffi-
culté à prendre, par définition,

parce que l’égalité

cntraini*

d’où

U ( 1/ — (• I = i' I M 1 — ^ U *’ !•
u{t } — i’( / » = m'( t) — v'{ f)

= Ufe]

La fonctionnelle U ainsi prolongée reste linéaire et l’on vérifie sans
peine qu’elle reste également bornée.

7. Représentation de Riesz. — Considérons alors la fonction O
égale à i pour et nulle pour t ■< f ^ 6 , fonction qui appartient
au champ fonctionnel ainsi prolongé et posons

(i3) U|yt( n| =/(T).

Celte fonction de ~ est à variation bornée, ce qui veut dire que,
f,, t-i. . . ., lu i étant des points de division quelconques de l’inter-
valle {a. b), la somme

■J = \f{t\ ) — /{>! ) I -4- \f^ Il t — t\ ) ; -H ... -H \f^ h I — — \ t I

est bornée, quelle que soit la subdivision considérée ; on le voit en con-
sidérant une fonction égale à £ 3 . . . ., £„ (valant ±: i) dans
chacun des intervalles (a, <,), (/,, On a

Ü f ^ = s, (/( /, ) —/(a)) -H . . . -I- £„ (/; A ' — /( /„ -1 ))

qui se réduit à <j pour un choix convenable des £,• et c est bornée par
M, module maximum de U lorsque la fonction-argument est bornée
en module par l’unité.

Soit alors une fonction continue quelconquey'(<), nous la remplace-
rons par ïî(/) définie de la façon suivante : on divise (a, b') en n inter-
valles partiels et dans chacun d’eux («,_., , ti) on prend yj (/) égale à l’une

56

CHAPITRE III.

des valeurs ^(7i) prise par dans l’intervalle en question. La fonc-
tionnelle étant linéaire, on a

f ïi( O] =

/

et, puisque U est continue,

U[/(«)l = Uni U[7i(01 = Jimy y{Tt) [fiji) -/(//-.)].

I

la limite étant obtenue quand l'amplitude maxima des intervalles
partiels tend vers zéro.

Il est naturel de désigner la limite

(i4)

par la notation

c’est une intégrale de Stieltjes, et l’on a ainsi la représentation de
Riesz : Toute fonctionnelle linéaire ayant la continuité élémen-
taire d’ordre zéro, peut s'exprimer par une intégrale de Stieltjes,

(l5) \]\y(t)\= f y{t)df{t),

^ a

l’argument y (<) étant supposé continu.

8. L’intégrale du second membre de (i5) a d’ailleurs un sens, et
définit par suite une fonctionnelle linéaire de y quelle que soit /(t)
à variation bornée. Pour s’en rendre compte il suffit de reprendre le
raisonnement par lequel on établit l’existence de la limite de (i4)
lorsque f{t) Qty{t) sont données quelconques, la première à varia-
tion bornée, la seconde continue.

La fonction continue y{ t) est uniformément continue, on peut donc
prendre les intervalles (/t_i, ti) assez petits pour que, dans chacun
d’eux, l’oscillation de la fonction soit moindre de £ arbitrairement
fixé. Subdivisons alors les intervalles ti) par de nouveaux points
de division t],, . . ., t';i., le terme général de (i4) sera remplacé

par la somme

(/(^•)— /< '<-1 ))
y{t)df{t),

FONCTIONNELLES LINÉAIRES. 57

dont la différence avec le terme correspondant de (i 4) est évidemment
moindre de

1 ^/,i ) ) I \f^ ^ — .A H ■+■ • • • ! ■<

en tout la somme (i4) subit une variation moindre en valeur absolue
ejue sV, où V est la variation totale de f{t) pour l’intervalle (a, b).
Etant donnée enfin une nouvelle subdivision de l’intervalle (a, b) par
des points Ôa, . . . , les nouveaux intervalles étant assez petits
pour que l’oscillation dey(<) dans chacun d’eux soit encore moindre
que £, la différence entre les deux sommes (i4) correspondantes sera
inférieure en module à 2 s V, comme on h; voit en envisageant la subdi-
vision que donne l’ensemble des points /iet 04 . lien suit bien, comme
il était annoncé, que (i4) tend vers une limite lorsque l’amplitude
maxima des intervalles partiids tend vers zéro.

9. Si la fonction f{t) définie par (i3) est continue et dérivable
dans l’intervalle (a. 6), la fonctionnelle se réduit au type

l’intégrale de Stieltjes étant remplacée par une intégrale ordinaire.

Si f{t)'A des discontinuités, nécessairement de première espèce
(puisqu’elle est à variation bornée) eten nombre fini ou dénombrable, si
nous désignons par a, le saut de la fonction à l’un de ses points de dis-
continuité Tj, si enfin la fonction reste dérivable aux autres points
de (a, 6), la fonctionnelle prendra la forme

1 * 171 = J /'< ny{t)<b -h^Xiy(Xi\

dépendant exceptionnellement des valeurs de y aux points de discon-
tinuité de f (t).

Dans le cas général, enfin, /(f) peut n'avoir pas de dérivée sur un
ensemble de points non dénombrable, mais qui a nécessairement une
mesure nulle. La fonctionnelle se décompose alors en trois parties (')

(') Cette décomposition est due à M. P'héchct, [3!)].

58

CHAPITRE III.

on a

(i6) u[j]=jr' /'( »t,v{ ■‘■jT

La première est une fonctionnelle régulière, la seconde une partie
exceptionnelle, la troisième est un nouvel élément, où figure l’intégrale
de Stieltjes de façon essentielle, cette intégrale faisant intervenir une
fonction ç(t) dont la dérivée est nulle, sauf sur un ensemble non
dénombrable de mesure nulle.

10. Cas de la continuité en moyenne. — Nous noterons les simpli-
fications qu’apporte l’hypothèse que U possède la continuité en
moyenne dans le champ (c^). U possède a fortiori la continuité
d’ordre o dans le champ des fonctions continues de sorte (jue la for-
mule (i6) s’applique, mais elle est réduite au premier terme

Iff/J = f ./'<

a

car les deux autres termes sont incompatibles avec la continuité en
moyenne {').

11. Cas de la continuité élémentaire d’ordre j>. — Admettons
maintenant que la fonctionnelle ü est définit; dans le champ des fonc-
tions continues ainsi que leurs dérivées jusqu’à l’ordre p et qu’elle a
la continuité élémentaire correspondante (d’ordre />) ( ■).

La fonction argument y'(<) peut alors être mise sous la forme

yit}— y{-)-^( t — -)/{-) -H. .

■+■ I J- v^f'U s) rts

(/>— I)! -

(formule de Taylor avec le reste sous forme d’intégrale), t étant
choisi ad libitum dans l’intervalle («, b). La fonctionnelle linéaire
U[y'(<)] s’écrit alors

L [^(<)] = any(-) -h at y'(z) -i- . . .-h y^r-'Hx) -+■ 1

(') Fréchet, [33].

(>) C/. P. Lévy, [7:jj, p. 5 g .

FONCTIONNELLES LINÉAIRES.

59

avec

et

■yU>) (s }ffi.

Celte dernière expression est fonctionnelle linéaire de^<^>(/), con-
tinue d’ordre zéro au sens élémentaire. Elle a donc une représentation

où il est clair que

V[yi/>)(()\ = j y^/>)l s } d/( S ),

/{s} =

ys{t) ayant les valeurs suivantes ; si s <; r,

it— s I’

y.i(n

pour a < / £

y,(1)=zO

si S > T,

pour s

: f<b:

. . ( / — ■: )/'
VA 1 ) = : —

P-

pour

, ( < — T )/'

r,( / ) = j —

/>!

pour s

On a donc enfin

U \y( / ) 1 = (7cy^(-: ) -(- ai > '(

T *- 4 -

où l’intégrale de Slielljes peut, comme plus haut, ^e décomposer en
trois parties.

La représentation ainsi obtenue n’est pas unique puisque les coef-
ficients «, aussi bien que la fonction f dépendent de r, qui peut être
pris arbitrairement dans l’inl<*rvalle (a, b){').

II. - FONCTIONNELLES DU SECOND DEGRÉ
ET DU DEGRÉ SUPÉRIEUR.

12. Fonctionnelles régulières. — Au début du Chapitre nous sommes
passés de la considération des formes linéaires à n variables à celle

(*) Cf. P. Lévy, [75], p. 60.

6o

CHAPITRE 111.

des fonctionnelles régulières. De façon analogue nous pouvons passer
des fonctions homogènes du second degré à n variables

( 17 ) P-i (71 > • • • > yn ) = 22

r n

aux fonctionnelles F2[y(0]» nous nommerons homogènes et
régulières du second degré, données par l’expression générale

(18) F,l/U)l= r* f' m,-r\)yi\)y{-r\)d>kd-r^,

• n •

où la fonction-coefficient (ou noyau) K(?, yj) est donnée.

Dans (17) nous pouvons toujours supposer que h',s~ hsri car dans
le cas contraire on pourra écrire

P.,:

22

avec

l' rs —

De même si le noyau K(?, yj) n’est pas symétrique en ^ et yj, il suf-
fira d’écrire

avec

^■Ayit}]^ f f K'(Ç, •ri)j(?)j(yi)dM-'l

d,,

KtJ. T, ) -4- K( T,, ï)

K'($, T.) =

pour être amené à un noyau symétrique.

13 . Plus généralement nous nommerons fonctionnelle homogène
et régulière de degré n la fonctionnelle donnée par l’expression

(19)

F„

[ 7 ( 01 = /'•••/'

K($i, $2,

X d\\ d\<i. . . . d\n.

dans laquelle, comme ci-dessus, nous pouvons sans restreindre la
généralité admettre que le noyau K (Hi , ^2, • . •, ®st fonction symé-
trique des variables qui y figurent.

Les fonctionnelles du type de F„ apparaissent comme extension

FONCTIONNELLES LINÉAIRES.

6l

des formes de degré n pour le cas d’une infînité continue de variables.

14. Nous appliquerons enfin le terme de fonctionnelle régulière
de degré n aux fonctionnelles telles que

( •>.')) G„(j(<)l = Ko Fl [j( F„[r( <)J

qui sont sommes de fonctionnelles homogènes régulières dont le degré
le plus élevé est égal à n. Elles généralisent dans le calcul fonctionnel
les polynômes de degré n de l’analyse ordinaire.

lo. Une propriété notable de ces fonctionnelles régulières de degré
n est qu’ell«*s peuvent être utilisées pour obtenir une approximation de
n’importe quelle fonctionnelle continue. Nous avons en eflet le théo-
rème suivant dû à M. Fréchet ( ' ) :

Toute fonctionnelle G[jy(<)], continue d'ordre zéro dans le
champ des fonctions continues peut être représentée par
V expression

G [>•( n] = lim G, J7( n).

c'est-à-dire désignant une fonctionnelle régulière de degré r„)
( îi) G|^(n] = lini f A-„,i(?i Iji'i Wîi

«=» L

C f A';|,2(5i, ) K( ;i Çi ) '/îl • .

pl' J'

/ ■■■ / îi '

où les noyaux . . ., c») sont des fonctions continues que

Von peut déterminer pour la fonctionnelle G indépendamment de
la valeur de l’argument y {t).

Nous donnerons une démonstration due à Gâteaux (^). Nous avons
déjà vu (Chap. Il, n“ 22) que la fonctionnelle F[y^(/)] continue au
sens élémentaire peut être considérée comme limite, pour n infini,

(') Cf . Fréchet, [37].
(’) Cf . Gateaux, [57].

62

CHAPITRE III.

d’uné fonction continue /„ jKa, les variables r(,y3 ...,.rn

étam les valeurs que prend j(<) pour les abscisses

a -f-

Cl -4-

nib — a)
n

Ce résultat reste évidemment valable siy,, Ja • • •» représenlenl
des valeurs quelconques prises par^(f) dans les intervalles respectifs

[a, a -I-

et ■+*

2(6 — a)
n

D’autre part, d’après le théorème de Weierslrass sur les fonctions
ordinaires, on peut remplacer les fonctions continues {y ^ , (Ka, . . . , y„)
par des polynômes par rapport aux variables PrSj'\> .Ta» • • •• Xn),
polynômes d’approximation dont /•„ désigne le degré.

Choisissons alors, pour chaque valeur de n une fonction «„(f) con-
tinue dans l’intervalle (a, è), nulle en chacun des points de division

i(b — a }

«H (/ = I, 2, ..., n),

positive dans chacun des intervalles que forment ces points et telle
que les intégrales

/

a -y. -

/-I

!ln{t)dt (l = l. 2, .... n)

[h — a)

soient égales à un. Nous pouvons profiter de l’indétermination des t,
pour choisir

a-f- ~ (ft—t*)

yt= J a„{t)y{t)dt

n -+• - — —
n

et, dans ces conditions, le polynôme ja, • • • , J») =*6 ™et sous
forme d’une fonctionnelle régulière de degré /■„ : c’est ainsi que les
termes du premier degré de ce polynôme

Cifi -¥■ Cif-i c„y„

donneront

FONCTIONNELLES LINÉAIRES.

63

lii fouclion A*, 1,1 étant égale à Ci(Xn{t) dans l’intervalle

I I » V ' ,

a H {h — a), a-\ (b — a).

n n

Le théorème est ainsi établi.

Notons que les nojaux , ) sont des fonctions continues

que l’on pourra donc remplacer dans la formule ( 21 ) par des
polynômes d’approximation.

16. Ce ihéoréme généralise le théorème de Weierstrass (') sur les
fonctions conlinues considérées comme limites do polynômes.

D’après ce que l’on a vu au Chapitre H (n” 22) la convergence
sera uniforme dans tout ensemble compact de fonctions continues.
Cela correspond à la convergence uniforme, dans le cas du théorème
d(^ Weierstrass, si les fonctions sont envisagées dans des domaines
Unis.

17. Oénéralisations du résultat de Riesz sur les fonctionnelles
linéaires. — Nous avons vu précédemment qu’il y avait d’autres
fonctiounelles linéaires que celles qui sont régulières et nous sommes
arrivés à la notion de fonctionnelles linéaires générales en les carac-
térisant par des conditions {a. A du n"2) que vérifiaient en particulier
les fonctionnelles régulières :

11 est aisé de développer dos considérations analogues en partant
des fonctionnelles régulières homogènes d’un degré quelconque.
Pour abréger, nous traiterons en détail le seul cas du second degré
et nous donnerons seulement de rapides indications sur le cas général.

18. Toute fonctionnelle régulière et homogène du second degré

vérifie la condition suivante :

( •>-•>. ) F[X^Ki( t) ■+■ aH/.a ■+■ (’.fx-,

A, B, C étant des fonctionnelles de yi (< ) et de y' 2 (<) et la relation
étant valable quelles que soient y'i(<),y'i(<) et les constantes 7. et /ji.
La relation (23) entraîne d’ailleurs

A = F[y.(Dj,
r. = Fly.,{t)]

<') Cf. I119J.

64

et l’on a enfin

CHAPITRE in.

aB = F[j,(0 — F[^i(/)] — FfjsCOJ.

B est d’ailleurs une fonctionnelle bilinéaire de jk, et de y^, ce qui
veut dire qu’elle est linéaire par rapport à chacune d’elles quand
l’autre est fixée. Enfin B se réduit visiblement à F quand on prend
les deux arguments dont elle dépend égaux ky(t).

Mais il existe d’autres fonctionnelles que les régulières qui peuvent
se déduire d’une fonctionnelle bilinéaire on égalant les deux argu-
ments : ce seront, par définition, les fonctionnelles homogènes
entières (du second degré). Nous allons voir [42] qu’elles admettent
une représentation analytique tout à fait analogue à celle que Riesz a
donnée pour les fonctionnelles linéaires mais où intervient une inté-
grale multiple de Stieltjes (intégrale double dans le cas du second
degré).

i9. Soit donc une fonctionnelle bilinéaire dépendant de deux
arguments y et Y

<I*[r(î), Y(î')].

Reprenant la méthode du n" 7 nous désignerons par fonc-
tion égale à un pour a<t<i: et nulle pour r < 6 et nous introdui-

rons de même Y^,(^'). Nous poserons enfin

définissant ainsi une fonction ordinaire des deux variables t cIt'. 11
restera enfin à remplacer j(<) et Y(<') par deux fonctions approchées
H(«) définies comme au n" 7. Les points de division ne sont
pas forcément les mêmes pour les intervalles de variation de t et de e' \
nous les désignerons par tj et t\.

Dans ces conditions

‘l*[''l(D, = (7^(0— i,

2 ^ ^ î ^ ) I j

qui, d’après la bilinéarité se réduit à
(•i3) 2-^{/")y(c.) <Â) -/(</,

ik

FONCTIONNELLES LINÉAIRES. 65

*[r(0, Y(o] est la limite de cette expression quand les intervalles
partiels tendent vers zéro.

La limite d’une somme telle que (a3), indépendante des intervalles
partiels considérés, est, par définition, V intégrale double deStieltjes
étendue au carré 6, a^l''^b du plan 2, l'. Si nous remarquons

que dans (aS) les termes dans les parenthèses constituent une double
différence de f obtenue en faisant varier t puis t'. il est naturel de
noter l’intégrale double de Slieltjes

P f» ^ h

/ / y{t)\{t')dtdrf{t, t').

Nous aurons donc

Y(<')]= f f y(f)\it')d,d,’/(t, t’]

et, enfin, pour la fonctionnelle homogène générale (du second degré)

/-* r'’

(^4) f y{t)y{t')dtd,.f(t. t'),

où l’on peut toujours, comme plus haut, supposer /(<, <') symétrique.

20. L’intégrale double de Slieltjes peut se noter de façon un peu
différente en faisant intervenir l’expression

\\{S\=J J' dtdt’/{t, e'),

où l’intégrale double est étendue à une aire S quelconque du
carré a^t'^b, a^ t''^ b. H est en somme une fonctionnelle de l’aire S ;
c’est une fonctionnelle additive en ce sens que, si l’on réunit deux
aires S et S' sans partie commune

H[S -t- S'J = HfS j-i- H[S'l.

L’intégrale de Slieltjes précédente peut s’écrire alors

ou, si elle porte sur une fonction quelconque ©(f, /' )

f t')dli.

(a5)

66

CHAPITRE III.

Intuilivement on peut dire que représente la valeur de H
pour une aire infinitésimale autour du point tt' du carré. On démontre
que (aS) a un sens si <p(^, t') est continue et si la fonctionnelle H est
à variation bornée ce qui veut dire que, pour toute décomposition
du champ d’intégration en domaines élémentaires, la somme des
valeurs correspondantes de H, chacune prise en valeur absolue, reste
bornée.

21 . L’intégrale double de Stieltjes qui figure dans la formule pré-
cédente (24) peut être décomposée en termes de nature diverses, de
même que, au n“ 9 , l’intégrale simple de Stieltjes donnant l’expression
d’une fonctionnelle linéaire. Seulement la décomposition est plus
compliquée.

Sans insister sur cette décomposition pour laquelle nous renvoyons
le lecteur au livre de M. P. Lévy (’) nous indiquerons seulement la
forme des termes les plus simples, qui s’expriment par des intégrales
ordinaires; ils seront du type

(18)

déjà rencontré et

intégrale prise sur une courbe continue G intérieure au carré et pour
laquelle sont des fonctions continues d’un paramétre s.

Très souvent celle courbe se réduit à la diagonale du carré ei (26)
prend alors la forme particulière

(260 f K(Ç)70?W?.

a

M. P. Lévy nomme fonctionnelles normales celles où ne figurent
que des termes du type (18) ou (26').

22 . Des considérations analogues s’appliqueraient aux fonction-
nelles entières homogènes d’un degré n quelconque. Contentons-
nous d’indiquer que de telles fonctionnelles seront dites normales si

(•) P. Lévy, [75].

FONCTIONNELLES LINÉAIRES.

67

les seuls termes qui y ligurcnt sont de forme

(27) f ...f K(Ç,, Ç,, ...

’^a ^(1

h

OÙ les ai, a-2, . . . , sont des entiers quelconques dont la somme est
égale à n : ce sont les fonctionnelles régulières et les fonctionnelles
normales qui sont les plus importantes pour les applications.

Dans ce qui précède nous avons suivi la marche qui nous conduisait
le plus vile aux développenienis que nous avions en vue. Mais nous
devons an moins signaler le point de vue fort intéressant auquel s’est
placé M. Fréchet pour définir les fonctionnelles de degré n (').

Un polynôme P(-r) de degré n vérifie identiquement la condition

( 28 ) I* ( -H -t- . . . .r rt ,-i )

— 2 l*(.r/,+ .r,„ 1-4- ( — I )" S P('x‘/ ) -t- ( — 1 )«"*■' P(o) = 0 .

OÙ les sommes concernent les combinaisons des lettres a^i,
x-i , , (îl M. Fréchet a démontré qu’inverseinenl toute fonc-

tion continue qui satisfait (28), quelles que soient les valeurs de Xx,
x.,<! .... Xn + [, est un polynôme de degré n au plus. Il caractérise de
même une fonctionnelle de degré (‘utier n par la continuité et
l’équation

(2()) l! [y 1 I

— ï I, r/,- 4 -. . I - 4 -. . .-t- t — 1 )"■*-' l'I o] = O.

qui doit être satisfaite fjuels que soient les arguments ly (/), )'2(/ ), ....
A partir de (29) il peut enfin étudier les fonctionnelles homogènes
(qui doivent de plus satisfaire à U [Xy | =: XA'U[y ] et montrer qu<*
toute fonctionnelle de degré n s'exprime comme somme de fonction-
nelles homogènes des degrés /i, n — 1 , ....

IIl. - SÉRIES DE FONCTIONNELLES IIOMOGÈNES.

23 . Il n’y a pas de difficulté à introduire des séries dont les divers
termes sont des fonctionnelles homogènes que l’on supposera être
régulières ou encore normales.

(') Cf. Fhéchet, [37 |.

68

CHAPITRE 111.

Examinons le premier cas ( ' ). La série sera de forme

(30)

0 ^

•^a

r* r''

a a

f ■ • • / ?2) • • •> Ç«)

''a '^a

^ yi%x) ■ ■ ■ y{U) dh ..-du-

Si, par exemple, les modules maximum des divers noyaux sont
inférieurs aux nombres positifs Kq, K,, . . . , K„, ... et si la série

( 3o*) Ko “H K( X -4- ... -I- K H x'x -t- . . .

a pour rayon de convergence R, la série (3o) sera absolument et uni-
formément convergente pour

et définira, pour ce champ de valeurs de y, une fonctionnelle continue
d’ordre zéro. Cette fonctionnelle n’est pas d’un degré fini. Elle peut
être considérée comme obtenue, par le passage du discontinu au
continu, à partir d’une série de puissances de plusieurs variables,
c’est-à-dire à partir d’une fonction analytique de plusieurs variables.

24. Les fonctionnelles données par la série (3o), que l’on peut
appeler série fonctionnelle de puissances, avaient été nommées, par
divers auteurs, fonctionnelles analytiques. Nous préférons aban-
donner cette dénomination pour éviter toute confusion avec les fonc-
tionnelles analytiques qu’a étudiées récemment M. Fantappié (^).

Si, dans le champ de convergence de la série (3o), l’argument y (<)
est fonction analytique d’un paramètre « que nous écrirons y (^, «),
alors

G[.r(<, «)]=/(«)

(') VOLTEBRA, [108]; Frécihbt, [37].
{'■) Cf . Fantappié, [27].

FONCTIONNELLES LINÉAIRES. 69

étant la somme d’une série uniformément convergente de fonctions
analytiques de a est, elle-même, analytique en «. Des fonctionnelles
telles que (3o) conservent donc V analyticité par rapport à un
paramètre qui figure dans leur argument. C’est cette propriété
fondamentale, qui appartient non seulement aux fonctionnelles
précédentes, mais aussi à d’autres types de fonctionnelles, que
M. Fantappié a adoptée comme caractérisant les fonctionnelles
analytiques.

ün étudiera de façon tout à fait analogue les séries de fonction-
nelles normales. Nous aurons d’ailleurs l’occasion d’y revenir à
propos des équations intégrales non linéaires (Ghap. XI, § III).

CHAPITRE IV.

OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONNELLES.

I. - DÉRIVÉE ET DIFFÉRENTIELLE
D’UNE FONCTIONNELLE.

1 . Après les délinilions elles exemples précédents, la question se
pose d’établir un calcul fonctionnel général, analogue au calcul con-
cernant les opérations sur les fonctions ordinaires. Cela sera possible
par l’introduction d’opérations convenables s’appliquant aux fonc-
tionnelles.

Si nous reprenons une fonction de n variables • • • . )'«),
les deux notions fondamentales sont colles de dérivée partielle et
celle de différentielle totale. Celle dernière peut être définie, à
partir des dérivées partielles, par l’expression

(U

n

I

mais elle peut aussi être caractérisée, directement, par les propl■iété^
suivantes :

C est une fonction linéaire des variables dyi.

2® Si l’on pose dyi—t^i et que l’on prenne £ comme infiniment
petit principal, la différence entre df et A/ (celte dernière notation
désignant l’accroissement de / correspondant aux accroissements zO,
des variables) est un infiniment petit d’ordre supérieur à l’unité.

Passons maintenant au cas d’une fonctionnelle K J donnons

à 7(0 un accroissement ôj'(f); nous sommes conduits à définir la
différentielle de F, soit ôF, comme une fonctionnelle dépen-

OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONNELLES.

71

dant de ày{t) ^ et aussi de y{t), de sorte qu’on pourra la noter
j j telle que :

a. Elle soit fonctionnelle linéaire de dy;

b. En prenant Sy = £9(t), où t est toujours Vinfiniment petit
principal, elle ne diffère que par un infiniment petit d'ordre
supérieur à un de l'accroissement AF qui correspond à l'accrois-
sement $y de la fonction argument, ce qui revient à dire que
l'on a

AF — 5 Ff v( « >. £ 0( <)1 .

Iim ! = O

£

ou encore, en tenant compte de a.

( 7 .) Iim I — — 0 Ffj'f < ), 0(^ O J I = O ( ‘ ),

£=n( e )

AF ayant la valeur F[y 4 - eô] — F[jk]‘

L’extension aux fonctionnelles de la notion de dérivée partielle est
non moins importante et a été obtenue par M. Vollerra dès ses
premiers travaux sur le sujet (^). Il montrait en même temps com-
ment, pour une fonctionnelle ainsi dérivable, on pouvait calculer
elFectivement, en généralisant la formule (i), une différentielle jouis-
sant des propriétés qui viennent d’être dites. Ce sont ces résultats
que nous exposerons d’abord.

2 . Extension de la notion de dérivée partielle : dérivée fonction-
nelle. — La définition de la dérivée partielle implique un accroisse-
ment donné à une seule des variables y,-. Pour passer au cas d’une
dérivée fonctionnelle il serait peu indiqué d’envisager un accroisse-
ment donné à y{t) en un seul point de l’intervalle {a, b) : ce serait
sortir de propos délibéré du champ simple et important des fonctions (*)

(*) M. Hadamard [OO], puiÿ M. Fréchet ont insiste sur Tiiitérùt d’une définition
directe de la différenliclle. M. Fréchet a fait sur cette question, tant en ce qui
concerne les fonctions ordinaires que les fonctionnelles, des travaux très impor-
tants : [38], [40J. Sa définition delà difTércntielle fait intervenir la distance de
Fespace fonctionnel; elle est un peu plus restrictive que celle <lu texte. Nous la
retrouverons ultérieurement : nous avons préféré garder au début le point de vue
qui a été celui de M. Volterra dès ses premiers travaux ([108] et [109]).

Au sujet des diverses définitions de la différentielle, cf, P. Lf:vY, [75], p. 5i.

('-) [108], [100].

CHAPITRB IV.

7»

continues; de plus ce serait inopérant pour les fonctionnelles, les
plus usuelles, dont la valeur ne change pas quand on modifie l’argu-
ment aux points d’un ensemble de mesure nulle. Il conviendra donc
de donner un accroissement à l’argument en tous les points d’un
segment contenant un point ^ de l’intervalle (a, b). En faisant tendre
vers zéro l’accroissement et le segment considéré on obtient, et c’est
là la généralisation cherchée de la dérivée partielle, la notion de
dérivée fonctionnelle au point
En voici la définition précise.

Soit AF l’accroissement d’une fonctionnelle

F[r(ô]

lorsqu’on donne ky{t) un accroissement arbitraire (intégrable)

2/(0 = w (<)

d’un signe constant et concernant uniquement l’intervalle de valeurs
de t (Tn<t<n)y intervalle d’amplitude n — m = hel contenant à son
intérieur le point Ç fixé sur le segment (a, b). Posons

<J = / 0>(t) lit.

^ m

A K

Admettons qu’il y ait une limite bien déterminée et finie de —

lorsque p [maximum de | «(<) |] et h [étendue du segment (m, n)]
tendent simultanément vers zéro, le segment {m, n) contenant tou-
jours ^ à son intérieur. La limite en question .sera, par définition,
la dérivée fonctionnelle de F par rapport à l'argument y{t) au
point

D’après sa définition cette dérivée ne dépend pas de mais

on doit préciser dans chaque cas quel est le champ des fonc-
tions <•)(<) ('). La dérivée dépend du paramètre ^ qui joue le rôle de
paramètre de dérivation : c’est une fonction ordinaire de Enfin
notons qu’elle sera aussi üne fonctionnelle de y{t) définie dans un

(‘) II pourra arriver que l’oo ait à remplacer, dans la définition de la dérivée
fonctionnelle, p, maximum du module de b>(f), par une autre quantité dépendant de
la définition de la distance dans le champ des fonctions ia{t).

OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONNELLES.

73

certain champ (à préciser lui aussi) : nous la noterons donc

3. Passage de la dérivée fonctionnelle à la différentielle. — La

formule précédente ( i ) conduit à rechercher si la différentielle 6F ne
s’exprime pas, à partir de la dérivée fonctionnelle F', dont on suppo-
sera l’existence, par la formule

( 3 )

Nous allons envisager d’abord le cas où le champ des argumentsy(f)
(donc aussi celui de leurs variations) est l’ensemble des fonctions
bornées et continues ('). Suivant toujours l’analyse de M. Volterra,
nous établirons (3) sous les conditions suivantes, qui ne sont évi-
demment pas les plus larges possibles ;

Dans le champ fonctionnel considéré :

AF

I. Le rapport — ^ est borné en module par le nombre M;

^ AF

II. La limite de — est atteinte de façon uniforme par rapport
ù^(a<|^6) aussi bien que par rapport à y {t);

III. F'[y'(<), est uniformément continue par rapport à ? et
à y {t).

L’expression (3) étant évidemment fonctionnelle linéaire de 6y'(<),
il suffit de vérifier la formule ( 2 ).

A. Cas où la variation de l’argument a un sigpae constant. —
Introduisant, pour vérifier ( 2 ), la variable positive et très petite £,
nous donnons àj'(f) la variation ày(f) d’un signe constant, positif par
exemple, inférieure à £ et que l’on peut toujours écrire ày{t) = eO(t),
la fonction ô(t) ayant pour borne supérieure un. Evaluons

AF = FbK-i-£01-F[7].

Nous passerons d’abord de y(t) à la fonction représentée par

(‘) Des considérations analogues s'appliqueraient, mutatis mutcuidis^ à d’autres
champs fonctionnels; c/. d’ailleurs infra n® 9.

chapitre IV.

74

la courbe sinueuse de la figure, fonction continue qui coïncide
avec /(<) + e9(<), dans les intervalles tnt\, avec y{t)

aux points a, r,, Ta, .... et qui délimite, avec la courbe y{t), des
aires o-,, crar • • • •

Effectuant d’abord la variation (T| , y {t) devient Vi (/) <>t F devient F,
avec

F, - F = cr,(F'[7(0, S.l + TTi,).
effectuant ensuite la variation a-,, il vient de même
Fa - F, = aa(F'fj-(0,
et ainsi de suite jusqu’à

1* // F/;_ I = ^ l‘ I ^ lit), $//)“'“ '^(// ^ '

s’il y a P intervalles a t,, T| Ta, . . . , T/>-i b {p est égal à quatre dans
le cas de la figure). Les \ peuvent être pris quelconques, respective-
ment intérieurs aux intervalles susdits; leur choix sera d’ailleurs pré-
cisé à l’instant. Enfin, d’après II, rji est très petit avec e et avec /<,•
(longueur de l'intervalle t,_,t/ sur lequel se répartit la variation a,).
Les formules précédentes donnent

F/, - F = 7, ( F' [ J ( O, Ç. ] -H -n, ) + cr.. ( F' fj, ( / ), Ça | h- r,, ) -t- . . . .

Mais, F' étant uniformément continue on peut remplacer

5/mJ par F'[ $,+, ]

OPÉRATIONS SUR LBS FONCTIONNELLES.

en introduisant un terme correctif Çi très petit avec t. Notons enfin
que, pour un choix convenable des on aura, d’après le théorème
de la mo)renne

Dans ces conditions, en notant tB l’accroissement de y qui corres-
pond à la courbe sinueuse de la figure YtB{\) d\ = on aura

-t- ■»(I -+- ) ■+■ (ff-j vi -H flf.i Ïj -4-... ).

Passons enfin à F[y + eô J, que nous désignons en abrégé par F.
F — F;, correspond à des variations moindres que £ et concernant des
intervalles a tt, t\ /.j, ... ; d’après I, il est donc limité en module
par

£ !M £ I — a) -i- (t> — ^ ,

tandis que
1 r''

^\J ^ <K£^(/i — a \ -h ( (■> —

K désignant une borne supérieure de | F' ]. On en déduit que
(\) ç]0(5)./S

''a

52r,5-4-.. . 1 ^ I

_ _

~ £ £

■4" ( “4“ K ) ^( ^, — O j “4“ ( — t J ) -4“ • • ^

et il reste à vérifier que le second membre de (4) est arbitrairement
petit avec £. Or en désignant par vj et Ç les plus grandes des quan-
tités |Y), j et I Çi I et on observant que cr, -H ff 2 + • • • <(& — «)£> on
voit que le second membre est inférieur à

(h — <?) (t, -h Ç) -t- (M -t- K) ((./i — a) -4-(/..— . .).

Le résultat annoncé s’en déduit puisque, d’après II, yj est arbitraire-
ment petit si l’on prend £ assez petit et les points de division t, , r-j . . .
assez serrés, d’après III, Ç est arbitrairement petit avec £ et enfin que
la dernière somme (f, — rt) -f- ) + • • • peut être rendue arbi-

trairement petite par un choix convenable des points ^ C, . . . .

CHAPITRE IV.

ia

5 . Cas où la yariation. de Pargpument change de signe. — Suppo-
sons, ce qui ne restreint pas la généralité, que | 9 ( 0 I soit constam-
ment inférieur à l’unité. On posera

( 5 ) 6(0=81(0 — 61(0

avec

0,(0

I — 0(n

———9

les fonctions 0 \{t) et 6 ^{t) étant partout positives et bornées par
l’unité de sorte que le calcul du numéro précédent s’appliquera à
chacune d’elles.

On a alors

èE F[j-- îO]- iq.rl
« 2

F[.r-4-sQ,|-Ff.K| FfK-<-£0i I- F|j-!-î0,-£0, |

Lorsque £ tend vers zéro la première fraction tend vers

f F'I

d’après le n" 4» la seconde tend vers

ft

parce que, d’une part on peut trouver, pour

F[.r^ sO, I- F| r-esQ, -£0, I

— Ç ‘8| — $0,, J J Ojf ç ) r/j,

une limite supérieure arbitrairement petite avec s et qui ne dépend
pas de la fonction-argument y (o® 4 ) et que, d’autre part,

on a évidemment

lira r' F'[ J -t- ^Oi - £0,, $] 6,(SX5 = f V'\y;i\ 0,(S)

S_.0 *y ff

Il en résulte bien que, dans tous les cas.

AF

= / nr. 510 ( 5 )^/^

OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONNELLES.

77

6. Formes plus générales de la dijVérentielle. — Dans le cas d’une
fonctionnelle linéaire la dilTérentielle coïncide avec la fonctionnelle
elle-même de sorte qu’il est bien clair que les fonctionnelles précé-
dentes, pour lesquelles la différentielle a la forme (3)

SF=f

ne sont pas les fonctionnelles les plus générales ayant une différen-
tielle. 11 exist(!ra des différentielles du type linéaire le plus général
et se mettant donc sous la forme de Uiesz [Chap. III, n® 9 ,
formule ( ib)].

M. Voltorra a envisagé, en même temps que le type précédent ( 3 )
le cas — pratiquement suffisant — où il ne figure pas d’intégrale de
Stieltjes dans la difi'éreiitielle laquelle se réduit alors à

(0) ol' = I' > dï H- V O/ o.»-(

(l

l

8F comprend daus ce cas une partie rèi'ulii'rc analogue au second
membre de ( 3 ), mais elle dépend aussi de aux points excep-
tionnels H/. Ou en trouvera de nombreux exemples dans la suite.

Lors(jue ôF est du type (fi) les conditions précédentes 1 , II ne sont
plus vérifiées au M)isinage d’un point exceptionnel ci. H est aisé de
voir comment on pemt les modifier.

Obstu’vons d'abord (pie 1 ne peut subsister pour un intervalle con-
tenant le point exceptionnel . Admettons pourtant (jin* les conditions
1,11,111 subsistent pour tous les intervalles ne contenant pas à leur
intérieur et supposons de plus (pie. pour un intervalle d’amplitude h
contenant - , , on ait
/ I- At'

( 7 ) lui) - - r= O,

/,--o

(IzzO

la limite étant obtenue de façon uniforme par rapport aux fonctions-
arguments. Le raisonnement du n® 4 s'applique en prenant pour
Tun des points T), Tj, ... et avec des modifii'ations insignifiantes : la
différentielle garde la forme régulière ( 3 ).

Supposons alors que la condition ( 7 ) soit rem|)lac('*e par la suivante :

78 CHAPITRE IV.

il existe une constante a telle que

( 7 ')

liml^

A = o( |X
(!. = »

a'-Zlll)î = o

uniformément comme plus haut. La fonctionnelle F — véri-

fiera (7) et aura une différentielle régulière. D’où

W—f F'fjK,

En général des conditions telles que (7') pour les intervalles qui
contiennent les points exceptionnels jointes aux précédentes I, II,
III pour les intervalles auxquels les ne sont pas intérieurs, permet-
tront d'affirmer V existence d'une différentielle âF du type (6).

7. Remarques sur les deux points de vue possibles dans l’étude des
dérivées et différentielles. — On peut aborder l’étude infinitésimale
d’une fonctionnelle soit en cljerchant sa dérivée fonctionnelle en
chaque point de (a, 6), soit en cherchant en bloc sa différentielle. Il
ne faut pas opposer les deux points de vue et nous ne voyons pas
de raisons d’affirmer la supériorité de l’un d’eux : la di lièrent ielle
synthétise ce qui se passe aux divers points de l’intervalle («, b) et,
s’il s’agit d’une fonctionnelle assez simple, on l'atteindra immédia-
tement (’); dans des cas plus complexes l'autre point de vue pourra
s'imposer parce qu’il permet de diviser la difficulté. Lorsqu’il en est
ainsi, les précédentes I, II, III donnent des conditions locales (qui
ne sont évidemment pas les plus larges possible) permettant de
conclure à l’existence d'une différentielle pour une variation de y
intéressant tout le segment (a, b).

Du point de vue de l’étude directe de l’existence de la différen-
tielle. il serait d’ailleurs intéressant de dégager des conditions suffi-
santes assez larges. Il ne semble pas que l’on s’en soit beaucoup pré-
occupé, aussi donnerons-nous un exemple très simple de telles
conditions.

Admettons, ce qui ne restreint pas la généralité, qu’il s'agisse
d’étudier la fonctionnelle F[j'] pour les fonctions jvoisines dcy''(<) = o. (*)

(*) C^est ce qui arrive pour les fonctionnelles qui interviennent clans le calcul des
variations : on en calcule directement la différentielle (ou variation).

OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONNELLES.

79

En désignant par x{t) l’accroissement 5^, l’accroissement de la fonc-
tionnelle AF sera une fonctionnelle

G [a?( # )]

que nous supposons, comme plus haut, définie dans le champ des
fonctions x{t) continues et bornées en module par le nombre M.
Introduisons deux hypothèses de quasi-linéarité :

Hypothèsk a. — I ar j ;i£, I A' ( ^ I , o/i a

G| kx I = A ( G I x I -I- •!> ),

<|> ^

— tendant vers zéro avec s uniformément par rapport à et à k.

Hypothèse B. — .S/ | a-’ I IjK j 5 £, on a

G(x -f- y| = Gf.r]-y Gi k 1-4- ‘r.

— tendiint vers zéro avec s.
e

Nous eu déduirons l’existence d'une diHérenlielle de la fonction-
nelle considérée pour la vahuir zéro de l'arguinent. D’abord :

l . ( )uel que soit ./• ( f ) ,

a une limite n[a.'] quand z tend vers zéro.

Nous pouvons en ed'el admettre que ] x . i en reniplaeanl au
besoin £ par Or, pour démontrer l’énoncé, il suffit de vérifier que

Gfe;rl Gh'./-|

peut être rendu inférieur en module à a arbitrairement petit pourvu
que £ et z' soient inférieurs à £| convenablement choisi. Mais

GlE.rl

£

« 1 >

(d’après A). 4> correspondant à la fonction £,.i’ inférieure en module

8o

CHAPITRB )V.

à £^ et à Ar = — ; de même

G[e'a;l _ i «!>'

correspondant à la même fonction et à k' —

D’où

G[^^] G[^| . |«I.l _ l«î.'|

qui tend bien vers zéro avec s, d’après A.

Écartons le cas banal où H[a?] serait identiquement nul et vérifions
que :

II. H[jj] est une fonctionnelle linéaire^ c’est donc la différen-
tielle cherchée.

D’abord

G[eA\r I AGfex]

donne à la limite, pour e = o,

D’autre part

H[Aj;] — All[;r] = O.
Gre(;r-<-j)1 _ G\zx\ _ G\iy] _ '1*

et, d’après B, il en résulte

H[x+y] = \l[x] + Hly].

La différentielle ainsi obtenue ôF = H[a7] [avec j;(f) — ây(<)]
n’est pas forcément bornée. Ajoutons aux précédentes conditions la
suivante :

Hvpothèse C. — ^ H [j?] est bornée pour | x \ borné., donc c’est une
fonctionnelle continue de æ

Hl Æ?] admettra alors une expression analytique du type de Riesz

r'’

(•) Chap. m, n» 4.

OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONNELLES.

8l

Dans un intervalle où /(Ç) est dérivable et a une dérivée
continue la fonctionnelle considérée sera elle-même dérivable
au sens du n” 2, sa dérivée fonctionnelle étant f'(X) au point

8. Cas où la fonction-argument a des dérivées finies et continues.

— Jusqu’à présent nous nous sommes placés dans le cas où les argu-
ments elôy(<) sont des fonctions bornées et continues. Le cas
où F[j(0] n est défini que pour des fonctions y(t) bornées et
continues ainsi que leurs p premières dérivées mérite quelques
développements.

Soit la fonctionnelle particulière

F=r y'HDdt,

pour laquelle p est égal à i . Donnant à y un accroissement £ 0(/), il
vient

(«,i

lim

i — 0

AP

>. Ç fit) 0 '( t)flt.

On a ainsi une expression qu’il est uaturel d’appeler difiérenlielle de
la fonctionnelle considérée. Dans le cas o\i y\t) existe on a

r ’’ r ''

■>. I y'( f) fi' (t ) (it = ■>. y'i h) h ) ■ - -^yi a) Q{a ) — ■>. / yi t)fi(t) dt.

expression de la dill'érontielle avant la forme précédente (fi), avec les
valeurs exceptionnelles a et b. D’autre part, pour obteivir la dérivée

fonctionnelle di* F comme limite du rapporl > il faudra ajouter à

l'existence <le p' et dy' d’autres conditions (existence par exemple de
y" et ôk") qui viennent restreindre le champ dans lequel F était
définie.

C’est là un point qui paraît assez général : dans les cas où F[j-(0]
n’est défini que sous des restrictions de dérivabilité pour y^ on sera
amené à de nouvelles restrictions concernant y et ôj' dans l'étude de
la dilFérentielle ou de la dérivée fonctionnelle de F.

Admettons en efl'et que P’ est défini pour les fonctions ^'(<) ayant
leurs dérivées bornées et continues jusqu'à l’ordre p. Nous pourrons
définir l’argument y' (^) par la donnée de v‘^i(<) et des valeurs Ca,

VOLTBRRA

82

CHAPITRE IV.

C^i, . . . , C de y' . . • en un point a choisi une fois pour

toute arbitrairement sur le segment (a, h). La fonctionnelle F peut
alors s’écrire

c«, c«, .... cr'],

fonctionnelle de fonction ordinaire de C*, C’*, . . L(!

changement d’argument au lieu àe y{t j\ ramène au cas déjà

traité et il pourra exister une différentielle de F de forme

(9) F, 8Ca-^FaSG;,+ ...-H /* c&lj'/'), C^, . . . : Sy/')($) O,

en se bornant pour simplifier au cas régulier. Mais si l’on veul
dans (9) faire apparaître, commedansla précédenle (6), un(* intégrale
definie où figure â.F(ç) au lieu de il faudra des intégrations

par parties et l’existence des dérivées de O par rapport à ç. Ces
dérivées n’ont aucune chance d’exister en général, à moins que l’on
ne restreigne encore le champ de variation de l’argument

fortiori pour définir la dérivée fonctionnelle comme limite de
en gardant

rs ~ I ^ y{ t ) fit.

des exemples aisés montrent qu’il faudra, non seulement les restric-
tions précédentes du champ des arguments y, mais des restrictions
analogues pour 5 ^.

9 . On sera donc amené en général à restreindre le champ de varia-
tion do l’argument y (<) se bornant aux fonctions telles que

/(t), •••• 7'"K0 (n -p)

sont bornées et continues et imposant les mêmes conditions à la
variation 5

Le champ de l’argument étant ainsi réduit, il n’y a aucune difficulté
à retrouver (-) des résultats analogues à ceux qui furent établis aux

(^) Bien entendu, c’est seulement en apparence que les valeurs de y et de ses
dérivées pour t ~ ol jouent un rôle spécial. Cf, Cliap. III, fin du n" 9.

(-) Cf, VoLTERav, |108] et |110].

OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONNELLES.

83

n'*’‘ 3, 6 précédents pi)ur nue fonctionnelle définie pour des arguments
seulement continus.

Admettons remplies les conditions 1, II, III du n" 3, /x désignant
maintenant le maximum des quantités

Nous pourrons encore en conclure l’existence d’une différentielle
donnée par

Le raisonnement fait plus haut se conserve sans modification : il

faudra seulement choisir la fonction 0(t), qui définit les aires er,- de la
figure, de façon qu’elle ait des dérivées finies et continues jusqu’à
l'ordre n inclus, £ d{t) étant alors dans un voisinage d’ordre n de la

courbe initiale y{t). Mais cette restriction au choix de 0(0 ne gène
nullement pour le choix des points de division t,, t] et £,.

Si les conditions I, 11, lïl sont satisfaites pour tout intervalle ne
contenant pas le point exceptionnel , et si, pour un intervalle conte-
nant ce point, on a la condition ( 7 ), l’expression (3) de la difiéren-
lielle reste valable. Si, enfin, il existe des constantes telles que

.. ( AF — (70 ô c(?i » — S k'( ïi ' — . . . — 5 (Çi V/

( 7 ) lim : : î : ï — = O.

Il 0 ( ’

— 0

limite uniforme par rapport à la fonction argument^', on aura

3 F

O.

n

0

avec une partie régulière et un point exceptionnel t\. On pourra de
même envisager plusieurs points exceptionnels.

U. - DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES D’ORDRE SUPÉRIEUR.
EXTENSION DE LA FORMULE DE TAYLOR.

10. Dérivées successives. — La dérivée fonctionnelle première
F[y(f), ï|] est une nouvelle fonctionnelle de )'(0 <Itii peut être éga-
lement dérivable. Dans ce cas sa dérivée fonctionnelle prise au pointas

CHANTRE IV.

84

de l’intervalle {a, b) sera la dérivée seconde de F, que nous noierons

F'[7(Î), 5t, b].

De même, après n dérivations fonctionnelles, on aura la dérivée fonc-
tionnelle que nous noterons

^->5 • • • > désignant les points de l’intervalle (a, b) où ont été
effectuées les dérivations successives.

11. Sous des conditions assez larges, on démontre (Cf. infra
n®' 13 et 26) que F" est fonction symétrique des paramètres Ei, çj

î..S--j = F"LK(0, 5., I,

ce qui généralise le théorème d’analyse sur l’inversion de deux déri-
vations partielles

<r-f ^

si f dépend des variables X|, .... Xn*

De même sera en jçénéral foiiclion symétrique des paramètres
^ 2 > • • - 5 \n- On peut encoi-e énoncer ces résultats en disant que
l’ordre dans lequel on effectue des dérivations successives fonction-
nelles est sans importance.

12. Différentielles successives dans le cas où elles sont régulières.

— La définition précédente de la différentielle revient à

et il sera naturel de définir de même les différentielles successives
par

32F[y,o7] = jj^Ffj + s8yjj

o/>F[j, 8jJ = j^,Ff7-HsSK]j^_^

OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONNELLES.

85

les dérivées aux seconds membres étant supposées exister et donner
des fonctionnelles entières et homogènes en ày de degrés respectifs
• • • ? ....

L’expression (3) de ôF se généralise aux différentielles suivantes.
Supposons, pour nous borner à des hypothèses simples, que les
conditions I, II, III du n‘’3 restent satisfaites dans les dérivations suc-
cessives (le F’. Dans ces conditions (3) appliquée à F' donne

(i c'‘

^r'I r-t-sor, ;, != / l'I.) +ÎOK, S,.

et, puisque

I ipi *' I ‘ 1 = (jp / ^ '■ I

il vient

0-iF= I' j ( ï: i O , S u/;i

On montrera de même que

(K,) zi>v=zj ...j F'/'ii ,-( o: L */, J a.i( î, »...

Sous les conditions posées les dilVereiilielles successives sont donc
des fonctionnelles régulières et homogènes ayant pour noyauæ l(‘s
dérivées fonctionnelles successives.

13. Extension du théorème de Taylor (’), - Si, dans la fonction-

nelle F[r + £ 9 ] nous considérons y( et ^ij) comme llxées. la fonc-
tionnelle devient une fonction ordinaire de £. soit /(s), qui sous les
conditions posées au numéro précédent, sera dérivable jusqu’il
Tordre p par rapport à £, les dérivées étant données par les
formules (lo) où y est remplacé par £9 et ày par 9 . Appliquant
à /(£) le théorème de Taylor, il vient

où Q (‘St compris entre zéro et un. 13’après les formules précthientes il

(‘) C/. VOLTEUaA, [I08j.

CHAPITRE IV.

vient donc

(II) F[7 + ?] = F[7]+y i f\.. r'F<0[j(0;$.,Sî,

^ X 9(Çi) ... 9(5<)rfÇi... rfç<

+ r'... f F</»[j(r)H-0 9(O;5.,52, .••Ç/.J

P • a

X 9( Çi) . . . 9i.'ip)d%x . . . d^p,

formule qui étend aux fonctionnelles dérivables la formule ordinaire
de Taylor pour les fonctions de n variables. Si la fonctionnelle est
dérivable d’un ordre quelconque et que les conditions qui permettent
d’écrire (i i) soient satisfaites, quel que soit p, si enfin la limite du
dernier terme est zéro pour p infini, nous aurons le développement
en série

(iii) S,]

X 9(50... 9(5,). /5,... f/5,;

y{t) étant fixé cette formule nous donne une série de puissances fonc-
tionnelles pour définir

G[9(/)] = F(7-t-9j (•)•

Pour /? = I , la relation ( 1 1 ) se réduit à
(u') F[y-t- «1 = F[j]-t- / F'1 >(O-h 09(O, 5]?(Ç)(/î,

'^a

qui constitue la généralisation fonctionnelle de la formule des accrois-
sements finis. En supposant que la fonction 9 (/) ne change pas de
signe dans (a, b), on en tire

(il") F|y-4-<p| — F[7! = F'[j-(<)-h 09(O, 5'ir

E' ayant une valeur comprise entre a et 6.

Cette dernière formule permet de justifier le principe de symélrie
des dérivées fonctionnelles énoncé au n" 11 ('*). Il suffit évidemment
d’établir cette symétrie pour la dérivée seconde, c’est-à-dire de
montrer que

F"|7(/),Ç.,$,1 = F“[7(<), 5,. 5,].

(*) Cf. Chap. III, n- 23, 21.
{^yCf. VOLTEHRA, [105].

OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONNELLES.

87

Or soient («<,60 et deux intervalles int('‘rieurs à (a, b) et

contenant respectivement ^4 et ^2 et envisageons une fonction cp4(0
nulle à l’extérieure de («<, 64) et positive dans cet intervalle ainsi
qu’une fonction nulle, sauf dans («3, 63) où elle est positive.

Formons l’expression

IVt = F I r ©I -t- ®. ! — F I J' f I ] — F f J-" -H 9; ! -t- F j j

qui peut s’écrire

(12 ) M = «1 -I- ®.. I — « I y 1

ou bien

(l'i') M = fl <p, | —

en posant
et

ii[y I = 1

‘‘1 y \ = y ?î i — •■'i 1-

Posons, pour abréger,

1 P ^'3

Ÿi( S., == / v..( Ofh.

• d*

En prcnanl M sous la forme (12) Il vient, d’après (1 1").

M = ii’\ z{ t ) ^ 0'^, 9i(/ ), î'3 I.Sj.

Cl. en utilisant encore (ii") pour transformer la dérivée fonction-
nelle II' ,

formule dans laquelle 0 \ et 0’^ sont compris entre zéro et un et - , .
ï'y respectivement intérieurs à («,, 64) et («3, 63). En partant de ( 12 ').
on aura de mémo

M = F"( y. 0'; O, (• O + 0 ; ?,( n, Ç'I , 1 • ^ . S...

Faisons enfin tendre vers zéro les segments («,,6,) et («3.63)
ainsi que le maximum de ] ?i(0| |92(0|> tendent vers

^’a et vers £3, et l’on a à la liinil»*

F'[7(0, 5. i = ,

88

CHAPITRE IV.

pourvu que cette dérivée seconde soit continue par rapport à l’argu-
ment y (i) et aux variables ^ 2 .

14. Différentielles successives. Cas plus généraux. — Dans les
numéros précédents nous nous sommes limités au cas où *es dérivées
successives de F vérifiaient des conditions du type 1, II, III du n" 3.
Les difTéreniielles successives étaient alors des fonctionnelles régu-
lières. Ce n’est évidemment pas le cas le plus général : on pourra
avoir des difTérentiellcs s’exprimant par des intégrales multiples
de Stieltjes (en admettant que ces dilTérentielles, définies comme au
n“ 12, ont la continuité élémentaire d’ordre zéro). Le développe-
ment de Taylor s’étend sans difficultés.

Les cas particuliers les plus importants sont d’ailleurs celui 011 la
différentielle ô^F a la forme régulière et celui où elle a la forme
normale (Ghap. III, n” 21).

13. Prenons, par exemple, le cas de />= 2 , une difi’érontielle
régulière sera du type

(i3) 5-iF= Ç'

et une différentielle normale du type

(I4)8'-F=:r \\{%)\^y{%)Y‘d^+ f f

n ^ n. ^ n

Lorsque, pour une valeur déterminée de l’argument jk(^)? o*' **
obtenu une différentielle seconde du type (i3) ou (i4)i ü est naturel
de considérer K(^j, ^ 2 ) comme une dérivée fonctionnelle seconde.
Lorsque, (i3) ou (i4) étant valable pour différentes valeurs del’argu-
ment^'F(^), K(? 4 ,^.>) et H(^) seront des fonctionnelles dey, on pourra
poser

5i, $•>] =K|^y(0; ç., -

il faut seulement noter que c’est là une définition de la dérivée fonc-
tionnelle seconde un peu plus large que celle du début.

Dans le cas où la différentielle seconde a la forme (i4)» ü faut

OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONNELLES,
ajouter la remarque suivante :

K[r(o; ç., h]

joue le rôle que jouerait la dérivée partielle

•ivi <iyk

(i f^)

pour une fonction de n variables; suivant le cas, Tune ou l’autre des
deux fonctionnelles

et

K[r(0; ?, 5 J

pourra tenir le rôle des dérivées partielles prises en dérivant deux

fois par rapport à la même variable. En particulier, comme l’ont
montré les travaux de M. P. Lévy, l’équation

réalise une extension intéressante, dans le champ fonctionnel, de
l’équation de Laplace à n variables ('). M. Volterra a montré [115]
l’intérêt que présentaient des équations telles que

16. Différentielles de M. Fréchet. — Nous avons dit que la
définition précédemment adoptée pour les différentielles d’une fonc-
tionnelle n’étail pas exactement la même que celle donnée par
M. Fréchet (-).

M. Fréchet fait en effet dépendre la définition des dift'érentielles de
la distance dans l’espace fonctionnel considéré : il définit ôF comme

(') Bibliographie [75], p. 86 .
(*) Page 71 , note (‘).

. CHAPITRE IV.

90

une fonctionnelle linéaire de ày telle que

F f y -H Sy ] — F [ y 1 — SF

' H «r 11 ’ ’

où II ày II désigne la distance fonctionnelle entre y + ôy et j', tende
vers zéro quand || ây || tend vers zéro. De même la différentielle
seconde sera une fonctionnelle entière homogène et du second degré
en vérifiant

F[y + 8y]-F[yJ-8F-

lim — — — O]

iiôvii=o i|6/ir-

de même enfin pour la différentielle avec la condition

F[y -4- Sy ] — Ff J J — SF — i S2 F — . . . i-, O/' F

lira — r — - — — = O.

l|Srll==« IhjlK'-

Ces définitions sont un peu plus restrictives que les précédentes.
Posons, comme au n" 1, ôy = e9 (t) et remarquons que, pour toutes
les définitions de la distance, l|ôjy }| a un facteur e : dans ces condi-
tions il est clair qu’une différentielle au sons adopté plus haut sei'a
différentielle au sens de M. Fréchet, si la limite qui la définit [for-
mule ( 2 ) par exemple] est obtenue uniformément par rapport à 0(t).
La restriction ainsi introduite est d’ailleurs utile dans bien des appli-
cations.

17. Dérivation d’une fonctionnelle composée. — Pour généraliser
par exemple le théorème sur la dérivation d’une fonction composée,
il sera commode de se placer au point de vue de M. Fréchet (').

Admettons que la fonction-argument, que nous désignerons par
y(t, a) dépende du paramètre a et supposons que, dans les iuUîr-
valles a^<a^a 3 , a^t^è, la fonction a) ait une dérivée bornée
et continue par rapport à oc. Il est facile de vérifier que, dans ce cas,
si la fonctionnelle

est différentiable au sens de M. Fréchet, alors la dérivée ^ de la fonc-

C) Fr^:chrt, [38].

OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONNELLES.

91

tion

/(aj= «)j

existe pour a compris entre ai et a.j et que

Posant en efrot

Av =ri a -t- Aï ) — .v( f, a ),
l’existence de la difiérentielle implique que

F [ K -+- Av I — F(,v I — 2 Ff V. Av |

il A)- Il

ce qui peut encore s’('*crire

( l’I V + Ax 1 — F| )'] ^ f A)'1; I

Aa 0^ Aï L Aï j Av ü

Aï

et le rcsultat annoncé en découle parce que ' reste limité d’après
les hypothèses faites.

La formule (là) généralise la règle de dérivation d’une fonction
composée <le la variable a, /( avec y, = >',(3!),

(„i, -y _v

y =y ''L vii

</oL tf y, doL

Dans le cas particidier où la dill'érentielle oF est régulière, (i5)
devient

(r/) = f F'|_v(/, ï); ai'/;.

• it

déduite de (ib) par le principe de passage du discontinu au continu.

18. La formule (là) a la conséquence suivante : si F[y'(^)] a un
minimum ou un maximum relatif pour la fonction

y«i f ) = >■( f, xn ).

c’est-à-dire si l’on a toujours

F[^Vo(/*|< >F|v(/)j

(M On se rappelle (fue oK est fonctionnelle des deux arguments oy. Ces deux
arguments doivent, dans le dernier membre de (i5), avoir les valeurs y(t^ a),

y a).

92

CHAPITRE IV.

poury assez voisine de Ko » alors la quantité ^ doit être nulle pour a = «o .
En d’autres termes la première différentielle

( 17 ) 2F[r(0>?(0]

d'‘une fonctionnelle doit être nulle^ identiquement par rapport
à <p(t), pour les fonctions ^'o(^) qui rendent la fonctionnelle
maximum ou minimum ). Lorsque (i 5 ') est valable (fonctionnelle
dérivable) nous avons comme conséquence que la dérivée fonctionnelle

( 17 ') 51

est identiquement nulle en \ pour les fonctions yo{t) qui rendent
F maximum ou minimum (2).

19 . La condition (17) ou (17’) étant remplie, le signe de la dift’é-
rentiellc seconde peut donner des conditions suffîsantes pour le
maximum ou minimum : st, pour l'argument y(<), ôF est identi-
quement nulle et sHl existe un nombre positif k tel que

a-jp > A-|! oy l!^

pour les fonctions ây pour lesquelles || ày || est assez petit,, F a un
minimum relatif pour l'argument y{t).

En effet, on sait que

Y\y + -oy]-V[y\-U-'-¥

i|5rll=‘

tend vers zéro avec le dénominateur; on en lire
V\y^^y]-F[y\>

et, pour II ô^ll assez petit, ^ — e sera posilif, d’où le résultat.

Le champ d’application de ce théorème est plus restreint qu’on ne
pourrait penser à première vue : en ce qui concerne les fonctionnelles
du calcul des variations, il ne serait applicable que dans un champ
fonctionnel trop restreint (cf. d’ailleurs n" 8). On sait combien est

(') VOLTERHA, [108].

(’) (17) OU (17') ayant lieu, il n’y a pas forcément maximum ou minimum; on
peut dire que là fonctionnelle est stationnaire.

OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONNELLES. 93

délicate, en calcul des variations, l’étude des conditions du deuxième
ordre déduites de la considération de

111. - EXEMPLES.

20. Prenons une fonctionnelle régulière de degré n

n

F(^(/)] = a-oh-V f ... f

^ ^ a n

où l’on peut, comme nous l’avons vu, supposer que les noyaux sont
symétriques par rapport aux variables qui y figurent. La différentielle
sera

; I , .... ç £ — 1 > Ç )

f f‘... fk-dh

y ( ï \ ) * • ' .k(;£-i ) ffh • • • /•

et la dérivée fonctionnelle sera

K'Lr(n, = r ■■ f 5)

^1 J„ j„

X ,Kl ;i ) . . . ,K( ï,-i ) d\\ . . .

fonctionnelle régulière en y de degré n — i . En général, après p déri-
vations, on obtiendra ... fonctionnelle de degré n — p

si n > /?, égale à « ! An (^i ? . . . . E« ) si n = /?, nulle enfin si n < p<

21. Prenons maintenant une fonctionnelle normale, du second
degré, pour abréger, soit

• ^ n

f f a- 2(Ç,, d;,,

nous aurons la différentielle

8F = /'’A.(05^(S)dÇ-K-^

a a

/'* /**

-I- 2 J j k:i(^, r])y(^)3y( ri)dSdrt

CHAPITRE IV.

94

et la dérivée première

Z'*

?1 = 4:i(?) + 2/t(Ç)7(Ç)-H2 /

^ a

fonctionnelle du premier degré en y qui dépend spécialement de la
valeur de au point

22. Notons en passant que, lorsqu’on écrit qu’une fonctionnelle do
l’un des types précédents est stationnaire en annulant la dérivée F',
quel que soit on obtient, pour le cas régulier du second degré,

(i8)

( $ )

Ç)r(0 d(

et, pour le cas normal,

(19)

.r(?) = —

Ai(S)

2 A(5)

\)y{t)({t.

Los équations de ce genre seront étudiées ultérieurement : ce
sont des équations intégrales linéaires par rapport à la fonction
inconnue y'(/), respectivement de première espèce (i 8 ) et de seconde
espèce ( 19 ).

23. Soit la fonctionnelle

p\y(n\ = / y"Kt})df,

a

du type qui apparaît en calcul des variations. Nous supposcu'ons la
fonction y finie et continue ainsi que celles de ses dérivées partielles
dont nous aurons besoin. F a un sens pour les fonctions y{t) déri-
vables jusqu’à l’ordre /i inclus; mais, pour mettre ôF sous la forme
habituelle, il faut se placer dans le champ des fonctions y{t) déi'ivables
jusqu’à l’ordre 2/1 inclus et l’on obtient pour ôF

dt tjy

dt^

() f , r/" <)f

dy ' ’ dt'^

oy{t)dt

les points désignant des termes qui dépendent de dy, . . . , ^y"~' aux
points exceptionnels a ai h.

OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONNELLES.

95

La dérivée fonctionnelle première est

d âf
{ Oy dt ày'

c’est une fonction ordinaire de y-, • . • , calculés pour / =

Si on l’annule on obtient, pour déterminer les fonctions y{t) qui
rendent stationnaire la fonctionnelle, Véquation différentielle

ày dt ày'

(équation d’Euler).

24. Soit enfin

r *

^ a

•+• J f /-'(f. •'i, .K(5', .K< r, ), y'v(,^) d’-dr^.

OÙ fi est supposée symétrique en t et n quelle que soit y. Sa diflTé-
renlielle sera donnée par la formule

ôi;

--r

ô.K( ; ) d^

di ày' \dy{^)

d àfi
d'- ày'i

en négligeant des termes qui dépendent des valeurs de ôy en d et h.

Eu égalant à zéro sa dérivée fonctionnelle nous aurons, pour déter-
miner l'inconnue y, l’équation fonctionnelle suivante ;

'^y

d; 'fy'

d dfi \ .

, 7 I dr, = O.

d; à y ( ; I /

L’inconnue y y figure à la fois par ses dérivées et sous le signe
d’intégration. C’est donc une équation qui participe à la fois du
caractère des équations intégrales et des équations différentielles.
M. Volterra a nommé les équations de ce type équations intégro-
différentielles. Nous aurons à les étudier ultérieurement (' ).

(') On trouvera d’auli’üs exemples dans les Lei;onssur les fondions de lignes [113J
«le M. Volterra, Cliapitrc III.

96

CHAPITRE IV.

IV. - L’INTÉGRATION DES FONCTIONNELLES.

25. Bien des problèmes se posent à ce sujet. Certains d’entre eux
paraissent d’ailleurs fort difficiles et ont été à peine abordés.

Dans le présent paragraphe nous réunissons l’exposé de quelques
questions concernant l’intégration des fonctionnelles et qui peuvent
montrer les divers points de vue. Nous aurons d’ailleurs l’occasion,
dans les volumes suivants de l’Ouvrage et à propos des applications,
de compléter l’élude que nous abordons ici.

Nous signalerons un important Mémoire de M. Fréchet [•il] où il
donne une définition très générale de l’intégrale d’une fonctionnelle
abstraite sur un ensemble abstrait. Il serait certainement intéressant
de chercher à tirer parti de cette définition en se plaçant au point de
vue du calcul fonctionnel.

26. Détermination d’une fonctionnelle dont on connaît la dérivée. —

Un premier point de vue consiste à rechercher V opération inverse
de la dérivation fonctionnelle ( ’ ).

D’une façon précise le problème peut être posé de la façon
suivante : on donne une fonctionnelle

G 1^/1 C' çj »

où figure un paramètre \ définie, par exemple, dans le

champ des fonctions y{t) finies et continues. Reconnaître si G est la

dérivée fonctionnelle d’une définie dans le même champ;

lorsqu’il en est ainsi, calculer F.

Le principe de passage du discontinu au continu guidera ici de façon
très efficace. Le problème d’analyse ordinaire correspondant est le
suivant : reconnaître si n fonctions des variables y,, y.j, .... y„,
soient \i(y,, y.j, . . ., y,,), sont les dérivées partielles d’une fonc-
tion f{yh, y^, ..., .Vn) que Von déterminera. Or ce dernier
problème peut être traité par l’application de la formule de Stokes,
qu’il s’agit donc d’étendre aux fonctionnelles.

(') VOLTERRA, [113], p. 43.

OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONNELLES.

97

Soit à cet effet, dans un plan auxiliaire (w, p), une aire simple «
limitée par le contour fermé c. Faisons correspondre à chaque point
de l’aire une fonction-argument que nous noterons

et désignons par s) celle de ces fonctions qui correspond à un
point du contour de w, point repéré par le paramétre s. On démontre
que

( 20 ) f

= ]-f(hnhf f (G'[^(f; M, c); ï), $] — G'i M, fj; ï, r,])

r>( n, v ). r( 7); m, i?;)

formule qui généralise la formule de Stokes. Dans cette formule G’
désigne la dérivée fonctionnelle de G prise au point ( - ou rj ) qu’indique
la dernière variable;

r)( r( ; : U, e), y( t) : //. c »)

I > ( a, V }

est le déterininanl fonctionnel des deux fonctions ) (^ ; «, e). > (tj ; u, v)
par rapport à « et e.

On établit ( 20 ) en appliquant la formule de Green

à la transformation de l’intégrale curviligne du premier membre. Le
calcul est immédiat; on doit supposer que la fonctionnelle G est déri-
vable et que sa différentielle a la forme régulière (n® 3)

La formule ( 20 ) permet de résoudre le problème posé. Pour cal-
culer F[jt'(f)] on pourra choisir arbitrairement sa valeur quand y{t)
prend une valeur Vo(^) appartenant au champ fonctionnel considéré,
puis on construira une fonction de deux variables s) qui prenne
les valeurs yo(f) gI y{t) lorsque s prend les valeurs et et qui
reste dans le champ fonctionnel où l’on s’est placé.

VOLTKRRA

7

CHAPITRE IV.

On aura enfin

j ^«i dy(r[' s)

ds Gl7(<; i);

c..

Encore faut-il que l’expression précédente ne dépende pas de la
loi y{t’, s) adoptée pour passer de /o(<) à f{t), lorsque s varie,
de ^0 à Cela entraîne que le premier membre de ( 20 ) soit identi-
quement nul quels que soient co ety(<; u, e), d’où la condition

( 22 )

G'LKO; n, M = G'|/(<); 5. -^.1

nécessaire et suffisante. Cette condition étant remplie, F est
déterminée à une constante près

{nyoit)])-

Notons que G’ est la dérivée fonctionnelle seconde de b de sorte
que nous établissons ainsi le théorème déjà donné (n" 11 ) : V ordre de
deux dérivations fonctionnelles n'a pas d'effet sur le résultat.

Comme cas particulier on a le résultat suivant, dont la démonstra-
tion directe est d’ailleurs aisée : si F'[_;k(^), est identiquement
nulle, la fonctionnelle F se réduit à une constante.

27. Cas où la différentielle de F n’a pas la forme régulière. - Le
calcul précédent concerne en fait la détermination d’une fonctionnelle
dont on connaît la différentielle, laquelle est régulière. Mais il n’esi
pas difficile de passer au cas général.

Donnons-nous la fonctionnelle

I'

dépendant des deux arguments y (<), ày{t) et linéaire par rapport
à iy(^t). Nous chercherons à déterminer une fonctionnelle

dont r serait la différentielle.

Puisque F est linéaire en ày, il n’y a pas de difficulté à la diffcren-
tier en faisant varier le seul argument üy. Nous admettrons que
lorsque, en maintenant fixe ôy', on donne à y une variation Ar la dilfé-

OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONNELLES.

99

renlielle correspondante de T existe également et nous la noteroiis

r i> b h 1

L O n « J

Nous supposerons enfin remplies les conditions nécessaires pour
que l’on puisse utiliser les dilFérentielles précédentes pour la dériva-
tion par rapport à des paramètres dont dépendront y et [cy^.
n" 17 , formule ( i 5 ) |. En reprenant les calculs du numéro précédent
on constate alors que la formule de Stokes généralisée est remplacée
par la suivante ;

,:i,

,, r , , /; U »’ ) ifyi f: «. i- ) 1

i/ yi t ; M, y ) J

Pour l’exisfenci* de F' ci est donc nécessaire et suffisant que
(3(1 ! = Il 0/

quelles que soient les fonctions y\ o >', A >• du champ où l’on s’est
placé »“t F sera donnéi? par la formule

Fl.n ni

^K(.( t ( I

r ( / ; 5 ) 1 ,

28 . La propriété exprimée par (24) donne, en somme, l’extension
la plus large du principe d’inversion de deux dérivations fonctionnelles
{ ef. supra n" 1 1 et fin du n" 26 ).

Voici, comme conséquence, un résultat énoncé par M. Volterra
dans un cours professé à Rome en 1926. Admettons (|ue la difléreu-
tielle donnée

r p ( t), O » ( t »J

soit de forme

t )j oy( 7 .) -i-jT B |^/( / 1, $ 0 j( ^

iivec la valeur exceptionnelle (x et supposons que,*- fjuand on donne

lOO

CHAPITRE IV.

(26)

{■>■!)

Bi [y(0, ?J

à y l’accroissement Aj'(f), A et B aient des différentielles de même
forme, respectivement égales à

A7(a)H- ^ Aî 1^7(0,

En remplaçant dans (a 5 ) A et B respectivement par les expres-
sions (26) et (2^) on a la précédente H et l’équation (24) exprime que

Aj j7(0, çj Ay(Ç)^?-t- AK(a)y' B. j^r(0, çj S7(ï)^/=

Bî ■’»] ®

doit être symétrique par rapport aux fonctions ôy(^), ày{t) quelles
que soient ces fonctions. On en tire non seulement que Ba est symé-
trique par rapport aux variables^, Y) (ce qui est le principe d’inversion
du n” 11) mais encore

A.[j(0, îl^B, ^7(0, ?j.

Quand une fonctionnelle F’ donne une partie exceptionnelle de
coefficient A et une dérivée fonctionnelle B, il y a symétrie entre
la dérivée fonctionnelle de A et le coefficient d' un terme excep-
tionnel qui se présentera en diff érentiant B.

29 . M. P. Lévy a envisagé ( ' ) ^^ cas où la différentielle donnée a
la forme régulière (^)

la différentielle de G n’étant plus régulière, mais ayant la forme

8G = Ao oy -f-. . A;, Ç K(Ç, Tj) 8y( ïj ) c/ti

da

avec une partie exceptionnelle dans laquelle ây, ôy', . . . , sont

(') ['î'5], p. 9«-94-

(*) Avec éventuellement des parties exceptionnelles concernant les limites de
rintervalle d^intégration, et dont il est aisé de tenir compte.

OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONNELLES.

lOI

calculés pour la valeur Aq, A,, sont des fondions de ^ ce

sont aussi, ainsi que K, des fonctionnelles de y, mais nous ni;
l’indiquons pas pour ne pas charger l’écriture. En posant pour
abréger

5G|= M \y{t), ôy(t); Ç

L rt a

la condition do symétrie ( 24 ) donne la relation obtenue .direcU'inent
par M. P. Lévy

■'Jfj', ÇJ Ay-r ï) r/Ç,

qui doit être vérifiée identiquement. M. P. Lévy dit alors (|ue
l’expression M est sa propre adjointe; les conditions |à remplir pour
cela sont immédiates : en particulier K(^, yj) doit être fonction symé-
trique en ^ etr) et l'expression dillérentielle

Afl ÔK -H ... -4- A,, 8y'*/'>

doit être adjointe d'«‘ll(>-iuême au sens de Lagrange ; elle a donc une
forme bien connue.

30. Généralisations diverses. — Les calculs qui précèdent con-
C(‘raent dans l’ensemble ^l’intégrale curviligne dans l’espace fonc-
tionnel, une, courbe de cet espace correspondant à une famille de
fonctions y'(^) dépendant d’un paramètre. Nous avons donné diverses
formes du théorème analogue au théorème de Stokes concernant une
intégrale curviligne prise suivant une feriuèe i\e l’espace fonc-

tionnel. Il n’y a pas lieu d'insister sur les généralisations faciles
relatives à des intégrales prises sur des multiplicités de l’espace
fonctionnel, multiplicités dépendant d’un nombre quelconque, mais
/ini^ de paramètres. Nous aurons d’ailleurs l’occasion d’y revenir à
propos des applications.

Nous donnerons, pour terminer ce Chapitre, quelques indications
sur un problème bien plus diflicile : l’extension de la notion d’intégrale
à iune portion de l’espace fonctionnel qui ne dépend plus seulement
d'un nombre fini de paramètres.

Mly, Ay-;

-f

31 . L’intégrale multiple et la notion de moyenne dans l’espace fonc-

102

CHAPITRE IV.

tionnel. — Pour une fonclion de « variable f ( r» , J'j, • • • , ^>'/i ) il n’y a
pas de difficulté à définir l’intégrale multiple d’ordre n : par exemple

j çl>i

• • • / /(7> , .l'ï .*• • • ) 7» ) -

«1 '■'an

l'intégration étant efi'ectuée pour un parallélipipède P„ do l’espace
à n dimensions. En divisant ï par le volume de ce parallélipipède

= ( *1 — «I ) ( — a» ). . . ( 6„ — a ,, ).

on a la valeur moyenne de / dans P„. On peut cliorcher à intro-
duire des notions analogues pour les fonctionnelles en utilisant le
procédé habituel de passage d’un nombre fini à une infinité de
variables : il s’agit donc de définir l’intégrale ou la valeur moyc'une
dans un champ fonctionnel à une infinité de dimensions.

Une première difficulté se présente lorsqu’il s’agit de définir le
volume ou la mesure d’un champ fonctionnel de telle sorte qu’il
jouisse de la propriété d’être une fonction adJitive de cet (msemble.
Prenons, par exemple le champ de toutes les fonctions >'(^) pour
lesquelles

av(!c — y',(/)>.o, champ qui peut être considéré comme un

parallélépipède de l’espace fonctionnel : le volume, produit de toutes
^es différences possibles 72 (^) — serait nul si

et infini si

y-.(t)~ y\{t) i
y..( f I --yi(f) I.

Galeaux évite celte difficulté en définissant direcloment la moyenne
d’une fonctionnelle dans un champ donné. Ses travaux (') sur ce
sujet vont dans plusieurs directions (|ue nous indiqiu'rons ici (-).

32. Première méthode de Gateaux. — Observons <[uo, dans le cas
des fonctions ordinaires /’()•,, l'.j, . . la moyenne coïncide avec

(') Gateaux, [55], [57].

(*) Les travaux (te Galeaux ont été poursuivis par M. F. Lévy, (jui a beaucoup
perfectionné les méthodes, et a développe d’importantes applications, telle la belle
théorie des fonctionnelles harmoniques. C/i75]. Nous y reviendrons dans le second
\olumo du présent Ou>rage.

OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONNELLES.

l’inU^grale si lo champ considéré est le cube à n dimensions

• (/= I « t,

(iaie.iiix se limite d’abord à une fonctionnelle

prise dans le champ des fonctions qui restent, quel que soit /, com-
prises entre o et i .

Prenant quelconque <lans le champ précédent et un

nombre /i(o<C/*<i). notons y (/, //) la fonction définie par les
égalités

ÿ( f, h ) ~ >•( t) -k- h lorsque v'{ t ) -h h ^ i ,

= Y{ t) h — 1 lorsque y( -4- /» > i,

F| >'(/, A)] est une fonction onlinaire «l(‘ h, définie dans

l’inlrrvalle O, i. Calculons alors

Si nous «lésignons par L et l respectivement la borne supérieure et
la borne inférieure de la fonctionnelle F dans le champ, l’intégrale l|
est nécessairement compris(‘ entre Lot /et, si v(/) estfixée, elle repré-
sente la moyenne de F pour l'intinité simple des fonctions >'(^, h).

Désignons par li, et /| les bornes supérieures et inférieures de I|
(juand >' varie dans le champ considéré, nous aurons

/ : /li Lii I-

]=/■

l'[ v( /»

Divisons alors l’intervalle {<(, b) on deux parli(‘s («, c) et (c, h) l'I,

d'une fonction choisie i'(/) déduisons > (/, b,, h.,) égale à )'(/)4-//,
dans l’intervalle (a, c) et à >'(/)-!- /i^ dans l’intervalle (c, b) (en
convenant toujours de retran<‘her i si les valeurs obtenues dépassent
l’unité ).

|.^ I v( /) — f f 1‘ 1 v* t. />i- />i t] dA| i//i ,

L « 1 .'o

représentera la valeur moyenne de F pour l’ensemble à deux para-
mètres des fonctions >'(/. A,, h^)- Elle aura pour bornes L.j et l-, et

CHAPITRE IV.

io4

l’on vérifie sans peine que

En divisant en deux chacun des intervalles (a, c) et (c, b) on aura
de même une intégrale quadruple dont les bornes et L3 seront
comprises entre L et Lo et ainsi de suite.

Il peut arriver que la suite non croissante des Lj et la suite non
décroissante des li aient une limite commune X : ce sera alors par
définition la moyenne de la fonctionnelle dans le champ considéré;
ce sera aussi V intégrale puisque -dans le [cas présent il est naturel
d’identifier valeur moyenne et intégrale.

Il advient malheureusement que la convergence des deux suites h
et Lj et la valeur de leurs limites dépendront en général du procédé
de division de l’intervalle («, b) en intervalles partiels. Cette première
méthode appelle donc de nouvelles recherches.

33 . Nous donnerons un exemple très simple, où la méthode con-
duit d’ailleurs à un résultat satisfaisant.

Soit la fonctionnelle linéaire et régulière

^ a

où /(^) est donnée. On a

-h h r /{t) fit — r /{ t) t/f.

^ lu

en désignant par l’ensemble des points du segmenl (0,1) pour
lesquels > i — h. II en résulte

I

f)(tt f /{t)y{t)

,/( —

f (Ib f fit) <ft,

mais le dernier terme n’est autre qu'une intégrale -double de /(O
étendue à l’aire de la courbe .>'(^), il disparaît donc avec le second.
Ii est indépendant de ;>'(/), on a

i r*

/, = L, = - / f(t) dt.

Toutes les autres intégrales ont la même valeur, la moyenne de F

OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONNELLES.

io5

est donc

.7

C’est C(î que l’on pouvait attendre : pour la fonclion

fnyn^

rintégrale étendue au cube <‘sl

I

(

f \ -t-/»

34. Seconde méthode de Oateaux. - Son point de départ est plus
naturel : elle généralise, de façon immédiate, la remarque précédente.
Envisageons une fonctionnelle

dépendant lic l’argument dans l’intervalle ( o, i) (ce (jui ne

restreint pas la généralité). Toute fonction y{t) peut, sous des con-
«litions très larges, ètnî approchée en moyenne par une fonction
simple pnmant des valeurs constantes • ■ -j.' /i dans les n inter-

valles

-,-'1,

In-

1 n N

\ ,

5 1 y

n n J

• • • î

l n

- y —

J

r

l'approximation augmentant indéfiniment avec /<. Or une telle fonction
simple correspond au point de coordonnées j',, v.j, . . . , r„ d'un
espace E„ à n dimensions. Le domaine considéré D de l’espace fonc-
tionnel donnera, pour 1»‘S fonctions simples d’ordre n qui lui
appartiennent, un certain domaine D„ de l'espace E„, la fonctionnelle
devenant une fonction ordinain» de r,, . . ., )’,i dont on peut éva-

luer, par des intégrations ordinair<?s, la valeur moyenne Oïl,, dans D„.
Si JTL,, tend vers une limite pour n — c», cette limite définira
la valeur moyenne de la fonctionnelle.

3.3. Un cas simple est cidui où D est le domaine intérieur à une
sphère fonctionnelle. On cherche alors la moyenne d(‘ F pour toutes
les fonctions »'(/) qui vérifient

y-{t)i{t = \\-

I 06 CHAPITRE VI. — OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONNELLES.

(sphère de rayon R). Les fonctions simples donnent alors, dans E„
le domaine D„ intérieur à l’hypersphère

.r'i -t- r 2

de rayon R^/t.

Le volume de la splière de rayon p dans l’espaci' à n dimensions est

"1 9-'"

p\

7ZP 'AP ^

I .3. J. . .(2/? -4- 1)

SI n = 2 p,

o-P * * si n = •> /> 4- I .

En remplaçant p par R et utilisant Texpression as> mptotique des
factorielles on constate que, pour n très {çrand, le volume est équi-
valent à

n

( 2 TL r )“ R"

/■" ■

On ne peut donc, par le procédé précédent, définir le volume de
la sphère fonctionnelle ni, par suite une intégrale étendue à ce volume ;
il faut .se borner à la notion de moyenne.

36. Une autre extension de l’intégrale inultiph* aux champs fonc-
tionnels a été donnée par M. Daniell qui envisage une fonctionnelle à
variation bornée définie dans un champ à une infinité dénombrable
de dimensions et étend dans ce cas le concept d’intégrale multiple de
Stieltjes. L’intégrale de Daniell a été appliquée par N. Wiener à
l’étude du mouvement brownien ( ' ).

(’) Cf . Daniei.i., Wikneb. [ 1 ' 20 J.

CHAPITRE V.

\.E CALCUL KONCTIONNLL ET LES MÉTHODES NOUVELLES
I)i: CALCUI. DES VARIATIONS.

l. - KEMAUQUES GÉNÉRALES.

1. Nous avons déjà eu l'occasion de dire qiu* le (-aïeul des varia-
tions n’était qu’un chapitre de la théorie générale dos fonctionnelles,
chapitre qui se déliiniu* par les deux réserves suivantes ;

rt. On ne considère que des fonctionnelles qui sont exprimées par
des intégrales définies (simples ou multiples) portant sur une fonc-
tion ordinaire de la fonction-argument et de ses dérivées;

b. (^n n'étudie que les problèmes de maximum ou de minimum de*
ces fonctionnelles.

Le développement du (-aïeul des variations a précédé de beau-
coup celui du (’-alcul fonctionnel et il s'est effectué, jusqu’à la fin du
<lernier siècle, de façon autonome.

La méthode principale était celle des équations différentielles (ou
aux dérivées partielles) dans laquelle les pas successifs étaient les sui-
vants :

i” Obtenir les équations qui expriment que la variation première
est nulle (équations d’Euler, cf. supra. Chap. IV, n" 23).

a" Déterminer les lignes ou surfaces qui vérifient les équations et
qui satisfont aux conditions aux limites imposées par le problème.
Démontrer tout au moins l’existence de ces lignes ou de ces sur-
faces.

3" Éitudier si ces lignes ou ces surfaces donnent efïectivement un
maximum ou un minimum.

2. Les premières liaisons entre le Calcul des variations et le Calcul

io8

CHAPITRE V.

fonctionnel générîil furent établies par M. Volterra (') en vue de
l’extension qu’il a développée de la théorie de Hamilton-Jacobi. On
sait que cette dernière théorie, qui joue un rôle notable dans l’inté-
gration des équations de la mécanique, a son origine dans le fait que
les équations différentielles de la mécanique sont les équations d’Euler
d’un problème d’extremum concernant une intégrale simple (action
hamiltonienne). Dans le développement de la méthode, on a à consi-
dérer cette intégrale simple comme fonction de sa limite supérieure,
et c’est une fonction de point. Mais, si l’on passe à un problème de
Physique mathématique dépendant de l’extremum d’une intégrale
multiple, il faudra considérer cette intégrale comme fonctionnelle de
la multiplicité frontière du champ d’intégration : il sera impossible,
sans l’aide du Calcul fonctionnel, d’obtenir une généralisation de la
théorie de Uamilton-Jacobi. C’est ce qu’a montré M. Volterra dont
les travaux sur ce sujet ont été suivis par ceux de M. Fréchet. On
peut y rattacher encore les belles n'cherches de MM. Hadamard et
P. Lévy sur la fonction de Green (-).

A peu près dans le même temps divers travaux marquent l’essai de
méthodes directes rigoureuses pour traiter les questions de Calcul
des variations. Essais très importants car, dans la méthode indirecte
dont les grandes lignes sont indiquées au n” 1, il est toujours aisé
d’écrire les équations d’Euler, mais l’étude dos deux autres questions
— et surtout celle de la troisième — présente le plus souvent de
grosses difficultés. C’est ce qui fait l’intérêt des méthodes nouvelles
lesquelles prennent appui sur les notions générales de l’Analyse fonc-
tionnelle pour la recherche directe du maximum ou minimum.
Calcul des variations en a été renouvelé.

3. Les conséquences sont d’ailleurs notables dans toute la Physique
mathématique. On sait que, au cours du développement historique
de cette Science, il s’est très souvent révélé la tendance à réduire les
problèmes naturels à des questions de minimum, ceci par suite de
ridée — plus ou moins consciente — que la nature tend, dans ses

(') Cf, Volterra, [110]. Sur toutes les questions envisagées dans ce para-

graphe, voir Volterra, [118] où Ton trouvera une biographie détaillée.

(^) Nous reviendrons en détail sur res divers sujets, en traitant dans le
volume suivant les équations aux dérivées fonrtionnelles. Cf, [113], Chap. III;
P, UiVY, [75].

CALCUL FONCTIONNEL ET MÉTHODES NOUVELLES.

109

manifestations, à épargner le plus possible ce qu’elle dépense dans
l’accomplissement des divers phénomènes.

Les travaux se rattachant à celte tendance ont contribué à mettre
plus d’unité dans l’édifice de la Physique mathématique. Ils eurent,
à d’autres points de vue, une heureuse influence : c’est ainsi que
l’emploi des formes variationnelles rend plus aisé les changements do
variables et conduit naturellement à envisager l’invariance des équa-
tions par changement du système de référence. Mais, sauf en ce qui
concerne la théorie de Jacobi, tous ces progrès restaient en marge de
la solution même du problème, qui dépendait toujours de l’intégra-
tion d’équations difl'érentielles avec des données aux limites. Depuis
le développement des méthodes directes^ chaque principe variationnel
de la Physique mathématique peut être pris pour base d’une solution
complète du problème correspondant.

d. C’est d’ailleurs rélude de l'un di‘ ces principes, le principe de
Dirichlet, qui fut l’occasion du premier essai, auquel nous faisions
allusion plus haut, des méthodes directccs.

Rappelons que le principe de Dirichlet postule l’existence d’une
fonction 9(3?, jy) continue ainsi que ses dérivées dans un domaine
plan prenant des valeurs assignées à la frontière de iî, et réalisant
le minimum de rinlcgrah*

L’éipiation d’Euler correspondante est

‘<t- 9 _

dont il faut une solution continue prenant des valeurs assignées sur
la frontière de 12 : c’est le problème de Dirichlet.

Lorsqu’il énonçait son principe, Dirichlet, suivi en cela par Rie-
mann, pensait que, l'intégrale J étant toujours positive ou nulle,
l’existence de la fonction 9(^7, )') était par cela même assurée.

Weierslrass montra les difficultés que soulevait la question et.
après ses critiques, l’elTort se porta sur la solution du problème de
Dirichlet.

On suivit des voies qui n’ont aucun rapport avec le C.alcul des

1 lO

CHAPITRE V.

variations : méthode de Neumann, qui fut perfectionnée par plusieurs
auteurs et étendue à beaucoup d’autres cas ; méthodes de Schwarz ;
méthode du balayage de Henri Poincaré; enfin les procédés .fondés
sur les équations intégrales, employés d’abord par Fredholm. Ces
derniers procédés ont donné lieu à un grand nombre de travaux et ils
ont été d’une grande fécondité.

Puis un courant se forma pour revenir à l’étude des vieux concepts
et s’appuyer sur le principe de Dirichlet. Arzelà fut l’initiateur et,
directement inspiré par les idées sur les fonctionnelles, chercha à
donner une démonstration rigoureuse de l’existence du minimum
sous certaines conditions. Ses travaux définitifs remontent à 1897 (*)
bien que ses vues et ses éludes soient plus anciennes.

En 1900, Hilbert (■^) donna une démonstration complète et rigou-
reuse, obtenant un résultat définitif que n’avait pas atteint Arzelà.
Mais c’est en suivant la voie frayée par celui-ci que Hilbert pu réussir.
De nombreux travaux de B. Levi, Fubini, Lebesgue, Zaremba et
d’autres vinrent après celui de Hilbert.

5 . Mais la généralité de la méthode n’apparut qu’après que l’on se
fut aperçu que la réussite des procédés employés était due à la pro-
priété de l’intégrale J de posséder la semi-continuité {cf., Chap. 11 ,
n*' 16 ).

Ce fut M. Tonelli qui, usant systématiquement de l’analyse fonc-
tionnelle, mit à la base de l’étude directe des problèmes de maximum
et minimum le concept de semi-continuité et est ainsi le véritable
fondateur des méthodes nouvelles (*).

Pour en donner une idée nette, il suffira de se limiter ici au cas le
plus simple, celui de l’intégrale

r’’

Ce cas sera envisagé dans le paragraphe suivant que M. Tonelli a
bien voulu écrire à l’intention du présent Ouvrage. Les Auteurs sont
heureux de lui exprimer ici leurs vifs remerciements.

(*) Arzelà, [3].

(’) Hilbert, [66].

(^) On en trouve un exposé d’ensemble dans le traité de M. Tonelli [lOt].

CALCUL FONCTIONNEL ET MÉTHODES NOUVELLES.

III

II. - MÉTHODE DIRECTE POUR L’ÉTUDE DU MAXIMUM
OU DU MINIMUM D’UNE INTÉGRALE SIMPLE.

6. Généralités. — Nous nous limilerons, dans ce qui suit, à la con-
sidération du problème de minimum pour l’intégrale

r''

{" / fi-r. y'(T))dx.

Pour siniplilior nous prendrons u\\ champ A formé par tous les
points du plan (.r. > ) satisfaisant à la condition

^ .r ^

av(‘c et uni» fonction y f* y^) i*l continue, ainsi que

ses dérivées partielles des deux premiers ordres pour tous les points
(.r, y) du champ A et pour toutes les valeurs finies de y^

Nous désignerons par C rensemble (ou classe) de toutes les fonc-
tions absolument continues (’),)'(*/) défini(*s chacune sur un inter-
valle propre (a, b ) avec a^<a<h<b^ et telles

soit intégrable au sens de Lebesgue dans ^Intervalle (a, 6). Appelant
C la courbe

y == y{ ,r ) a ^ X ^ fj

(‘; I^a iiolioii (lu foiK'liou al)‘«oliiment ronliniiu a cIk introduite par Vitali,
Kappelons la définition. L ne fonction /(.r) fiéfinie poura<x<^ sera dite dhso-
iiiment coniinite si, à tout t positif on peut associer un nombre 5 éj^alement positif
et tel (ju<‘, (a,, b^) = ni) étant un groupe quelconque d’intervalles de

(a, />), en nombre fini, sans parties communes et vérifiant l’inégalité

on ait

m

1

2

Kn particulier une fonction

pour laquelle le rapport des accroissements

est

borné est ab.solument continue.

(3n vérifie de suite, à partir de la définition, qu’une fonction absolument c ontinue
est à variation bornée. En désignant alors par y {x) la variation totale de f(x)
ilans l’intervalle (a, a?), pour que f(x) soit absolument continue, il est nécessaire et
-suffisant que V(a:) le soit.

U ^

CHAPITRE V.

qui représente géométriquement la fonction a?) de la classe (2, nous
désignerons par la même lettre (2 la classe de toutes les courbes C.

Nous nous servirons dans la suite de la notion Aq voisinage élémen-
taire d’ordre zéro (c/. Chap. II, n“ 19) avec un léger complément
venant de ce que les diverses fonctions considérées n’ont pas forcé-
ment le même intervalle de définition. Etant donnée une courbe
de la classe (2

Co : y=yoi^), «c^.'r<6o,

nous dirons qu’une autre courbe de la même classe

C : y - y{x), a <x<h

appartient proprement au voisinage (p) de Co (avec p >■ o) si :

1° I «0 — « l^p, 1 6o — 6 l^p;

2° — y(a;)|<p pour tout x commun aux deux intervalles

(« 0 , bo) et {a. h)\

3“ i jKo(«o) — 1 ^ P pour toute valeur de Jc appartenant à {a, b)
et qui serait, éventuellement, inférieure à a» ;

4“ lro(6o)-/(-^-)i <p pour tout X appartenant à (a, b) cl qui
serait supérieur à hn.

7. Li’intégrale I[C]. — Soit une courbe C : j — y(a;), a'^x^b,
de la classe (2; nous désignerons par If G] l’intégrale (i) correspon-
dante : c’est une fonctionnelle qui, du point de vue géométrique', est
fonction de la ligne G.

Cette intégrale sera dite régulière positive {négative) si, pour
tous les points (æ, y) de A et pour toutes les valeurs finies de y', on
a constamment

(■î) /r'v'(-r, JK, r') > O (<o) <’);

elle sera dite, par contre, quasi régulière positive {négative) si, pour
les mêmes x, y et y, on a

(2') /r'v'(a:, 7, 7')^0 (^O).

(^) fytyi désigne la dérivée seconde de /prise deux fois par rapport à la varial)ley';
de même plus loin sont des dérivées partielles par rapport aux variables-

mises en indice.

CALCUL FONCTIONNEL ET MÉTHODES NOUVELLES. Il3

8. Semi-continuité et continuité. — Soit (5* une cla.sse de courbes
appartenant à <3. D’après les définitions du Chapitre II, l’intégrale I[C]
sera, dans (3*, semi-continue inférieurement {supérieurement) sur
la courbe Co de (3* si. e > o étant pris arbitrairement, on peut lui
associer un nombre p > o tel que

I|Cj l|Go)- s n[C]< l|Cn|-+- ei

pour toutes les courbe.-» C de <3* qui appartienmmt proprement au
voisinage (p) de C».

Si l|C] est, dans (3*, semi-continue inférieurement {supérieure-
ment) sur toute courbe de la classe, on dira qu’elle est semi-co/itinue
inférieurement (supérieurement) dansC?*; et si C?* coïncide avec 3.
on dira, sans plus, que IfC] est semi-continue inférieurement
{supérieurement) .

Comme il a déjà été dit la continuité (sur la courbe Co, ou
dans (5*, ou dans (?) résultera de la coexistence des deux semi-conti-
nuités inférieure et supérimire.

Supposons maintenant que, dans (?*, l’inlt'grale l[C] admette un
minimum : cela revient à dire qu’il existe une courbe Co de (?* telle
que

pour toutes les courbes C de (?*. Dans ces conditions I[C] est,
dans (?*, semi-continue inférieurement sur Co- L’existence d’un
maximum entraîne de meme la semi-continuité supérieure de l’inté-
grale. Cela nous conduit à rechercher les conditions de semi-conti-
nuité de I [ C ].

î). Condition nécessaire de semi-continuité. — -1 fin </«<?, pour une
courbe quelconque Co de (?, l'intégrale l[C] soit sur Co semi-
continue inférieurement dans la classe (?o de toutes les courbes
de (? qui réunissent les points ejctrêmes de C„, il est nécessaire
que I[C] soit quasi régulière positive.

A cause de la continuité de il suffira de démontrer {-a') pour
les points X, y intérieurs au champ A.

Supposons, s’il est possible, qu’en un point Po(-Po- ^o) intérieur
à A, on ait, pour une valeur

Ci) -Po, ro. v;,)< O.

VOLTERRA

8

CHAPITRE V.

u4

On pourrait alors choisir deux nombres yj et â, supérieurs à zéro, tels
que le segment rectiligne PoP< issu de Po avec le coefficient angu-
laire y'g et la longueur d, soit intérieur à A et tel que, on chacun de
ses points et pour tous les y' compris entre y', — ô et + <5, on ait

Désignons alors par Cq la courbe formée par ce segment (P,, I*,), dont
l’équation est

y = 7o( .r )=_/(, -h y'o ( .f — J-0 ) O- ^ , ).

en désignant par Xi l’abscisse de P<. Construisons, pour chaque ii
entier positif, la courbe C,,

de la façon suivante : nous divisons PqPi en n parties égales et, sur
chacune d’elles prise comme base, nous construisons un triangle qui

ait ses deux autres côtés de coefficients angulaires H- <î, j)',, — o.
Tous ces nouveaux côtés formeront une ligne brisée, qui sera la
courbe C,j et qui a les mêmes extrémités Po et P, que C,,.

Si n tend vers l’infini, G„ tend uniformément, dans tout (æ^oi )
vers Co et par suite appartient proprement, à partir d’une cer-
taine valeur de n, à un voisinage (p) de la courbe (]„.

Observons enfin que, dans tout (j?,,, .« 4 ), on a

(5) /o<'-^o=/o, y» -

et que Cn appartient à la classe (3o

CALCUL FONCTIONNEL ET MÉTHODES NOUVELLES. m5

tivaluons alors la différence 1[C„] — l[Co]. AjouUinlelrelranchanl
l’intégrale de /(a;, y, (^)) appliquant le développement

limité de Taylor, nous avons

(|(> ) 1 1 c„ I — 1 1 ( ;„ I = r /( ./•, y„. r„ , ,ix — f /( X, y„ ) (ix
= j (/( -r. .Vn, y„ )—/<-<*, Ko, y„ )) dx

)/, '( ./•, yn, Ko } dx

.v'o )-/,

où y, variable avec ,r, est compris entre y'^ et dz ô — y',.

Si n tend vers l’infini, la première intégrab' du dernier membre
de (b) tend vers zéro et la seconde, qui peut s’écrire, en intégrant
par parties

% t’i

/ < y» — y’o >/' '< .t'o- .Ko ) dx

' 0

~ ~ f •.K» — .»■» I l/l < -r. .) o. > 0 ' -^-.»'’o/i .K»- é'o ^ J dx

tend aussi vers zéro. D’après les précédentes (4 ) et ( 5 ) on a d’ailleurs

X. Ko, y ) dx <

0 -

- '-r.

d’où enfin

O

(7 ) I l I — 1 1 bo I — , ( ./'t — xn ) r,,

4

pour toutes les valeurs de n supérieures à un certain entier n,). Ceci
contredit la semi-continuité inférieure de I[G] sur Co dans la
classe Cy, puisqu’alors, pour des valeurs assez grandes de n on
devrait avoir l’inégalité contraire 0(7). Le théorème énoncé est ainsi
établi.

Comme corollaire nous avons :

une condition nécessaire pour la semi-continuité inférieure de\\C\
est que cette intégrale soit quasi régulière positive.

11 est évident que, en .substituant la quasi-régularité négative à la

CHAPITRE V.

llC)

quasi-régularité positive, on aura une condition nécessaire pour la
semi-continuité supérieure.

10. Condition pour la continuité. — Gomme, d’une part, la conti-
nuité résulte de la présence des deux semi-continuités et que, d’autre
part, les deux inégalités

/>'.«■'( J, J- X O

donnent

y, y') = O

et, par suite,

/(•''•, y') ^ y) -t- N(r, y)/,

les résultats du numéro précédent entraînent donc que

Une condition nécessaire pour que I[C] soit continue est qu’elle
ait la forme simple

(8) f I M(a;, /)-+-./ N(.r,/); ^/.r.

* Wt

On voit bien ici la nécessité de faire intervenir dans le calcul des
variations la semi-continuité et non pas la continuité : si l’on voulait
n’envisager que des intégrales possédant la continuité fonctionnelle,
on serait réduit au seul type très particulier (8).

La condition précédente reste nécessaire même si l’on se borne à
demander, pour toute courbe Co de C, la continuité de I[C) par
rapport aux seules courbes qui ont les mêmes extrémités que C„.

D’ailleurs la condition susdite est aussi suffisante pour la con-
tinuité de I[G].

Supposons en effet que I[G] ait la forme (8) et soit une courbe

< Jo : y = y^^ ■>' )> «O £ .r ^ ^»o

de la classe (3. Si

G: y= y{^ }■, no'^x<f>o

est une courbe quelconque de (2 ayant, sur l’axe des a?, la même pro-
jection orthogonale que Co, on aura

CALCUL FONCTIONNEL ET MÉTHODES NOUVELLES.

117

£ > O étant pris arbitrairement, il est possible de déterminer p > o
tel que, si C appartient proprement au voisinage (p) de Gu, la pre-
mière intégrale au second membre de ( 9 ) soit, en module, moindre
que £. Quant à la dernière intégrale, elle donne, par la formule de
Green

J' ^ (•<’, r ) tiy —J \ (.r, y) dy

C(,

= - / dx I y dy f N ( y 1 <ly — 1 \<ôo, y) dy î ,

qui peut aussi être rendu inférieur à e pour p assez petit. On a donc,
dans ces conditions.

|l[Gl-llColl

pour toutes les (i de C appartenant au voisinage (p) de Go et ayant
sur l’axe Oa?, la même projection orthogonale que G„. (ieci prouve
la continuité <le I[G] sur la courbe G,, relativement à la classe des
courbes (i ainsi définies.

La continuité de 1[G] sur (io> relativement à toute la (dasse C*
s’obtient enfin en substituant à G,, la courbe G„ (jui s’obtient en lui
ajoutant les segments rectilignes

y = y«( au ), a , '' .r <

et

I r,,( /ju ./• <6,

en opérant de mênn; pour toutes les et appliquant le résultat pré-
cédent ( ' ).

II. Condition suffisante pour la semi-continuité. — V intégrale
l[G|, si elle est quasi régulière positive, est semi-continue infé-
rieurement.

(') l*our les intégrales suus forine paramétrique

y, .r', y') ds, la forme

analogue à (S)

( 8') / ■> M ( r, .)') r -t- N ( x, j ds

est nécessaire, mais non suffisante pour la eontinuilé.
nécessaire et suffisante est donnée par la forme (8') av

dans tout A, ce qui revient à dire que est

tout A.

Dans ce <‘as la condition

, . dM dN

et: la conoition — “ -r*
Oy ôæ

dirterentielle exacte dans

n8

CHAPITRE V.

Pour exposer rapidement le principe de la démonstration, nous
supposerons que la courbe

Go:

sur laquelle il s’agit de prouver la semi-continuité, admette, pour
les dérivées etyl(x) finies et continues (').

Un artifice analogue à celui utilisé au numéro précédent nous per-
met de nous borner à considérer les seules courbes G de la classe (3
ayant, sur l’axe des a:, la même projection a„bo que Go- Posant tou-
jours

nous pouvons écrire

I [ G] — I [Go 1 = / /(a-, y ( ), y ( x ») ^/x -- / /(x, jo( ./• ), y » ( x i) rfx

^",0

= f (/{■r, r ( y( -r )) - /( .r, v{ X ), 7 ; ( X ))

-+-/(•'% )> /((Gr'))) dx

-I > , /o(x), y\(x))dx.

Mais le développement de Taylor

f{^, y, y, y»)

= (y' — y'o }/v'( X, y, y'o )-+-“(/ — y„ ’ ' ’( y, y ),

où fy.y. est toujours ^o, donne

/(•^, y, y}~f( y, y'o )l(y- y'o )/y'(-^, y, y' >,

d’où

(10) I[GJ-I[Go]

^ / l/(^,y,yo(^))->-(y(-J^>~yo(-^'))/r’(-^>y,yo(-^))*y^^

-f. > , yJ^), JoGr)) dx.

(*) On trouvera dans le traité de M. Tonelli ([101], vol. I, chap. XI) la démons-
tration générale, indépendante des hypothèses particulières admises ici.

CALCUL FONCTIONNEL ET MÉTHODES NOUVELLES.

Or, d’après le n“ iO, l’intégrale

' ( fl f'o (^)}— .y'o < ' {■*•, f, y» <^))-^y y , ( >) !

ffù

qui figure au second membre de l’inégalilé précédente, une fois
pour la courbe C ^c’est-à-dire en prenant == et une fois pour

la courbe (îo (y — .>'ü(-r)^, est continue. On pourra donc déterminer
un P de façon que, si (1 appartient proprement au voisinage (p) deCo,
le second membre de ( lo) soit en module moindre de e et, par suite,

La semi-continuité inférieure de I[ O | sur C„ est ainsi établie.

En particulier toutes les intégrales I| ('- ] régulières positives sont
semi-continues inférieurement .

Le simple <‘hangemen( de f{x, y. y') en - y,y') montre que

1 [C| est smni-conlinue supérieuremonl si elle est quasi régulière
négative.

12. Extension de la semi-continuité. — Supposons l’intégrale l
quasi régulière positive et considérons une fonction quelconque abso-
lument continue cp(x) définie dans un intervalle (a, b) avec a^‘^a~b'Sb^.
Nous adim'tirons que cette fonction n’appartient pas .à la classe (S de
sorte que la fom'tion ? (•^)) n’est pas intégrable, au sens de

Lebesgue. sur {a, h). R étant un nombre positif (juelconque, soit Er
l’ensemble des points de (a. b) sur lesquels \ 9 (-r) j <C R: la fonction
9 (.c). étant bornée sur Er est intégrable sur cet ensemble

<*t les hypothèsi's faites entraînent que

(iii lim I .r ). o't'.r )) f/.r = -(- X.

Il . « Jy ,;

Posons en efi'et

< • • /( -r, r, r' I = /( .r, y, y' 1 — - |/( .r, .r, o » -t-y'f '(x, y, ml;

la condition y, et le développement

f{ X, y ) = /( .r. r. O > y /} '< -r. O ) -+- M x, r, y' 1

120

CHAPITRE V.

entraînent f{x, y, y)^o. En outre cp(Æ?) étant absoluinenl continue
sur (a, b), cp'(a?) est intégrable dans cet intervalle au sens de Lebesgue
et par suite aussi

(i3) /{^x, o) -+- çi.r), o).

L’hjpothèse que /(^x, ^(x), n’est pas intégrable entraîne

alors que/f^x, cp(^). ne l’est pas non plus et, puisque /^o,

(i/i)

o'{.r)j dx

-t- »;

(i i) en résulte à cause de ( 12 ) et de l’intégrabilité de (i3).
La formule ()4) conduit à poser

et aussi

(là )

jT /(æ’, 9'('.r r/./’ = -H X

J /(x, o{x), 9 '(x)) dx = -t- ».

Or la démonstration générale du théorème du n" H sur la semi-
continuité des intégrales quasi régulières positives — démonstration
pour laquelle nous renvoyons au Fondamenti de Tonelli — prouve
également que, étant choisi arbitrairement un nombre K, on peut
toujours trouver un nombre p >- o de façon que toute courbe O de la
classe (3 appartenant proprement au voisinage (p) do =
a^x^b donne

l[C|>K.

Cette propriété, pour le cas où l’on a la formule (i5), donne une
extension de la semi-continuité inférieure. On peut l’énoncer en
disant que l’intégrale quasi régulière positive I[C] est scmi-continu(^
inférieurement même sur la courbe = ^{x)i pour bujuelle

elle prend la valeur infinie.

13. Existence du minimum. — Indiquons maintenant comment un
peut profiter de la semi-continuité inférieure pour établir l’existence
du minimum ('). Démontrons à cet efi'et le théorème suivant : (*)

(*) Des considérations analogues valent pour l’existence du maximum dans le cas
de la semi-continuité supérieure.

CALCUL FONCTIONNEL ET MÉTHODES NOUVELLES.

21

Soit I[G} une intégrale quasi régulière positive et admettons
qu'il existe trois nombres a > o, /a > o, v tels que

(•<>) y, y )Zv-\y'

pour tous les points {x, y) du champ A et pour tous les y' Jinis.
Alors dans la classe <3o de toutes les courbes de (3 qui joignent
deux points donnés P 3 = (a, />), Q == (6, q) de A, avec a < 6 ^ 6,,
il en existe une (fui réalise le minimum (absolu) de I[C].

(16) oiilraîiie, pour loute courbe C d»; (?„,

■ [ 1 = r /* y y y ) — a )

et la Ilmile inférieure i de I[C] sur (5» esl certainement finie ^supé-
rieure ou égale à v (b — a)^. Soit alors 'une suite de courbes de (?„
(suite minimisante)

telles que
' >7)

Ci. C,.

C„.

l|C«'i5 /■-+-

I

n

et désignons par r —y„(x). n ^ 6, l’équation de C;,. Nous aurons,
d’après (ib),

1 1 C„ 1 ^ ;a Ç ^ dx 'ii.h — a)

*^cï

et, par suite,

(18) f ! / -t- - -H 1 V I ( 6 — rt

f, \x \ n )

OÙ

Il = — a) [

ne dépend pas de n.

Le pas essentiel consiste maintenant à établir que la suite des^',i(x)
forme un ensemble de fonctions également continues et également
bornées. D’après le théorème de Ascoli-Arzelà (Chap. II, n" 8, 6), on
pourra alors en tirer une suite uniformément convergente qui a bien
des chances de réaliser le minimum cherché.

Or envisageons un groupe quelconque d’intervalles partiels de (o, b),
soit («,, bt), (a- 2 ^ 6a), .... («»., 6m). intervalles en nombre {fini et

122

CHAPITRE V.

non empiélanls. Formons la somme

yn{br)

y n( Clr ) I S

1 y'n I

et appliquons l’inégalité connue de Schwarz-Hôlder (’ ), il vient

m

1

m .

y \y'ii\*i-^

[ m br -11-+ a /

ZX (Z.''*'-"'-

g

I -+-a

d’où, d’après (iS),

(19)

'^^\yn{br)—y„{ar) 1 g 2 (6,. — a,-)

g

J -4- a

Si nous prenons r — i nous voyons que, pour tout Intervalle (a, , 6,)
contenu dans (a, b) et quelque soit n

\yn{bi') — yn{ax)\ < — rt,

1 a__

1 -f- g

ce qui prouve bien que les sont également continues dans («, b)\

yn{ci) étant toujours égale à p ces fonctions sont aussi également
bornées dans (a, 6). On peut donc appliquer le théorème, rappelé plus
haut, de Ascoli-Arzelà et extraire de la suite des jK/i(»<?) une suilej)^'„^(iF),
y„^{x), . . ., convergeant uniformémenl, dans tout (a, b), vers une
fonction continue y ,5 (a;).

Les dernières vérifications sont fort simples. On 'aura -évidemment
( 20 ) yja) = p, 7 «(*)=</,

et, d’après les (19) appliquées aux J'„,(a 7 ) et en passant à la limite

(>) C/. [101], vol. l,p. i65.

CALCUL FONCTIONNEL ET MÉTHODES NOUVELLES.

ri3

pour s — oo^

X

fn ^ m iH-a

^ (br—a,) ,

1 \ 1 T

inégalité qui prouve ({ue;>'^(.r) est absolument continue dans (a, b).
Si la courb(!

(■’••) y — y ^ a <x ^ fj

n’appartenait pas à la classe (5. d’après le résultat du n" 12 toutes les
courbes C de (5 appartenant proprement à un voisinage (p), assez
petit, de la courbe (ai) devraient donner à l’intégrale I une valeur
plus grande que f -f- 1 . En particulier on aurait

pour .V assez grand, ce qui serait contradictoire à ( 17 ). 11 est donc
certain que la courbe i), que nous désignerons par C«, appartient à
la classe C et donc aussi, d’après ( 20 ), à ( 2 „.

Util isons enfin la ^emi-conlinuilé inférieure de I [G], semi-continuité
<|ui est assurée par le théorème du iV’ 1 1 puisque, par h_ypothèse, notre
intégrale est (piasi régulière positive. 13c ( 17 ) suit

liin I [ (]„. I = i

s r »

et, par la semi-continuité inférieure de 1 [C]. on doit avoir

liiii

.V - «

d’où mais puisque / est la limite inférieure de l[C]dans la

classe (5„, il vient

La courbe donne bien le minimum absolu.

13’autres théorèmes d’existence, plus généraux, se trouvent dans le
Traité de L. Tonelli (vol. II). Ici nous obsei'verons que, dans la pro-
position démontrée, au lieu du minimum de 1[C] dans la classe (5„
de toutes les courbes de (3 qui unissent les points P et Q, on pourrait
considérer le minimum dans des classes bien plus générales.

En maintenant, par exemple, la condition que les courbes consi-
dérées appartiennent à C et ont toutes les points extrêmes P et Q, il

CHAPITRE V.

124

suffît d’ajouter une condition qui assure que <2* fait partie des courbes
pour lesquelles on cherche le minimum.

En particulier, on pourra remplacer C„ par (2, formé par toutes les
courbes de Co pour lesquelles la nouvelle intégrale

-4-^' N( .r,

prend une valeur constante.

14. Li’équation d’Euler. — Soit C„ : a<x^b une courbe

de (2 q qui rend minimum 1[G] dans (2,,. Nous avons démontré son
existence dans des conditions précises. Nous allons constater que
n'est pas seulement [absolument continue, mais jouit d’autres pro-
priétés notables. On a en efl'et le théorème suivant :

Si I[C] est régulière positive et si, dans toute région bornée du
champ A, il existe des constantes a, p, v, p» , v, , [avec « > o, p > o,
p, > O, de manière que, en tous les points de la région considérée
et pour y' quelconque, on ait

(22) I \fyix, y,

\ \fr(x, y, y')\<\i\y'y^-^'i,

la fonction y„{x) précédente a partout des dérivées y ^{x) et y'[,{x')
finies et continues et satisfait à V équation d'Euler

(.3, =

Observons d’abord que la première des ( 22 ) entraîne

(24) / lyo 1'""* — { I(Co) — vi(6 — a) j,

de sorte que la seconde et la troisième des ( 22 ) assurent que

/r(^, 7 o(a;), /oCar)) et fy'iy., y^{x ), y^(x^

sont intégrables sur (a, 6).

Notons aussi que si cp(x) est une fonction continue dans (a, 6) et si

CALCUL FONCTIONNEL ET MÉTHODES NOUVELLES.

125

le rapport des accroissements est borné ( ‘ ). de l’inégalité

iyü-+-?'r*^(iyo 1

résulte, à cause de (24), l’inlégrabilité sur (a. h) de 1 > + 9'!''*'“
donc, d’après la première des (22), celle de

/(a;, y(,(x)-h ç(x), y„(.r ) -4- s'(.t: )).

(jeci posé soit fo(a:) une fonction continue et ayant un rapport

incrémental ^ borné sur (a, 6), telle que oi{a) = a)(^>) — o et con-
sidérons

y,i x) =y^{x) -f- ^ ( 0 (a:),

OÙ t est un nombre réel quelconque*. A cause des remarques faites, il
est clair que la courbe correspondante C, appartient à C-^.

Nous avons

( 26 ) - ( 1 1 C, 1 — 1 1 Go I ) = / { (O fy ( a-, >'o ->r / 0(0, r',, -+- 1 0(o' }

a

■+■ 10'/, -( X, y'o-t- <6(0, y'„ -f- /Oto' ) j (/x.

Lorsque* t tend vers zéro, yV et fy, qui figurent sous le signe d’inte*-
gration, tendent presque partout vers /yix, Ko, y'é) el JKo, /o)

respectivement et comme, d'après (20), un a, lorsque | / | ^ i ,

!,)-o -I- /0(o' !' • »< •*,'-*-»( l *-;, I' • I eo'

l’intégrale*, sur (a, h), de + tOu) ; est, pour tous les t inférieurs à un
en module, e’igalcment absolument continue et telles sont aussi,
d’après (22), les intégrales de fy{x^ r,, + et

dey;.-(^,7o+ î5^ùj,y',+

13 ’après un théorème connu sur l’intégration des séries, dû à
Vitali (■•'), la limite de l’intégrale au second membre de (26) est,
alors, égale à l'intégrale de la limite de la fonction sous signe d’inté-
gration; (26) entraîne donc

/ ’>

I (o/,.r a-, .Ko. ) -I- w'y; -( .r, ) | dx.

(') 9 (x) est donc absolument continue; cf. note de la page iii.

(’) Cf. d’ailleurs [ 101], tome II, p. 91 .

CHAPITRE V.

ia 6

Puisque Co est une courbe qui donne le minimum de 1[C]. il vient

f \ ^0, y„ ) -+- 7». /(• > I

'^a '

d’où, par une intégration par partie,

J' f Ko, yo)|t/•^• = "•

Celte inégalité ayant lieu quelle que soit la fonction fji{x) du type
indiqué entraîne, d’après une remarque classique de P. du Bois
Reymond [21],

(-*7)

/ y y» m/x — .r , Ko, y„ ) = < ;

^ a

presque partout, sur (a, 6), C étant une constante.

De (27) nous tirons toutes les propriétés de indiquées dans

l’énoncé du théorème.

y'o(.r) étant absolument continue dans (a, b') y admet, presqiuî
partout, une dérivée finie. Indiquons par E l’ensemble de tous

les points de (a, 6) pour lesquels existe cette dérivée finie et pour
lesquels (27) est satisfaite. La mesure de E est égale à (6 - - «). Soit

alors X un point de (a, bi) n’appartenant pas à E et soit un point x de E
qui tend vers x^ il est clair que la limite dey‘,/(a;, ro(^) y 'o (^) existe
et est finie.

Comme I[C] est une Intégrale régulière, ce qui revient à dire
que fy<y\x. y, y') > o, la fonction fy{x^ y, y') est fonction croissante
de y' . Dans ces conditions l’existence de la limite de

pour X tendant vers x sur E entraîne l’existence de la limite corres-
pondante de y^{x') que nous désignerons par y* (a?) et entraîne de
plus que la limite de

fy{x, yo{x), est fy{x, yoix }, y* Cx )) si _k*(.ï ) est liiiie.

Mais, X étant un point de E, nous avons
f{x, yo(x), y'„(x )) = /(.r, y„( x), o') -+- (x)/yÇr, y„(x ), y' (x)),

CALCUL FONCTIONNEL ET MÉTHODES NOUVELLES.

oùy'^x) esi une valeur comprise eiiire oet et par suite, d’après

la première des (22),

Vo, ÿ') —f(x, ya, O)

^ î^t I y» l‘ ’ “ 'O — /( -r, Jo, O )

et aussi

<28) rl) .Ko, y,) 5 O)

parce que, du l'ait que .K« J'*) est fonction croissante de y'

résulte

'( y», y»' > JKo- y ).

l'^t l'équatiou (28) moulre «juc, pour æ --.r. la limite de/^,'(-^’,j^^o,
devant être finie, il en est de même de la limile y'{x) de

Si enfin nous posons y' {x) =y[^(x) pour tout x de E, le raison-
nement que nous avons fait montre que la fonction y (y est continue
dans tout (a, h) et, puisque

r,i( .r ) — Kdi ) -s- I y\,( .r ) </.r r=z yn{ a ) ■+■ f y'{x)(Lr,

il eu résulte que admet dans tout («, h) une dérivée première

égale à y* (a:), donc finie et continue. La (2“) est donc vérifiée
partout.

I.>e premier terme du premier membre de (27) admet une dérivée
• inie et continue; donc aussi le second terme et l’on a

/, .v'fl( r i. .Vol .r >) = .Col ). .v'„( .r ))

dans tout (r/, b). De cette équation on déduit enfin, par une observation
connue de Hilbert (')• quf-.K,, (•' ) existe elle aussi, finie (;t continue,
dans tout (a, b).

La proposition ainsi établie s’étend à toutes les intégrales régulières
positives, indépendamment de la condition (22) et sous la forme
suivante :

Si 1 [C] est rè^difière jwsitii e, la fonction y ^x) <}ui définit une
courbe C(, rendant Iffi) rnini/nuin dans la classe admet les

(') ('/■ [101 J, I. Il, p. n<i.

128 CHAPITRE V. — CALCUL FONCTIONNEL ET MÉTHODES NOUVELLES.

dérivées y'^{x) et finies et continues^ à V exception au plus

des points d'un ensemble E fermé et de mesure nulle, en tout
point duquel y ^{x) existe mais est infinie. L'équation d'Euler est
satisfaite sauf aux points de E, s'ils existent.

La courbe Go est ainsi composée d’un nombre fini ou d’une infinité
dénombrable d’arcs satisfaisant à l’équation d’Euler et ayant une
longueur totale égale à celle de la courbe elle même.

Il existe d’ailleurs des conditions plus générales que celles du
théorème établi qui assurent aussi que toute la courbe satisfait à
l’équation d’Euler.

IS. Extensions. — La théorie exposée ici très rapidement et seule-
ment dans ses premiers développements s’étend aux intégrales de
forme paramétrique, aux intégrales dans lesquelles la fonction sous

le signe j' dépend aussi de dérivées d’ordre supérieur au premiiîr,

enfin aux intégrales qui dépendent de courbes de l'espace à un
nombre quelconque de dimensions et aux intégrales multiples. Lllc
s’étend aussi aux problèmes de Lagrange et de Mayer.

Après la publication des Fondamenti de Tonelli, ont contribué à
cette étude, avec L. Tonelli, H. Hahn, M. Lavrentieff, N. Bogo-
liouboff, L. M. Graves, M. Nagumo. S. Cinquini, E. ;J. Mac Shane,
A. Del Chiaro, B. Manià et d’autres auteurs.

LIVRE II.

THKORIE

DKS

ÉQUATIONS INTÉGRALES

CHAFIÏHE Yl.

GÉNÉK.VLITÉS. ÉQUATIONS INTÉGHALKS DE VOLTEUKA.

1. - PRÉLIMINAIRE :

INVERSION D’UNE TRANSEOUMAÏlON FONCTIONNELLE.

l. Rappelons un résultat précédemment établi (^Chap. IN , n" 18) :
étant donnée une fonctionnelle

les valeurs de l'ai-jifument ) ( t) qui rendent F maximum ou minimum
doivent être cherchées parmi celles «pii rendent la diirérenlielle <5F
identiquement nulle quel que soit âj'.

Admettons que cette difTérenlielle ail la forme régulière

3F =

les fonctions y{t) chercht^es devront vérifier la condilion

VOLTKRRA

i3o

CHAPITRE VI.

qui exprime que la dérivée fonctionnelle de F est identiquement
nulle.

2. Nous allons montrer maintenant que des équations de ce type
peuvent être obtenues comme généralisation d’un système ordinaire
de n équations à n inconnues

>

/niy\i y* y n) = Zn

ou, plus brièvement,

(2') fi(yx, y-t, yn) = Zi (< = 1. 2. n'.

Il suffit, pour s’en rendre compte, d’appliquer le principe général
de passage du discontinu au continu (Chap. I, 11 “ 5). Des rela-
tions telles que ( 2 ) définissent une substitution des variables aux
variables zi. Si l’on remplace les indices par des paramètres continus x
ou t et la fonction J'-j, .... yn) par une fonctionnelle de/(ï)

dépendant également du paramètre x (qui remplace l’indice f), on
est amené à considérer la substitution fonctionnelle

(3) =

entre les fonctions y{x) et 2(^). Si la seconde de ces fonctions est
connue et la première inconnue, on a à faire l’inversion de la substi-
tution fonctionnelle (3), problème qui correspond, dans notre théorie,
à la résolution du système ( 2 ) de l’analyse ordinaire. Et il est bien
clair que les équations du type |( i ) rentrent comme cas particulier
dans la forme (3).

Pour aborder le problème ainsi posé (inversion d’une substitution
fonctionnelle), il est naturellement nécessaire de préciser la forme de
la fonctionnelle F.

Un cas particulier notable sera celui où

est une fonctionnelle régulière de degré m {cf. Chap. III, § II).

Ce cas correspond dans l’Algèbre ordinaire à un système ( 2 ) dans
lequel les /,• sont des polynômes de degré m.

GÉNÉRALITÉS. ÉQUATIONS INTÉGRALES DE VOLTERRA. l3l

Un cas plus particulier encore, mais fort intéressant (parce (jue
son étude est le préliminaire indispensable de l’étude des cas plus
compliqués) est celui ou F est fonctionnelle linéaire de y; il corres-
pond à un système ( 2 ) linéaire.

Et il faut encore fragmenter ce cas. Si la fonctionnelle linéaire F
est régulière et sans points exceptionnels, on pourra la mettre sous la
forme

/) KC/, .r ) (it,

OÙ K( x) est une fonction donnée et l’éqnation (3) s’écrira

(4)

Ç yi t t, X ) <lt = z{ r )\

elle sera dite équation intégrait; linéaire de première espèce.

Si la fonctionnelle a le point exceptionnel t — l’équation sera
du type

J' y{ t\K{ty X ) (It //(,( x)yix) = z(x)

(s’il y a continuité d’ordre zéro) on en général

r''

(G) / y(t) K(/, X) df a^,(x ) yix a ,(x \y ( X ) -y . . . = z[x)

• (I

(s’il y a continuité d’ordre n).

L’équation (5), où a^^^x) est supposé ne pas s’annuler, est dite
équation intégrale de seconde espèce, ou équation de Fredholm.
Si a^i^x^ s’annule dans l’intervalle de variation de x, il y a des diffi-
cultés particulières; M. E. Picard, qui a traité le premier des équa-
tions de ce genre, les désigne sous le nom d'équations de troisième
espèce.

Enfin l’équation (6), dans laquelle la fonction inconnue apparaît
à la fois sous le signe d’intégration et par ses dérivées, participe des
équations différentielles : on la nomme équation intégro-différen-
tielle; nous avons déjà rencontré (Chap. IV) des équations de ce type.
Leur étude systématique sera faite dans le second volume du présent
Ouvrage.

3. Supposons maintenant que la fonctionnelle linéaire F dépende

i32

CHAPITRE VI.

seulement des valeurs de jK(f) dans l’intervalle a^tSx avec aSx'^b.
Nous aurons des équations dites équations de Volterra {') <\\xi seront
de forme

( 4 ') f y{t)K{t, x)dt= z{x),

équation linéaire de première espèce ;

(5') Ç y{t)K{t, x) dt -i- aü{x)y{x) = z{x),

équation linéaire de seconde espèce.

4. Ces équations de Volterra, dans lesquelles la limite supérieure
d’intégration est variable avec le paramètre a-’, ne diffèrent pas ou
substance des précédentes (4) et (5) pour lesquelles la limite supé-
rieure d’intégration était fixe (et égale à b). Si nous admettons en
effet que la fonction connue K(^, peut être discontinue, avec des
discontinuités de première espèce, il suffit de prendre dans (4) ou (à)

K( ic) = O pour t'y>x

pour que ces équations se réduisent aux équations correspondantes
(40 ©*• (50 Volterra. H a pourtant dans les résultats concernant
les deux cas des limites fixes et des limites variables des différences
telles que nous devrons les traiter séparément.

Nous envisagerons, dans ce Chapitre et dans le suivant, les équa-
tions à limites variables.

II. - L’ÉQÜAÏION LINÉAIRE DE VOLTERRA
DE SECONDE ESPÈCE.

5. Changeant légèrement les notations, nous écrirons cette équa-
tion

( 7 ) <s{x)-i- f ^(t)Kit, x)dt=f[x).

do

La fonction K(f, x) est donnée et s’appelle le noyau de l’équation

(‘) Ce furent les premiers types traités d’équations intégrales. Cf, [123].

GÉNÉRALITÉS. ÉQUATIONS INTÉGRALES DE VOLTERRA. l33

iQt(^grale. Nous admettrons d’abord que ce noyau est (îni et continu
dans le domaine

O ^ < X* < f/,

a étant une quantité finie. Il est donc connu dans li» triangle limité
par Taxe des x. la bissectrice des axes .r — ^ et la parallèle x — a k
I axe des t i); nous désignerons par M le maxiiniiin du module

d(‘ K dans ce Iriangle. [-.e second membre f(x) (‘st une fonction éga-
lement connue, finie (‘I continue pour

o(,r ) est l’iuconnuo.

Il bien clair que l’cquatiou prcccdonle ( 5 ') se ramène à la
l'oriiK» (-), avec un noyau qui reste (lui cl coiUiuu pourvu que rt„(a:)
ne s’annule pas dans l’intervalle de variation de x; le cas où ao('^)
s'annulerait sera envisagé ullèrieuremcmt.

6. Le problème à n inconnues correspondant. - Pour résoudre
l'équation (7), M. Volterra s’appuie sur le principe général de passage
du discontinu au continu et env isage cette équation comme cas limite
d’un svstcme de n équations à n inconnues. Nous suivrons ici son
analyse ( ' ) :

Divisons l’intervalle (o, a) en n intervalles partiels //,, /t.j, .... /i„
et soient . . ., x,,- des valeurs de x respectivement Intérieures à

ces intervalles. Le système linéaire correspondant à (7) est évidem-

(') C/. VOLTEHIIA, |1231, [113] et aussi [1121-[lli] de la Ribliograpliie 1.

i34

meni

CHAPITRE VI.

<p(a:2)-+- tp(a:i)K(a;,,a;i)A, z=f{Xî),

?

Ÿ(aîn) -+- ?(iri)K(a;,, a;,,) Al -h . . 9 (a;„_i)K(a;„_i, J7„) /t„_i =/(a;„ ),

d’où, en posant

<f{Xi) = <fi, f{Xi)=fi,

K{Xr,Xi)hr = Ar,i

le système

?i =/i,

?î ”t~ ?i a.), 2 = y»,

>

9/1 “H 9 i ,W 92 9//~l 1 ,/t — /n^

qui peut encore s’écrire

/-I

(8) 9,-+.^ 0;.A,,f = /i (t = I,

1

La solution de (8) par rapport aux inconnues <pt <!Sl obtenue par la
règle de Cramer. Le déterminant du système est

I O O O O

A 1,2 I O O O

Al, 3 Aï,;, I O O

A,,;, Aï,/( A3,/| . ... A,| — ,,;j 1

et l’on a donc, pour l’inconnue cpy,

t O ().../,

Ai.ï I O ... fi

Al, y Aï, y . •••fi

expression linéaire par rapport aux dont les coefficients
s’expriment à l’aide des Ar,/, il vient

A,,.,^-i I O

Aj,Sh-î Aj_,-1,.<,-ï I

(lo) Gï,, = (—

A., .1-1 A., +1,1—1
A$.i A.,+1,1

i 35

GÉNÉRALITÉS. ÉQUATIONS INTÉGRALES DE VOLTERRA.

polynôme de degré i — s par rapport aux coefficients A;.,». Nous
décomposerons ce poIynomc en une somme de polynômes homogènes
de degrés respectifs 1,2, . . . , e — s

(10') . .+ Aj/j ■**.

et il reste à préciser l’expression des divers termes homogènes
Or, en développant par rapport à sa dernière ligne le déterminant (10),
nous obtenons

f — 1

.<-+-1

que nous écrirons encore

fl O A.«,i

i-\

<n.

En remplaçant, dans (i i), Gj,, et Gj,r pur les valeurs tirées de (10')
et en identifiant les termes des divers degrés, on a enfin

( ri )

Ax.V = -Ax,(,

<-i

a‘;v=2

Ai^;=y al:*.-

a

1 1 >

t\l »

'A

( I '

»

Le système d’équations (8) est donc résolu par les formules (9) où
les coefficients Ggj sont donnés, en fonction des \r,i par (10’) et (12).

7. Passage à l’équation intégrale (7). Imaginons maintenant
que le nombre des intervalles partiels /ii, /i.>. . . .Jin augmente indé-
finiment, chacun d’eux tendant vers zéro. Los indices t, r, s sont
remplacés par des variables continues, les sommes précédentes par
des intégrales et l’on peut tlonc prévoir, d'après les calculs du n" 6,

(‘) (il) s’obtient aussi en portant, dans les équations (8), les expressions (o) des
inconnues.

i36

CHAPITRE VI.

que ( 7 ) sera résolu par la formule

(i3) ç(a;')=/(.-r)-4- r f{t)S(t,a:)dt,

le noyau S qui est dit noyau résolvant ou réciproque de ( 7 ) étant
donné par la série

00

S(^ :r)=y JC)

(l4)

avec

(i.'i»

K(»(/, x)=-K{t, X),

KW{t,x)=J‘^ î)Ki')(ï, ^c)d;,

8 . Vérification. — 11 reste à vérilier la solution précédente et à
constater qu’elle est unique. C’est ce que nous ferons en montrant
que toute la théorie s(; résume dans la démonstration des trois prin-
cipes fondamentaux suivants :

I. Principe de convergence. — Pour l’obtenir nous rechercherons
d’abord des limites supérieures des fonctions x') définies par

les formules (i5) et qui sont dites noyaux itérés de K(<. x).

Puisque dans le triangle

K(f, x) est continu et borné par M en module, on aura

x)\^f =m{x—t\

i

\Kr‘)(/, x)\$ f M.M 2 (e_<)rft = ivj:) ,

J, 2 .

( £ / i/t -î l P / \k—\

I K(*)(/, x)\< 1 * V ^ = M* -1; — -L—

WHx — t)'‘-

(A-«)!

, = M e»*»-'-'»

La série
M

— IVl3(a; — <)-

GÉNÉRALITÉS. ÉQUATIONS INTÉGRALES DE VOLTERRA. 187

étant absolument et uniformément convergente, il en est de même de
la série (i4) des noyaux itérés et la somme de cette série (i4)
représente, dans le champ considéré, une fonction finie et con-
tinue S(/, x) {noyau résolvant).

“II. Principe de réciprocité. — Notons d’abord (jue le noyau
itéré peut s’écrire aussi

(i()t .r)=z f K'/)(7,

J étant l’im quelconque des nombres 1.2,. .\ . (A — 1).

En effet (16) est évidente pour h~2 et l’ou peut donc, pour
l’établir, la supposer vérifiée par le noyau
11 vient alors

K'*)»'/, Xj-: f K'"- >>u,

•J t

f. ^

K">(ï, .rx/' f K'iU I. 'H'n, dr^

t « O

-C T, ) //t, r T„ ïj K"H;, ./■ (')

• f r,

j K'/^ t, Tj ) X )

c’ost-à-clire précisément

En particulier les formules (i 5 ) peuvent être remplacées par les
suivantes :

(iV l .r ) f/;.

Or si Ton ajoute membre à membre les(i 5 ) et que Ton tienne compte
(le (1 4 )? on a

S( ^ .r ) = Kl

Si/, x)d\

(‘) Kii employant, pour échanger l’ordre des signes d’intégration, la formule bien
connue de Dirichlet

f\ll pdr^Vil.T,)- r\ln

qui sera utilisée plusieurs fois dans la suite.

l38 CHAPITRE VI.

et les ( 1 5 ') donnent de même

S{t, x)=—K(t, x)—J'^ K(^, Ç)S(Ç,

Ces deux formules, que nous écrirons

(17) Kii, x)-+-S{t, x)=—J^ S(f, Ç)K(Ç,

= OS(,S.r)rfÇ,

se déduisent l’une de l’autre en échangeant le rôle de K et S. Elles
expriment la réciprocité entre le noyau K de V équation {'j) et le
noyau résolvant S correspondant.

Comme corollaire on pourra calculer K à partir de S par des
expressions en tout semblables à (i4) et (i 5 )

«

= 5 j

^Êâfi

1

avec

S(n(/, ^)=:— S(/, x),

S(*)(/, x]= f S'/)(/, Ç)S(/'-/)(î, x)<r:„

III. Principe d' inversion. — Les précédentes (17) donnent
V inversion de la relation intégrale

(7) t)^i t, x) (ft =/(x)

et établissent V unicité de sa solution qui est donnée par

(18)

?(^) =/i^) r x\dl.

Soit, en effet, une fonction qui vérifie (7); multiplions cette équa-
tion, où a; a été remplacé par?, par S(^, x) et intégrons par rapport
à ^ entre les limites zéro et x. Il vient

Ç 9(5) S(5, a:) -+- / d^S{^,x)f <f(t)K{t, ^ult

= f /(5)S(5,

n

GÉNÉRALITÉS. ÉQUATIONS INTÉGRALES DE VOLTERRA. iSg

d’où, en permutant l’ordre des intégrations du second terme et en y
échangeant ^ et t

jr‘ï<E)rfsjs<5,»)+jr’K(s, /(Ç)S(Ç,

ou, d’après Tune des (17),

-f ?(Ç)K(Ç, .r)rfç= r /(Ç)S(Ç, .r)dç

* 0 «^0

et enfin, d’après (7),

<?(x)=/{x)^

Si donc l éi^uation (7) ® une solution, cette solution est nécessaire-
ment unique et donnée par (18). Mais un calcul de tout point ana-
logue, fait en parlant de (18) que l’on multiplie par K(^, a;) après y
avoir remplacé x par amène à l’équation ( 7) et vérifie donc la solu-
tion (18). Ce calcul est d ailleurs superflu, vu la réciprocité entre S
et K.

9. Récapitulation des trois principes. — l. La série ( i4) des noyaux
itères est convergente et définit le noyau résolvant S(«, x).

II. On a la formule (17)

(«71 K(t, x)-i~S(t, f S(^ 5)K(Ç,

- f K('<, Ç) S(Ç, X)

III. La solution unique de

(7) f ^(t)K{t,x)ftt~f{x)

est donnée par la formule

Les résultats prévus au n" 7 sont ainsi entièrement justifiés.

La méthode précédente et les trois principes se retrouveront pour
les équations à limites fixes avec la seule différence que, le déier-

CHAPITRE VI.

140

minant du système linéaire aux inconnues <p,: u’étant plus égal à
Tunité, l'expression du noyau résolvant est moins simple.

Dans les deux cas c’est le principe général de passage du dis-
continu au continu qui sert de guide pour la résolution.

10. Ajoutons une remarque concernant les deux noyaux K(^, x)
et S(^, x).

Nous pouvons considérer S(^, x) comme une fonctionnelle dépen-
dant de toutes les valeurs qui prend dans le domaine

et écrire

S(5, = FfK(r, x')\

; < ^ .r' < .r

avec, d’après ce qui précède,

00

1

La même opération fonctionnelle, qui fait passer de K à S, fera passer
également de S à K; on aura

oc

K(|, ir)=y .-rj = F[S(Ï', ,r')!.

1 ‘ 5<''<.t'<.T

Cette opération fonctionnelle, appliqué une fois à K., donne le
noyau résolvant S; appliquée deux fois à K, elle reproduit K lui-
même

F[F[K||^K.

11. Méthode des approximations successives. — L’équation (t)
peut également être traitée par la méthode des approximations
successives ('). Écrivons-la

J /-*

(I

nous en lirons

ç(x)=/(x)-~ f /ri)K(^, f K(Ç, /"ç(Ti)K(n,

(') Cf . Le Roux, [62]; Picard, [77]; Bôchbr, [8]; Lalesûo [53].

GÉNÉRALITÉS. ÉQUATIONS INTÉGRALES DE VOLTERRA.

» 4 l

puis

/(C)K(Ç, r K(^^,x)d^f /(r^) K{ r^, d-r^

^ */o «/o

-f m, x)d^ f'Kir^,^i)dr^ f ?(OK(;, ïi)rf;,

^0 «A

«l ainsi de suite, en remplaçant chaque fois sous le signe d’intégra-
tion (p par le second membre de (7 )• Après i substitutions et en
échangeant convenablement l’ordre des signes d’intégration, il vient

<f(x)=/{x)-i- f x)-h .f ) -H . . . -H Kt')( /, .r ) J dl

•'0 ^

- 4 - r oi t ) X ) fft

^ fl

et, faisant tendre i vers l’infini, nous retrouvons la solution sous la
forme (18).

On peut aussi introduire dans l’équation un paramètre en l’écri-
vant

(7") o(x)=f{x) — \f z(t)Kn,x\dt

' U

et chercher la solution développée suivant les puissances de >. Ou
obtient immédiatement

< ' ? ( .r ) = /( a- ) -t- À / /i f ) S ( f, ./• : À I dt

avec le noyau résolvant

»

S(/, .r; 1, z=y^ \fi-i f, x 1

^/i

I

qui, d’après le principe de convergence, est évidemment une fonction
entière de X, de sorte que la solution donnée sera valable quel que
soit X.

Ajoutons enfin que l’on peut établir directement l’unicité de la
solution. Si (7”) par exemple avait deux solutions, leur différence
u(.r) vérifierait l’équation homogène

M( .r) -H X r «( /) K( f, X ) dt = O,

d’où, par application du procédé d’approximations successives, on

l42

tire

CHAPITRE VI.

U(X}=1‘ r uit)K^i)(t, X) dt.

^ Tk

Admettant que j u(j:) | est borné par le nombre N, nous aurons

M'Na.-'

qui tend vers zéro quand i tend vers l’infini; u{x) est donc identi-
quement nulle.

12 . La notion de composition. Forme intuitive de la solution
précédente. — Les relations (i 5 ) qui définissent les nojaux itérés
mettent en évidence l’opération fonctionnelle

x \

Ç)M(Ç, x)d^i,

qui, à partir des doux noyaux L et M, en donne un troisième

M. Volterra, qui a nommé cette opération composition, a remarqué
qu’elle obéit à des règles de calcul très analogues à celles qui régis-
sent le produit de nombres ordinaires.

Nous examinerons ultérieurement ( ' ) les nombreuses applications
de cette notion de composition. IVlais dès maintenant nous donnerons
les propriétés les plus simples et nous montrerons comment la nota-
tion de l’opération (19) comme un produit symbolique permet de
présenter sous la forme intuitive la résolution de l’équation (7).

Pour ne pas alourdir inutilement l’exposé, nous restons dans le
champ des fonctions finies et continues.

Remplaçant respectivement par x cA y les variables t ei x précé-
dentes nous définirons par

( 20 ) k{x,y)^ r/(^, î)fAÎ,y)d^

^ X

la composition à limites variables, ou composition de première
espèce des deux fonctions / et^. Nous écrirons en abrégé

(') Livre IV, second volume du présent Ouvrage. Cf. aussi VoLTEnnA, [113] de la
bibliographie I, Chap. IX, et Voi.terra et Pérès, [133].

GÉNÉRALITÉS. ÉQUATIONS INTÉGRALES DE VOLTERRA.

143

OU simplement

Il est clair que, si / et ^ sont définies dans un triangle tel que celui
que représente la figure, qui a pour sommet un point quelconque A
du plan (^x = a, y = b) et dont les côtés sont les parallèles aux axes

y

Fig 5.

et la droite y — x, leur produit de composition sera défini dans le
même triangle. D’autre part ce produit est évidemment distributif

/( a ' ■+■ h)
et

{ /i)/= a/ -H bf \

il est de même associatifs c'est-à-dire que l’on a

'Âëb)^{fg)h,

ce qui s’écrit encore

j /(-r, y)dr^

}.ri

b{i\, r)df\J 5)^(5,

formule évidente en appliquant, une fois encore, la règle d’échange
des signes d’intégration.

Le produit de composition n’est pas en général commutatif

* ¥ ¥ *
fë 5^ ëf

<44

Lorsque l’on a

CHAPITRE VI.

* ¥ * *

U = (if

les fonctions f g sont dites permutables et leur produit de compo-
sition est permutable avec chacune d’elles : on a en elTel

(A)7=/(;^)-/(/é-:

Dès lors, si l’on se limite à un groupe de fonctions permutables entre

elles, le produit de composition f g obéit aux mêmes règles de calcul
formelles que le produit algébrique ( ' ).

Si les fonctions envisagées ne sont pas permutables, lu notation de
la composition comme un produit symbolique reste avantageuse, il
faut seulement ne pas changer l’ordre des facteurs.

13. Ajoutons quelques remarques simples qui permettent de
déduire d’une fonction/( y) tout un groupe de fonctions permu-
tables, On pourra d’abord composer f un nombre quelconque de fois
avec elle-même et l’on aura ainsi les puissances entières de compo-
sition

f f-, ■■■■

qui sont toutes permutables avec J {cf. n" 8, II). Sera de même per-
mutable avec y tout polynôme à coefficients constants des puissances
de composition de / et aussi toute série

* é

a i/-(- ao/i -4- . . . -t- « „/" -r- . . .

des puissauces de composition de f, sous réserve de sa convergenci?
uniforme. Ajoutons que, pour étudier cette convergence, on tirera
parti des inégalités suivantes : on a

*

f

n ^ ]VI«

ly — ,r
( /I — I j î-

(*) Il s’agit bien entendu, des seules règles de calcul spécifiées plus haut et de
celles qui en résultent. Si l’on envisage, d’autre part, la propriété d’après laquelle
un produit de facteurs n’est nul qu’avec l’un de ces facteurs, cette propriété pourra
s étendre a la composition, sous des conditions assez peu restrictives pour les noyaux
envisagées, en se plaçant, bien entendu, dans le cas où le produit de composition
est Identiquement nul par rapport à x et y.

i45

GÉNÉRALITÉS. ÉQUATIONS INTÉGRALES DE VOLTERRA.

•s/, dans le domaine de définition de f, on a

!/!<;'!;

ces in^'galilés s’établissent en reprenant le raisonnement qui nous a
conduit plus haut au principe de convergence. Toutes les fonctions
ainsi obtenues (puissances, polynômes, séries de composition) sont
permutables entre elles.

A

Nous aurons enfin besoin du symbole puissance nulle de com-
position, défini par la règle do calcul suivante :

/"A-- ■-= a/'’^ Kl,

(|uelle que soit la fonction ", permutable ou non avec /(-r, y’). Ce
symbole, qui joue le rôle d'unité, est donc permutable avec toute
fonction y). De plus son eirel est indépendant de f do sorte que
nous pouvons poser, (pielle que soit la fonction ^

/« =

Comme la fonction égale à Tunité et ses diverses puissances de
composition

» y — ./• • ( )' — X y- * {y — .r )'* '

il ‘2 ! { n — n !

jouent un rôle assez important par la suite, nous utiliserons ordinai-

* ¥

remenlpour l unitc f le symbole i".

11 est clair que l'on pourra composer de même des fonctions
symboliques de forme

«

où a est une constante qui multiplie i” et où f est dite partie régu-
lière de F. Si les parties régulières sont permutables^ il en est de
même des fonctions symboliques correspondantes : dans tout autr»?
cas il faudra distinguer l'ordre de composition de deux fonctions
symboliques.

14. Considérons alors les deux équations intégrales que nous

VOLTBRRA

10

t46 CHAPITRE VI.

dirons associées ou adjointes

(>l) (îo_/)ç = /t,

(22) 9(Îo_/) = A,

qui s’écrivent encore

(2i) /(^. Ç)9(Ç, =

Dans l’une ou l’autre équation f{x, y) (noyau) et A(a?, y) (second
membre) sonl donnés , permutables ou non, et l’inconnue est 9(37, /).
Leur résolution revient à définir

(i“ — /) ’•

Or l’identité algébrique

— J) = l

conduit, en remplaçant z par / et les produits de z par des composi-
tions de /, à l’identité

(23) (i"— i-) (l*» — /) = I»

avec

(24) -- A' =/-+-/- -+-/•'

Il n’y a aucune difficulté de convergence, la série (24) étant majorée
par

M -h M'-

. \y — x\

M»

Ir — ^1*

2 !

D’ailleurs,/ et^ étant permutables, on a également (fin du n" 13)

(»* — /) («®— <?) = I*r

de sorte que l’on peut poser

(-3')

cette définition étant valable quel que soit l’ordre des facteurs de
composition.

GÉNÉRALITÉS. ÉQUATIONS INTÉGRALES DE VOLTERRA.

147

Dès lors toute solution de (21 ) vérifie aussi

d’où

9 = (i« —

et la valeur ainsi obtenue pour 9 est bien 'solution de (21) parce que

(«“—/) (î*— = h.

On fera un calcul analogue pour (22) et l’on a, en résumé, le
résultat suivant : les deux équations associées

( >.i) (io_/)9 = /j,

(22) 9(îo_/) = /i,

sont respectivement résolues par
( 21, ) 9 = (|0_ ^r)h,

(22î) 9 =A(iO—

le noyau résolvant g étant le même, a^^ant la valeur

(24) -A' =/+/-+/•■* + .,.•

<;l vérifiant les égalités ( 23 ) et ( 23 ') qui peuvent s’écrire

( 25 ) g = h J.*-

Le lecteur a déjà constaté que les équations qui viennent d’être
traitées, (21) et (22), sont du type (7) et que la solution qui vient
d’en être donnée est identique à celle du n” 8, les identités ( 25 )
revenant, avec des différences de notations insignifiantes, aux précé-
dentes (17), de sorte qu’elles expriment /e principe de réciprocité (').

La variable x de l’équalion (7) correspond à y de l’équation (22),
mais (22) contient de plus un paramètre x, limite inférieure d’inté-
gration. Dans (21) la variable est x et le paramétre Si dans (21)
ou (22) on prend respectivement le paramètre constant, nul par

( * ) Les noyaux K et S du n® 8 s’appellent maintenant — / et — ^ de sorte que ( 17)^

★ -R * *

laquelle peut s’écrire K h- S = — SK= — KS^ donne bien ( 26 ).

l48 CHAPITRE VI.

exemple, on a des équations de forme

o{x)—f /(jf, Ç)o(ï)rfÇ = /i(a;),

9 ( 7 )—/ 9(5)/(?,

•'0

résolues respectivement par

o{y) = h{y)— f h{%) gi’ê,, y) d^,

♦^0

exactement comparables à la précédente ( 7) résolue par (18).

15. Cas où le noyau n’est fonction que de la différence y — x.

Il arrive quelquefois que le noyau r) d’une équation intégrale

de l’un des types précédents (p. 1) ou (22) n’est fonction que de la
difTércnce y -- x.

C’est un cas qui se présente en particulier dans la mécanique héré-
ditaire du cycle fermé ( ').

Il est aisé de vérifier que le noyau résolvant g est alors de la même
forme et peut s'écrire g {y — x).

Puisque g est formé à partir des puissances de compositions de
il suffit pour s’en assurer de vérifier que, étant données deux fonc-
tions {y — x) et ffy — x)^ leur produit de composition ne dépend
lui aussi que dejK — x. Or

-* A

Ai'^)My — X — -)d-.,

ce qui établit la proposition.

Incidemment notons que, en posant y — x = t^ la seconde inté-
grale de la formule précédente s’écrit

f'/d')A(t--)d-

^'0

(M VoLTERRA, [i3ol, P' ^2 et i5o. Cf. aussi [iiS] de la bibliographie I,

Chap. VIL Nous reviendrons sur ce sujet dans le troisième volume du présent
Ouvrage.

GÉNÉRALITÉS. ÉQUATIONS INTÉGRALES DE VOLTERRA.
qui, par un changement de variable évident, s’écrit aussi

i49

f ) ti'

A ★

et est donc égal à f^Jf

Nous obtenons donc le résultat : toutes les fonctions de la seule
différence y — x sont permutables entre elles. Nous verrons ulté-
rieurement qu’elles forment un groupe de fonctions permutables
donnant toutes jles fonctions permutables avec l’une d’entre elles,
groupe que M. Volterra désigne sous le nom de groupe du cycle
fermé.

K). Plaçons-nous dans le cas où le noyau f{y x) est une fonction
de la différence ( y — x), développable en série entière

( '>0 )

f(r

= A (I -I- A 1

(.K — ./■

A„

( V — .r )"

convergente lorsque y — x est assez petit ; on peut alors donner des
développements analogues des diverses puissances de composition
<le f et du noyau résolvant g.

Pour obtenir rapidement ces développements, il suffit de remar-
quer que. d’après les valeurs (n” 13) des puissances de composition
de l’unité, on peut écrire ( 26 )

fy — j-)— \o 1 -+- A, 1- A,, 1"' ' -r-

D’après les remarques du n" 13, les puissances de composition de y se
calculeront à partir des puissances de la série

I 27 ) A(^ 3 ) — A„ Z -H A I 3 “ -H . . . -+- A/l 3 ^'

que l’on ordonnera par rapport à 5 et où l’on remplacera z>' par

{y~jc)P-'

(/> — II!

Pour la fonction g, nous noterons qu’elle est donnée par

l 5 o CHAPITRE VI.

on aura donc à développer suivant les puissances de z le quotient

A(^)

I

Soit

(28)

I —

Bc2 •+• Bi Z--I-. . .-H B, J 3"+' H-, .

la série obtenue, il viendra

A’' — Bo -(* B 1 B n

(y — X )«

n '

Il convient de noter que la convergence de la série (26), qui a
été admise a priori, n’entraîne pas nécessairement celle de la
série A.{z). Si cette dernière série a un rayon de convergence nul, le
calcul des puissances de A(5) ou le calcul de — -j — pure-
ment formels. Mais les séries obtenues deviennent convergentes
quand on y remplace par ' • et elles donnent toujours les
puissances de composition de f et le noyau résolvant g.

17 . La méthode du numéro précédent peut être commode pour le
calcul effectif d’un noyau résolvant.

Dans le même but nous ^signalerons une méthode due à Evans ( ' )
et concernant le cas où le noyau f{x, r) vérifie une équation diffé-
rentielle, par exemple

(29)

O.

En différentiant l’équation que vérifie le noyau résolvant

y)-^ f{(x, i)/(^,y)^l

i fois par rapport à y, il vient

àif

(>) Cf. Evans, [ 26 ].

GÉNÉRALITÉS. ÉQUATIONS INTÉGRALES DE VOLTERRA. l5l

Mullipliant celle équalion par cii{y) el faisanl la somme par
rapporl à l’indice le lerme inlôgral disparail à cause de (29) el il
resle une équalion différenlielle en g{x, y) qui délermine parfai-
lemenl^(Æ?, y) en lenanlcomple des condilions iniliales, pour y —
lesquelles se déduisenl des équalions ( 3 o).

Celle mélhode de Evans esl parliculièremenl commode dans le cas
du cycle fermé. Si, par exemple,

alors on a

fi X, y) = — si»(^K — X I.

±f

ày"-

el le noyau résolvant esl, comme on s’en rendra comple aisémenl,

, I . ,

X, K ) — - J- siii V ■-< ( >' — -r ».

\ <

ïiO cas du cycle fermé a aussi élé étudié par Whittaker ( ' ).

Tedone a enfin envisagé le problème ('*) de déterminer les noyaux
f{x, y) dont les résolvants peuvent être calculés au moyen d’opéra-
lions élémentaires et d’opération de dilTérentialion el d’inlégralion.

18 . Cas des intégrales multiples. — Des considérations tout à fait
analogues s’appliqueront à une équalion du type suivant (•*)

rii") 9(ji,rî .)'•« I

^ y’n

— I ... I d-n 0( )/< îl, .rn )

•^0 «-^0

= hiy\, y-i, .... y,, »-

La fonction inconnue 9 dépend maintenant de n variables el l’inté-
grale simple qui figurait dans (7) esl remplacée par une intégrale
multiple à limites variables.

En reprenant le mode de calcul du n" 8 on établira, pour ( 3 i) trois
principes de convergence^ de réciprocité, d’inversion qui en
résument la théorie. On pourra d’ailleurs introduire une nouvelle

(') G/ Whittakkr, [135] et aussi Voltkhra et Pérès, [133] p. 112.
(’) Cf. Tedone, [108]; Volterra.[1>1 I.

(’) VOLTKRHA, 1125].

02

CHAPITRE VI.

notion de composition^ définie par

^5 ••• / dlnf{-C\, JCi- ■■■, x»\’i ?« i/i. •••, J'« <

et en faire le même emploi que plus haut.

ni. - ÉQUATION DE VOLTERHA DE PREMIÈRE ESPÈCE.

19. Nous la prendrons sous la forme

(32) f ®(?) K(Ç, 7)^5 =/(j I,

l’inconnue étant cp()K). Ea fonction f{y) est donnée dans l’intervalle

intervalle dans lequel on cherche également cp. Le noyau K(j?, jt )
est donné pour

O < j:;

Nous nous limitons d’abord aux fonctions bornées et continues, mais
nous aurons de plus à introduire l’hypothèse de l’existence de certaines
dérivées.

Le système d’équations linéaires correspondant à (32) s’obtient,
comme au n'’ 6, en subdivisant l’intervalle (o, <?) eu intervalles par-
tiels A|, h-i, . . . h,i et, en reprenant les notations du n” 0, il s’écrit

?i A,, =/i,

?! A I , î -t- ç-> Ai, .J = J 11

J

\ Ç l A ; ^ -ï- y 2 Ai, // -f- ... O fl \ 11^ rt — ,/*«•

Il est possible de le traiter comme h^ système correspondant à l’équa-
tion de seconde espèce, mais son déterminant est

A|i Aii ... A/l/,

de sorte que nous sommes amenés à faire d’abord, sur le noyau K,
l’hypothèse K(y', j^)^o. Dans cette hypothèse on peut procéder,
comme au paragraphe précédent.

i53

GÉNÉRALITÉS. ÉQUATIONS INTÉGRALES DE VOLTERRA.

20. Le cas simple où K(^, y) ne s’annule pas. — On peut alors,
sous des restrictions de dérivabilité, passer de la solution du svslèine
algébrique à celle de l’équation intégrale ( ' ).

Transformons en ell’et le système (Sa) en retranchant de chaque
équation la précédente ; la équation du système s’écrit

?i ( A|,/ — ) -t- Ÿ 2 ( Aa,! — Aîj_, ) -t- . . . - 1 - 9 / A,- ,• =y; — fis,

or, les dilTéronces (A,.,,- - A,,,-. ,) et font intervenir à la

limite les dérivées K^(.e, y) et f'y(y) et, en divisant l’équation
précédente par A,-,,- (.r; — ), il apparaît que l’on pourra transfor-

mer le système (Sa/) en le système analogue concernant l’équation de
seconde espèce

K( y )
K(y. yi ''

fr^.y >
K( r, )• »

(iOlto dernière équation doit pouvoir remplacer la proposéi*.

Il est facile de le vérifier directement ( -)'. Admettons que, dans le
domaine considéré, hïs dérivées K'y(Æ:. y) et f\{y) existent et soient
bornées et continues, l/équation entraîne nécessairement

/(O) = O

et, cette condition étant remplie, elle est équivalente à celle que l’on
en déduit par dérivation par rapport à y, à savoir

(33)

ou encore

(33/

K(

y } i/;

/;

t) K(

y )

o{ y ) ■

r\iv

t)y

kty, y I

■/’>' t .y > .
K(y, )■ I ’

c’est là une équation de seconde espèce.

Si K.(y,y) ne s’annule pas dans le domaine do variation de y,
cette équation a son noyau et son second membre bornés et continus

( C’est ce qu’a fait M. Volterra dans ses premières recherches sur la question,
[ 123] Note I, obtenant ainsi les formules d’inversion données plus bas et vérifiant
directement, apres avoir étudié la convergence des séries qui y interviennent, l’exis-
tence et l’unicité de la solution.

(*) VoLTKRRA [ 124 1.

CHAPITRE VI.

et les méthodes du paragraphe II en donnent la solution. Posant,
pour abréger,

â K(x, y)

HU,^)= ,

V.(y,y)

^(r,y)

puis

S(a:, ^ ) = — ( H -f- H* H" -4- . . . ),

on aura

o{y) — h{y)—f A(Ti)S(-fi, 7)rf-ri,

formule donnant la solution, unique, de (Sa).

Au lieu de dériver (Sa), on peut aussi y prendre pour inconnue

^(y) = f ®

n

U )<1t

et l’écrire, après une intégration par parties.

K ( 7 , y ) 0 ( j) - r' 0 ( Ç ) K 5 ( Ç, y ) f/ç = /(y ),

J, K(7,7) ' K(7.7)'

tout à fait analogue à (SS'); on en tirera Q{y), puis, par dérivation,
on obtiendra la fonction cp( 7 ).

21. Nous reviendrons ultérieurement (Chap. VII, § II) sur le cas
où K (y, y) à des zéros isolés. Plaçons-nous dans l’hypothèse que
K(y, y) est identiquement nul. L’analyse précédente est alors en
défaut, l’équation (SS) se réduisant à

qui est du même type que (Sa). Mais on pourra recommencer sur elle
le raisonnement qui nous avait permis de passer de (Sa) à (SS); il est
bien clair que l’on sera amené ainsi, sous des conditions assez larges,
à la solution de l’équation proposée.

GÉNÉRALITÉS. ÉQUATIONS INTÉGRALES DE VOLTERRA. lâS

Admettons en effet, pour fixer les idées, que 1<! noyau y) soit

identiquement nul pour y = x ainsi que les dérivées successives K',.,
K",, la dérivée suivante y') .n’étant jamais nulle

pour x=y; supposons de plus que K'"„tV(a:, y') soit bornée et con-
tinue. Dans ces conditions, l’équation (32) ne peut admettre de
solution que si le second membre donné /(y*) a des dérivées finies et
continues jusqu’à l’ordre n -f - 1 inclus; on devra avoir de plus

/(Oj =/'(o) = (O) = o;

et, ces conditions étant remplies, on passera, par n + i dérivations
par rapport à y, de l’équation ( 82 ) à l’équation équivalente

9< ç )

K( 5, r )

Il

=fy'n'ty(yh

tout à fait analogue à (33) et qui donnera la fonction 9 (y') cherchée,
d’ailleurs unique.

22. Le symbole K.“'. — Dans ce qui précède la limite inférieure
d’intégration zéro peut être remplacée par une constante ou même
par un paramètre x qui figurera aussi dans la donnée f et dans
l’inconnue 9 .

L’équation (32) s'écrit alors

(36) Ç 91 .r, ; ) K( r > =/i .r, ,)' >

ou encon;

çk =/,

les données K «‘t / étant des fonctions de x et )• définies par exemple
dans le domaine

« ^ J’ ^ y ^ 6 ;

la fonction /(.r, y) doit être identiquement nulle pour y = .r et, en
supposant que R(y') y) ne s’annule jamais on sera amené à l’équation
de deuxième espèce

o(x, y ) ■+■

V

.K» fr

/.'■ < -r, .K >

K(y, y.) ’

Dans tous les cas on peut écrire symboliquement la solution de (36)
sous la forme

» ♦ *

O =/K--',

i56

CHAPITRE VI.

l’analyse précédente définissant en somme (sous les restrictions

posées) l’opérateur K~'.

On traiterait de même

(37) J' Ç)?('Ç,r) ^5 =/(■*•, /)

ou

* ¥

Ko =/

que l’on ramènera à la seconde espèce en dérivant par rapport à x. et
sa solution pourra se noter symboliquement

* it

Ç = K-I/.

■k

La question se pose de savoir si c’est le même symbole K”' qui doit
servir, par composition à droite ou à gauche de f, à résoudre les deux
équations associées (36) et ( 37 ). La réponse est afp,rmatwe comme
nous le verrons quand nous aurons donné les représentations et les
règles de calcul des symboles en question ( ' ).

23. Il est facile de ramener au type (32) des équations de forme
un peu différente. Soit par exemple, l’équation

(38) / ?(ï)K(Ç, = F(j),

où l’inconnue est toujours cp(y) (-).

Posons /( J) = et admettons que l’on en puisse tirer, de façon

univoque, y= g{x), l’équation (38) s’écrira

(38') jT 9(Ç) K(s,

de même forme que (32).

24. Équation de première espèce où figurent des intégrales
multiples. — Nous avons vu plus haut (n*" 18) que la méthode d<»
résolution des équations de deuxième espèce s’étend immédiatement

(^) Pérès, [76]; Voltkha et Pérès [1331, p. et io6.
(-) VOLTFRRA, [126].

GÉNÉRALITÉS. ÉQUATIONS INTÉGRALES DE VOLTERRA.

l'>7

au cas des intégrales multiples. Pour le cas d’une équation de
première espèce, la même extension est possible (* ), mais les calculs
sont un peu plus compliqués.

Bornons-nous au cas de deux variables (l’analyse étant analogue
pour le cas général) et soit l’équation

< '^9 )

^0 '^0

avec l’inconnue J'î)- H est naturel de dériver (dq) par rapport

à Yf et à y-i pour la transformer en une équation de seconde espèce.
Après ces deux dérivations, il vient

I i<>)

.>'2 \yy, .Yi ' y-ü '

f)K ,

( Z

()y\ ’’’

y2 lyi, y-2

, ^2 i Kl, .>'2 »'/Ï2

^ >)■ K( l_ri. y-i I

* .» ) ■' ' ' ""

f) r\ Ow

Jll-,

0y\ Ovi

équivalente à (^q) si. comme il est nécessaire, /(.>'), J'j) est nulle
pour y, = O et pour y.j — o, ~ el ~ étant respectivement milles
pour y 3 = O et )', = o.

En admettant que R(k,, y.j |y'i, )'•_.) n'est jamais nul, (4o) prend
la forme

<1') ?(y\,yi^

- f ?< ï>> A-* • ; .t'i 1 .Yi '

• 0

•f ?<yi. $2 >C'«t îï: .Ko y-i >

-f f 9< Si' Ï2 I H( Kl, y., u/;i

= /'»yo y2 1,

b'. G, H, h ayant des valeurs évidentes. C’est une équation où la
fonction inconnue figure dans des intégrales simples et dans une
intégrale double.

On peut appliquer ci (4 1 ) la méthode des approximations successives
en isolant le terme 9(.>y, y-i)-

(') Noi.tkrua, [1‘2.')|.

l58

CHAPITRE VI.

On peut aussi procéder de la façon suivante : conservons les deux
premiers termes à gauche et faisons passer les autres au second
membre que nous désignerons alors par H vient

f Jî)^Çi=T(ri, 72 ).

•^0

Si nous envisageons y-t comme un paramètre et T{yt, y-i) comme
connu, c’est une équation ordinaire de seconde espèce dont on tirera

?(rt) Js) = TCr,, jj) -t- f T(Ç,,

étant le noyau résolvant de F. Remplaçons T par sa valeur, nous
obtenons une équation de même type que (40 mais où a disparu la
première intégrale

S

oC/i, ?î)G,(5î; J,,

/ Yi ^ r%

Al f $2; 71, 7->) ?‘2) = 74I

En procédant de même après avoir isolé les deux premiers termes
de <5*1 aboutit à

(41") ?(7i,72>

I ./Çt / 2

A

Ai Î-.; 7 i,

72(9 <Îi>

Î2

= h

ï'7i, J'-U

qui est du type (3i) (n" 18).

Dans le cas où il n’y a pas deux mais n variables, il faudra dériver
l’équation une fois par rapport à chaque variable. On aura ainsi une
relation où figurent des intégrales simples et multiples jusqu’à
l’ordre n. Pour la traiter on pourra éliminer les diverses intégrales
par des calculs tout à fait semblables au précédent.

IV. - SYSTÈMES D’ÉQÜATIONS DE VOLTERRA (»).
25. Nous prendrons d’abord le système de deuxième espèce

y n

(42) y)A—fi(y) (i = i, 2, n),

(1) VoLTERRA, [124 J.

GÉNÉRALITÉS. ÉQUATIONS INTÉGRALES DE VOLTERRA. iSg

OÙ les inconnues sont les n fonctions cpi, cjpa, •••, <p/i. On peut appliquer
à ce système une méthode analogue à celle des n““ 5-9 en faisant
dépendre encore sa solution de trois principes de convergence^ de
réciprocité^ d'inversion.

Construisons les fonctions suivantes :

= — y) t', y = I, 2, n),

n

J) (l =2,3,...,*).

l

Il est facile de vérifier que le second membre ne dépend pas du
choix de A' (5 = 1 , 2, ... Z — 1) et que

en désignant par M un nombre supérieur à jKy,(x, y' ) | quels que
soient i et j pour x et r arbitraires dans le champ

o'ix ^ l,

où nous nous plaçons.

Il en résulte que les séries

00

( 44 ) .Sy,( .r, Y > = 2 ^ *'■/!'' y '

1

sont absolument et uniformément convergentes dans le champ
envisagé et définissent n'^ fonctions bornées Sji. C’est le principe
de convergence.

En étudiant la forme des restes de ces séries, ou constate, tout à
fait comme dans le cas d’une seule équation, que

Sy,( X-, y ) -4- .r, v ) = — > Sy,. K,.,( x, y )

1

n

= — Ky,. S,.,(x, y\

et que, en posant

Syî’(,^, y)—-~ -r, .K't,

( 13 ')

i6o

CHAPITRE VI.

on a

90

U4') J),

i

c'est le principe de réciprocité.

Enfin, par des calculs analogues à ceux du n" 8, lll, il viendra

f S, 7 ) A

= f 9/*5)(Sm(5,

d’où en simplifiant,

r’y

./q

= ~ f y ?KÇ)K//,(?, 7)rf$ = 0 /,(j)—

c/o

c’est-à-dire que l’inversion du système d’équations intégrales ( 42 )
sera nécessairement donné par le système des équations

( 4a' )

?/'>) =/(^7) -t- f

La réciproque est évidente par un calcul analogue et l’on a ainsi
le principe d'inversion.

26. On peut passer à un système de première espèce ayant la
forme

//

(45) fi^r)=f y ?/<?)Ky((Ç, (/=I,

les cpy étant toujours les inconnues et les données J) et Ky,- étant
dérivables par rapport à y. Le système (45) entraîne fi{o) = o et est
alors équivalent au système des équations dérivées par rapport à y, à
savoir

(46) i;. V‘y) 9,'< E) «5 =/;■/.•

GÉNÉRALITÉS. ÉQUATIONS INTÉGRALES DE VOLTERRA.

l6l

D<^signons par D(a?, }') le délerininanl

hi .r, y)~

J) ri

K„,i.r, _r)

K| „ ( J?, J )

k„„( Jî, y)

SI U{x, x) est différenl de zéro on pourra résoudre les (4l>) p**»'
rapport aux qui figurent dans la première somme du membre

gauclie. On obtiendra ainsi des équations exactement analogues
aux (4?) et <pii se traiteront par la méthode qui vient d'être donnée.

27 . Cas des intégrales multiples. — Prenons par exemple le sys-
tème de première espèce

I k / 1 1 ^ ' 5/. 0 ■ 1 , . ... Vf, )

... /il

(inconnues 9/). i\ous dériverons successivenumt par rapport à

r.,, Si 1 (‘ déterminant des fonctions K, •••*,>>)>

soit

k,, k ... k,,.

( pt I l>i ./'t, •/••i, r,, I l t'f, I = ,

k /H k /I

où l’on fait x^~ t't, x >=)■•> x,,~ y,,, n’est pas nui, les équa-

tions (47) entraînent

< l'.t I ?|< .!> t-e ?l 9« I = • • •- J'n *.

où ïF, représente une somme d’intégrales simples, doubles, multiples
qui contiennent linéairement les inconnues. Supposant connues
92. . . .,9/,, on tirera 91 de la première équation (4<)) P»*' Itt méthode
du n" 24 , puis on portera cette valeur dans les équations restantes qui
ne contiendront plus qm* 9.J, ..., 9/i. En continuant ainsi on se
ramènera à une seule équation avec une seule inconnue.

Ce qui précédé indicjue aussi la marche à suivre si le système (“st
de deuxième espèce.

VOLTKRRA

11

162

CHAPITRE VI.

V. - LIEN ENTRE LES ÉQUATIONS DE VOLTERRA
ET LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

28. Parlons, pour fixer les idées, de l’équation de première espèce

(5o) f ?(S)/(Ç, = /<(/) (^h{a} = o),

où l’inconnue esl ^(y) et, en supposant finies et continues les dérivées
dont nous aurons besoin, x'cprenons les dérivations successives qui
nous ont servi pour traiter l’équation lorsque le noyau [ici fi^x, y')]
est identiquement nul pour y = ic (n“ 21 ) ; nous obtenons les équa-
tions suivantes :

(5‘>i) 9(y)f^y, y) f ?<?)/!■( 5.

/ \ / \

r>-e /* ot?)/,.'» /) = /''“* 'Mjj (*)

et (5o) est visiblement équivalente à l’équation {intègro-dijfèrcntùdle)
(5o/i+i) pourvu que l’on y joijçne les conditions déduites des pré-
cédentes (5o<), .... (5o,t) en y faisant y = a. Lorsque /(a, «) n’est
pas nul ces conditions déterminent les valeurs, pour y = a de 9 et de
ses n premières dérivées; l’élude de l’équation ( 5 o„ 4 .i) avec ces
conditions aux limites est un problème équivalent à la résolution de
l’équation (5o).

29. Dans le cas particulier où f(^x^ y) est un polynôme en y de
degré n, l’intégrale qui figure dans (5o,^^.^), disparaît et la résolu-

(‘) Ici, et aussi dans la suite, des notations telles que fy{y, y), y) dési-

gnent les dérivées partielles /'.(x, y), fynUx, y) dans lesquelles on a remplacé x
par y.

GÉNÉRALITÉS. ÉQUATIONS INTÉGRALES DE VOLTERRA. l63

lion de (5o)se n^duità l’intégra lion de \'éi{\\inùon différentielle

r')-^ +

?<JK ) y ) = )

avec les données aux limites usuelles pourj^= a.

Si le noyau /est un polynôme en jc de degré n, on aura un résultat
analogue. On peut écrire

r » = /'.K, .r ) -(-

.r

-f'.r^y^ y ^

{ X — y )'<

/r"'(r, y)

et. eu portant celle expression dans l’équation (5o) et Introduisant
la fonction

on (‘St ramené à réijualion diÜérenlielle eu

< >'>, ) f[y, ,)• l'V"' , ,H f;i,(y.y)-\> — h( y).

<lont ou devra chercher une solution nulle pour y = a ainsi que ses
dérivées .... on passera ensuite à ç(.r) par (ra + i) déri-

vations.

30. Il (^st clair que d(‘s r(‘marques analogues vaudront pour les
équations de Volterra de s(!cond(* espèce.

Inversement d’ailleurs la détermination de l’intégrale d'une
équation différentielle

. <1" O . f/" 'o

< * ) • A„( >' ) -J— -+- /\i ( r ' -4-. . . -4- A„( r ) 9 = Il ( r )

fiyn

qui, pour = rt, prend des valeurs assignées ainsi <pie ses dérivées
jusqu’à l’ordre n — i, revient à la résolution d’une équation intégrale
de Volterra, que l’on déduira de (53)par re ou (n + i) intégrations (' )
successives entre les limites a et >' et en faisant disparaître les
dérivées de cp par des intégrations par parties.

Tout ceci s’étend à des systèmes d’équations différentielles : on
passe alors à des s>stèmcs d’équations de Volt<;rra C^). Prenons par

(*) Suivant que l’on veut obtenir une équation de deuxième ou de première
espèce.

(=) Cf, SiNIOALUA, [104'].

i64

exemple le système

CHAPITRE VI.

doi

I =y/<r »

( /, A- = 1 , 2, ..., n),

une intégration donnera le système de Volterra de deuxième espèce

9dy)-^f ^ «/*( 5) = ?<< « » -t- r /,( ; ) f/s.

Des considérations analogues s’appliquent enfin à des équations
aux dérivées partielles ou à des systèmes de telles équations, pris
avec des données aux limites convenables. Sans qu’il soit besoin
d’insister, on voit que de très nombreux problèmes de l’analyse
pourront se ramener à des équations intégrales de Volterra.

31. Nous avons vu que dans des cas particuliers (noyau |)olyuomo
de degré n en x ou en y) on pouvait ramener l’équation de Volterra
à une équation différentielle d’ordre n. 11 est à prévoir que, dans le
cas général, l’équation de Volterra pourra être rattachée à une
équation différentielle d’ordr<î infini. Nous nous contenterons sur ce
sujet d’indications très rapides ( ' ).

L’idée la plus naturelle consiste à envisager une équation diffé-
rentielle d’ordre infini comme étant du type

, . . / V L , ^ do . dP O ,

(54) Ao(y)o A,(y)-~ A (y ),

OÙ le premier membre est une série. Une telle équation peut être
remplacée par le système suivant :

l Âo(y) 9 o(y) -4- A, (jj 9 ,( 7 ) . .-I- ,\,,(y ) 0 ;,(y) = /((y),

f 54 ') \ do„

j lîp (y = O, I, . . ., =c)

avec cp(7)=^çpo(j)-

L’équation intégrale de Volterra ( 00 ), où l’on suppose le
noyau /(ar, y) analytique et donné par la série

P P-

(') Pour plus (Je détails, Cf. Lai.es(X), f55J.

Icji <^p (^lant milles pour j' = a.

11 est impossible d(ï ramener le système ( 55 ) au type précédent (54');
il y a pourtant entre eux une analogie formelle de sorte qu’il est très
naturel de dire que (55) représente aussi une extension, pour l’ordre
infini, de la notion d’équalion différentielle d’ordre fini. Nous avons
ainsi, de cette notion, deux généralisations différentes et c\ist la
seconde qui se relie à V étude des équations de Volterra.

CHAPITRE VIL

COMPLÉMENTS AUX RÉSULTATS PRÉCÉDENTS.
AUTRES TYPES D’ÉQUATIONS DE VOLTERRA.

1. - NOYAUX INFINIS POUR y=.x.

1. Dans toul le Chapitre VI nous avons supposé que les fonctions
considérées (et aussi leurs dérivées, lorsqu’il était nécessaire) étaient
bornées et continues. Il est naturel de se limiter à ce cas dans une
première étude afin de dégager, sans complications accessoires, les
méthodes essentielles. Mais il convient d’examiner ensuite si ces
méthodes restent valables avec des hypothèses plus larges.

Il est tout d’abord évident que la condition de continuité est tout
à fait accessoire. On pourra admettre qu(! les fonctions envisagées
ont des discontinuités pourvu que les intégrales que l’on est amené à
écrire gardent un sens et pourvu que, les noyaux restant bornés.,
on ait, pour leurs puissances de composition, les limitations qui ont
permis d’établir le principe de convergence.

Passons au cas de noyaux non bornés. Un type particulièrement
Intéressant pour les applications est celui des noyaux qui deviennent
infinis pour y = x comme (y — -c)*"', « étant un nombre compris
entre o et i. Mais, avant d’en aborder l’étude, nous rappellerons
quelques notions qui se rapportent à la théorie de la composition et
dont nous aurons besoin.

2. Ordre et diagonale d'une fonction /(a?, y). — Soit une fonc-
tion /(a:, y) définie dans un champ tel que

(D ) ^ ^ ^ = b.

M. Volterra dit ( * ) qu’elle est d’ordre a (a étant un nombre positif)
si l’on peut y mettre on facteur {y — .r)*~' . le quotient étant une fonc-

(■) Cf. [1.3.31, P- *0.

COMPLÉMENTS AUX RÉSULTATS PRÉCÉDENTS.

167

lion de x et de y finie et continue dans (D) et non identiquement
nulle pour y = x. En introduisant, pour la commodité, un dénomi-
nateur r(«), oii r est la fonction eulérienne de deuxième espèce, une
fonction d’ordre a s’écrira

(I)

r, ~ ■*' 1- /

r) étant finie et continue et F(a7, x)^o. F(Ær, k) sera diicamc-
tèristique de /, F(a7, x) en sera la diagonale. La fonction f u’esl
borné(î que si a > i . Pour o < « <C i elle devient infinie pour v' = x.
Soit une autre fonction d’ordre positif (3

c.î) .r, y)=^ '' ■ — C,ix,y),

1 ( )

* *

la composition fg garde évidemment un sens, même si a et P sont
compris entre o et 1 et l’on a

ï — .r I»-' ( V — c

Vi X »

!'( >)

F( J-, y)(/^,

d'où, par un changement de variables évident,

( 3 I
avec

fir J,

i y — .ri

a-e 3- ' 1

« a -d- )

H i x, y I

( 4 • ii(x, J) = -

r ( a -f- "j )

l'( a ) Tf
^ \

/

X

I K ^.r, j'-y y — jr\\ G (^x-yfAy — .r), y \ i — dt.

Jn

On voit immmédiatemenl que :

a. Les règles de calcul du Chapitre VI, n" 12, s’appliquent même

si les ordres sont inférieurs à 1 , pourvu qu’ils restent positifs;

♦ ★

h. fg a pour ordre la somme a -t- (3 ;

c. fg a pour diagonale le produit F(j;, ^)Ci( x, x) des diagonales
de/el »• ( ' );

(*)Ceci résulte de l’évaluation connue de l’intcgrale eulérienne de première
espèce

/« !(,._ t)^ Ult

r(a)r(^)

I' ( a -h jü )

i68

CHAPITRE VU.

d. Si dans le chiimp considéré on a | F | <; M, | G | <; N, on a

l’inégalilé

(5)

3. Puissances quelconques de l’unité. — Nous avons vu (Ghap. Itl.
n" 13) que. pour z entier positif, on a

♦ _ I r — .r • iy — .r ’

{Z — 1)1 Vi Z )

Mais, set z' étant positifs quelconques, la formule

¥ * ¥

(6) 1= I='= 1='=',

qui est évidente pour les valtmrs entières, subsiste d’après ce qui
précède. Il «;st donc naturel de poser, par définition de i '. pour s
positif quelconque.

4. Équation de seconde espèce dont le noyau est d’ordre a (o < a < i )•

— Ce sera par exemple l’équation

(8) ç( .r, / ) — ?/( Y I = A( ./■, y i

[inconnue cp(a7,^)] ou bien, en prenant pour lixer les idées x e\. a
nuis,

( 8 ') r ri, y xt; = toy )

[inconnue Le noyau /est donné par (i) avec

donc infini pour y — a:- d’ordre i — «.

D’après ( 5 ), on a

[ y — .r
I'( «a )

VI»

a < Z I : il est

et la série

— (/ -4-... H-

(*) La formule ( 7 ) peut d’ailleurs être justifiée par application de la théorie de
M. Volterra concernant les puissances quelconques de composition ([1331, Ghap. V).
Nous y reviendrons, nous contentant pour le moment des remarques du texte.

COMPLÉMENTS AUX RÉSULTATS PRÉCÉDENTS. l6g

dont le terme général est d’ailleurs une fonction finie et continue dès
que n dépasse la partie entière de ^ est donc uniformément et absolu-
ment convergente. Elle définit le noyau’résolvant g et la relation fon-
da mon ta le

subsiste, donc aussi la solution donnée au Chapitre V I.

.'). Cas d’une équation de première espèce. - Nous l’écrirons

♦ *

( () 1 9 f{ X, K ( ^ //( y I

ou bien

(()') / 01 Ç t/l //' = //( K I.

l.(>s cas traités précédemment sont les suivants : noyau du premier
ordre (n” 20) l't noyau d'ordre entier (juelconque (n" 21). Nous allons
envisager le cas où le noyau eal'd'ordre positif quelconque (').'

Prenons d’abord pour le noyau / l’expression précédente (j) avec,
toujours, O <; <C • •

Nous remplacerons l’équation (q) par une é(pialion équivalente
dont le noyau est du premier ordre. 11 suffit d’en composer à droite
les lieux membres par une fonction d’ordre i u. par exemple

.1

r. I — :( <

On passe aiii.si à

¥ ♦ ¥

Ilot o/, r= /i I '—a

avec, d’après (3) et (4).'

/,=/î' ^ =

l'i a l 'Tl 1 --ai.

I

/'ail—/

li’équalion (io) est bien équivalente à (q), car, en composant à
¥

nouveau à droite par i*, on en tire

9/i'-*ii*= h i*‘-*i**,

(‘) \f»i/rKRnv, Noie 11.

CHAPITRE VII.

170

c^est-à-dire, puisque les règles de composition s'appliquent

ou encore

ç/i = Ai

f 9 /^^. = /* h{x,%)dr^

et enfin, en dérivant par rapport k y

¥ *

?/<^> y) = hix, y).

Tout revient donc à résoudre (10); or on se trouve dans le premier
cas traité au Chapitre VI. Le noyau est dérivable par rapport à y
s’il en est ainsi de F et le second membre

( r ■

l'(

ot I

s’écrit, avec une intégration par parties

h( X,

( y — .r
^ l' 12 — a »

( y K )l— a

J'( 2 — a ;

<n,

en admettant l’existence de Aj {x, ^). Sous cette dernière forme il est
clair que le second membre [que nous noterons y) \ est nul

pour y* = X et admet une dérivée par rapport à y. Cette dérivée n’est
pas bornée, mais elle n’est infinie (pour y = x) que d’ordre a, de sorte
qu’il n’y a pas de difficultés.

L’équation déduite de (10) en dérivant par rapport à y, soit

<f(x, y)F(x, X)

f:

o(x, Ç;

() f. e?. y >

d^c =

<} h I .r.

donnera ^(x, y) par la formule habituelle pourvu que F(j?, x) ne
soit jamais nul.

6. La méthode précédente conduit également à la solution de (9)
ou (9') si l’ordre « du noyau est ph'is grand que un (‘t non entier.
Posons

a = /I -t- ( n entier positif, o < 'fi < i ).

Nous passerons de (9) à l’équation

(101)

COMPLÉMENTS AUX RÉSULTATS PRÉCÉDENTS.

171

■A ^

dont lo noyau est d’ordre entier « + 1 . On terminera

comme au Chapitre V 1 (n" 21 ) et, si h est d'ordre au moins 4- ^ + 1 ,
on aura une sohition finie et continue de (9).

7 . Équation d’Abel. — La première équation intégrale, qui fut
envisagée et résolue par Abel('), appartient précisément au type pré-
cédent.

Abel l’introduit à propos de la question suivante de Mécanique :

Déterminer une courbe située dans un plan vertical^ telle qu’un
mobile pesant obligé à la parcourir arrive au point le plus bas O
dans un temps (jui soit une fonction li{y) donnée de la hauteur
initirde y au-dessus de O. On suppose qu'au départ le mobile a
une vitesse nulle.

Prenons un systèm(‘ d’axes de coordonnées a:, y tlans le plan de la
courbe, x étant horizontal, y vertical et dirige ^ers le haut. L’équa-
tion de la courbe sera ,<• ~ et, s étant son arc. on aura

(II)

en posant

En appliquant b* tbéorème de la force vive, on trouve, pour le
tiMiips h{y) de la chute

- , ,

\ ■>. i- /< ( K > = / — ■' ■■ (/T,

•4 \ y - r,

(pii peut s écrire

0( T) '

(ér„

*

du t ype (9') avec le noyau y’— i *. La
donc : il suffit de composer à droite

méthode du n" o s’applique
(

par I les deux membres de

(>) Ahm., [Il cl [2].

CHAPITRE VU.

l’équation précédente pour avoir

^ r’'

©( -/J ) //tj.

d’où, puisque

\ il r' lu 1] ) th,

Jiî _ (' IL

y — fi

Le problème est ainsi résolu. Dans le cas particulier où l’on cherche
la courbe tautochrone, h {y) doit être une constante c. On trouve
alors

0 ( JK ) =

\Li " c

et, par une intégration très aisée de l’équation différentielle (i i). on
constate que la courbe est une cycloïde.

8. Abel a aussi traité le cas de l’équation intégrale plus générale

iV — )'

pour laquelle il a employé la méthode des développements en série.
Cette équation est également du type (9') avec le noyau 1 '

le second membre devenant traitera donc en composant

¥

à droite par i* et, compte tenu de ce que

on aura

r(a) rü — a ) = -r-^ — ,
sinar

La dérivation peut s’effectuer comme il a été indiqué à la fin du n“ 5
et l’on trouve ainsi

siuas J /<(o) r' h'i-r\)di\ )

Ç(^) = __

•i-f

la solution n’étant finie, pour y' = o, que si /t(o) est nul.

COMPLÉMENTS AUX RÉSULTATS PRÉCÉDENTS. 17^

9. Équation de Liouville. — [ndépendamnient d’Abcl, Liuuville,
en étudiant une classe étendue de questions géométriques et
physiques par la méthode des dérivées à indices quelconques ( ' ),
avait été conduit, en i832, à résoudre l’équation d’Abel. Nous allons
traiter l’un des problèmes de Liouville.

Une droite indéfinie y, sur laquelle il y a une distribution de
masses uniforme et symétrique par rapport à l’axe des a?, est attirée
par un point A situé sur cet axe à la distance x. L’attraction sur

• ‘•K. '>•

cluupie point de r dépend de la distance à A, mais la loi en est
inconnue. L’attraction totale étant connue, déterminer l’action

élémentaire F’(/') du point A sur un point M de la droite, situé à la
dislauce r de A.

Ou peut écrire

Fl r I — (iv — ■< / Fl I - (ir
r ' y r ‘

et, par la transformation

<jui donne
en désignant eulin

il vient

( r> )

r: — par çl i I = — par /oc),

\ \ =

_ r'

K

( ^ ) LiOL\ ILLE, IG,")], [()()], [07 1.

CHAPITRE VII.

174

équation que Liouville traite par des développements en série. Nous
remarquerons qu’elle se ramène à l’équation d’Abel, par la Iransfor-
mation z ^ - et l’on en tire facilement la solution

1 (f

9(3)— / -=-•

Observons aussi que l’on peut traiter (12) direcleinenl. On obtient

'A v' 5 - = ^;

et, en échangeant l’ordre des dérivations,

V O s

r'^ r ' li’’- r "

/ -=^==^7; 01?), /^

V -'z. V(5-- 3)Cr, — J.

Ce calcul suppose la convergence des intégrales, c’est-à-dire que h
est inliniment petit d’ordre^ +£(£>-0) lorsque la variable, prise
pour infiniment grand principal, tend vers l’infini.

Par les calculs dont nous venons de parler, Liouville avait en vue
de fonder la théorie des dérivées à indice qu(,•lconqu(^ L’clégancc de
son analyse a conduit plusieurs géoinèlres, comme Hieinann,
Holmgren, Letnikofl, Hadamard, Pincherle, à employer les dérivées
qu’il a introduites. Les dérivées à indice quelconque ont d’ailleurs
été l’objet de travaux récents (Scalizzi) et nous aurons à y revenir.

R.appelons-en pour le moment la définition. Une dérivée d'indice
quelconque a delà fonction j'(. a;) sera définie par

et

Djyt X ) =

^ f

' I—

( X

dP

dxP

D'

yjx)

t ) ^ ^ y{ t ) dt |)()iir a o

pour O < OL <; P I P entier)

OU par dos formules équivaleatos ('). On voit la ridation avec IVludo
des (équations intégrales de Volterra ( -).

La notion précédente a permis à M. Mandelbrojl une élégante
extension du calcul des variations ( ‘). Au lieu de considérer une

(‘) cy. [ 93 ], | 44 !, [ 38 1 ,
(2) Cf. ScATIZ/J, ( 101 L

C) M A N DEL ’ mo . 1 T , 1 09 I .

inlégrale

COMPLÉMENTS AUX RÉSULTATS PRÉCÉDENTS.

qui concerne une fonction ordinaire de x eide («+ i) variables
((z=o, f , .... «), il considère, par application du procédé usuel de
passage du discontinu au continu, une fonctionnelle

qui dépend de x et de toutes les valeurs de

y^{ X ) = X I

lorsque a est variable dans un inlervalb? (O, A), puis l’intégrale

J = ^ 0L\dx.

•X n

Pour étudier l’exlrenium de celle intégrale, il faut d’abord en
annuler la variation première âJ. En appliquant, pour transformer ôJ,
la règle d<‘ Diriclilet (') au lieu de l’intégration par parties, on est
conduit, pour r(a:), à une équation fonctionnelle du l^pe suivant ;

J" ) : .r I = O, o^a<A, -f ) = I*

c’est une é(juation qui peut être A\Ui iuf nation différentielle continue
par rapport à l’inconnue ) (./ ).

10. Des équations intégrales plus générales que celles d’Abel et de
Liouville avaient été envisagées par Sonine (-) : les équations de
Sonine sont du type ((/), le noyau f{x^ y) étant fonction de la seule
variable y — et développable (‘n série. Mais tous ces travaux sur
des é(jualions intégrales particulières, traitées par des méthodes
diverses et souvent laborieuses, restèrent isolés jusqu’au développe-
ment de la théorie générale.

Les notations introduites précédemment pour la composition nous
permettent d’ailleurs d’exposer très rapidement les résultats de
Sonine.

(') Noie «le la page
(-) SONINK, 1105], llOfi].

CHAPITRE Vil.

Ce dernier considère l’éciuaiion [du l}'pe (9^)]

'^0

laquelle, eu reinplac^anl 7 par 7 - .r et faisant un cliangeineul dc^
variable sous le signe d’intégration, devient

( 1 3 ) 91^ — a- » — ï ) f /? = /<( 7 — ./• )

ou bien, avec nos notations,

?/=

qui est du type (9), l’inconnue <p et le second membre A étant, comme
le noyau, fonctions de 7 — j ^'. Le développement en série qu’adim*!
Sonine pour y peut s’écrire, avec nos notations,

♦ / ♦ ♦ ♦ \

J I ^ y I A I I -+- jV 2 I * -+" , . . / ,

les A, étant des constantes multiplicatives. L’équation (i 3 ) donne
alors

(i4j 9 1 ( I" A 1 1 — A 1 '

Mais, si l’on elï'ectue le développement l'u série, qui peut être pure-
ment formel,

1 “H Al 3 -4- A 2 -4" . . .

— I -4“ I > I Z - 4 - . . . -4- 15,^ Z** - 4 - • . . ,

il est clair, d’après les propriétés de la composition (Ghap. V 4 , 11" 1 * 2 ),
que le produit de composition.

( I “H A t I —I— A 2 1 " -H . • . ^ ( I -H l> t I "S" . , . ^

¥

se réduit à i". On tire donc de ( i/j)

el, eu posaul

♦ ¥ * / * * ¥ \
O l = A |4 T- !>, I -f- 1)2 I- -H. . .)

1’ - *( l<>-4- 1^1 l -4-. . .) = SiJ — X ),

il vient, pour solution do (i 3 )

COMPLÉMENTS AUX RÉSULTATS PRÉCÉDENTS.

177

d’où ais('*ment

On voit que les méthodes suivies réduisent à de pures identités
algébriques les formules de Sonine.

M. Whittaker a également envisagé un cas analogue. Nous ren-
voyons, pour les formules qu’il obtient et qui, comme celles de
Sonine, peuvent èlre d’un emploi commode pour la résolution pra-
tiqiK^ de l’équation, à nos Lerous sur la composition ([133], p. 1 12 ).

1 1 . Équations de première espèce à noyaux logarithmiques. — Un
autre type, traité par M. V'olterra et qui lui a servi dans le dévelop-
peiiKUit de sa théorie» des logarilhm(»s dt‘ composition (•), est celui
d’é(pialions d(î preunière espèce

duiil l»‘ noyau f usl inlini pour y =: x par suilo de la prô.sunce du
((‘rincs lo<'aritlimi(pio.s : |)ar cxeiuplo

— .ri

I^a lésolution d’iim» telle écpiation, et civile d’autres équations plus
g(Miérales, [)eut élia» déduite des principes sui\an[s.

La formule

c'est-à-dir(‘

^ ^ a i , r 1 , ,a - i 1

( I , , f ^ -- — ,

/ l( 3 C> l(./i l< 3 C -f- J >

^ t' . .

donne, j)ar une int(‘gralioii par inpport à ^ et une dérivation par
rapport à a,

I i() I

f) ( 2 la 1

()x l'( a I

;->r «

/ y rr:

, J' ‘

I < y. — 1— I

(*l, i»n [>arliculier, pour a (3

( i()' )

/

.r I -H

X ),

(‘} ^ auquel on pourra se reporter pour plus de détails.

VOLTKRUA

12

178 CHAPITRE VU.

C étant la constante d’Euler :

G = — r'(i) = o/»772i

On a ainsi construit une fonction finie et continue

*

dont la composition avec log(j' — .a?) + C donne — i On en déduira
immédiatement la solution de

(18) f Ç) I log (7 — Ç) -+- G I r/s = /»( jK);

il suffit de composer les deux membres à droite par X()' — .r) pour
avoir

f 9(ar, Ç)(> — 5)'/; =— r /'(.r,

*-'.V

d’où, sous la condition que h est nul pour = x, on tirera

y )

fH n

La double dérivation de (19) ne peut s’elfecluer sans précautions,
la dérivée première de X étant, comme on le vérifie aisément, infinie;
comme |,L, pourjr=x(^). On constate (0 que (19)

s’écrit

{y — as) io'y-iy — x)

(ly') <^(x, y}=— h'yix, x)X{y — x)—J /»?,( j-, ï ) >.(7 — t )

12 . La méthode se généralise. Remplaçons (i 5 ) par

-1)

Jy 1 ( a ) I ( ) I ( a -H ,J )

où q est une constante quelconque et faisons le même calcul, puis

(^) Log2 désigne le carré du logarithme, de même plus loin log^ en désignera la
puissance

(2) Cf, [133], p. i3^^.

COMPLÉMENTS AUX RÉSULTATS PRÉCÉDENTS.

«79

prenons, dans la formule obtenue (3 = i . 11 vient

0 . 1 )

/'•'(t-.r)* ■« (, _ _ r(a)) , ^ (y-x)=>-

avec

, Z’ ( V — .r )-. , _

a(y — x)— f e'i-. dX-

On eu déduira en particulier, pour a = i . la solution de l’équation

J 9(./-, ï I ; loîîi/ — ; i-f- M [ dl = /i(x,y},

analojiue à (iH), mais où G a été remplacée par une constante quel-
conque M; l'expression de cp sera la même que ( 19 ) ou ( 19 ’) mais
en V remplaeaut). pary. el en prenant

y = M — C.

13. Ou peut aller plus loin, f'n dérivant (ai ) par rapport à a el en
ajuutaul. à l'équaliou obtenue, l'équation (ai) elle-même multipliée
par la constante k, ou a

( ■> > I

avec

a

( ; - ./• 1

1 - 1 -

M loi:

G -

lo*:( K “

- X

) - 4 - //# .

(

)

Y - 4 - /» :

— >

r'i a )

+ Ml,

Tl a (

r

^ 1 ^

t V"

( or \

— M. -

' -Am

f 1

- - 4 -

\ Jv 9

— ■ - i -

- Ml ,,

’( X

) l'i

i a )

/// . =

k-

Vi a

H- I 1

Tl a

-4“ l )

M.,

Kn ap|)liquaiil la même méthode à (aa) et ainsi de suite on aura,

it

I ( ; — ^ i ^ — x \ [Xi y — ; )

* 9

n — I

1 y — J' V' I

~ : > //?/ loi:''

(‘U général

>•]

ft - 1 - - /[

{ y — X

i8o

CHAPITRE VU.

n étant un entier quelconque ; les coefficients m* et q se calculent à
partir des M/^qui peuvent être pris arbitrairement (on a en particulier

Wo — Mo).

La formule (a 3 ) permet de traiter l'équation

y l “ )

(24) J' Ç ) I < J — ? ^ iVL' log"-*(7 — Ç ) -H ( K — 5)“ F( Ç, ^)|

= h {x, y),

où F est une fonction donnée finie et continue. Il suffit de composer
les deux membres par p {y — x) pour obtenir

<I> ayant une valeur évidente. L’exposant de la plus haute puissance du
logarithme est ainsi diminué d’une unité et en répétant n fois la
transformation on fait disparaître les logarithmes. On aboutit ainsi
à une équation dont le noyau est une fonction d’ordre a + n <!t
qui se traite par l’analyse des 11““ o-G.

14 . Soit, par exemple,

J' 0(X, Ç ) f logi K — ; I -(- M -H {y -- ; ) K( y ) I = /(( ./•, y 1,

on se ramènera a

f 5 ) < J — ? ) “ ^7 — î é r
J,,. I 1 '

xjT ;i , - c ,[) f(e, ; * i.K - s < j -/=

En dérivant deux fois par rapport à 7, on trouvera une équation de
seconde espèce

o(x,y)—J q{x, = H(ic, 7),

COMPLÉMENTS AUX RÉSULTATS PRÉCÉDENTS. iSl

OÙ Cl H ont des valeurs évidenles et sont des fondions fînles et
continues dans l’hypothèse que F et h ont des dérivées premières et
secondes par rapport à y également finies et continues. Cette équa-
tion se résoudra comme il a été vu au Chapitre VI.

II. KQUAÏIONS DE PREMIÈRE ESPÈCE
DANS LE CAS OÙ LA DIAGONALE DU NOYAU
A UN ZÉRO ISOLÉ.

15 . Reprenons l’équation de premièiaï espèce

i •>/) )

= /071,

le noyau f étant d’ordre positif quelconque. Si l'ordre n'est pas entier
nous savons (n"' 5 - 6 ) nous ramener au cas de l’ordre entier, puis, par
dérivation (Chap. V’I, n^Ül), nous pourrons toujours nous réduire au
cas où l’ordre est égal à l’unité. Nous pouvons donc, sans perdre en
généralité, supposer {|ue f{x, y) est du premier ordre, c’est-à-dire
que f{y, y) n’est pas identiquement nul.

L’é<|uation ( aà) se réd«iit alors, sous les conditions habituelles, à

( -.Ui )

9( K I

/'r>

//( y I
: ,

> y>

équation de seconde espèce qui se traite sans difficulté si /(y. y)
(diagonale du noyau) ne s'annule jamais dans l’intervalle considéré
o'CyC/.

Lorsque la diagonale a un zéro isolé pour y=rzy^, l’équation (26)
a un noyau infini pour yz=zy^, <*1 <jui n'est pas du t\pe envisagé au
paragraphe précédent. Si y» n’est pas nul, on peut au moins définir
la solution de (26) pour o<.r <;y'o ^ faudra en général se borner

à cMit intervalle. Fxceplionnelh*menl| la solution obtenue pourra être
prolongée au delà d(‘ : admettons par exemple que l’intégrale

IL y )

/ y’o

(où la fonction cp est connue, comme on vient de le voir, pour o

ait un sens pour o< >' <C.yti avec y', !>y'o: la détermination de cp(_y)

i 82

CHAPITRE VU.

pour <C se ramènera à la résolution de

Jy^ y^y,y)

k'iy ) H- ll(^y )

7J7F)

> j«).

el, en prenant pour variable y — on est réduit finalement à une
équation qui a exactement la forme (26), le dénominateur étant nul
pour la valeur zéro de la variable.

Il reste donc à étudier le cas où =; o, cas pour lequel les
résultats obtenus ne permettent mênu; pas d’affirmer l’existence
de cp (y) dans un intervalle restreint o <^y d £. C’est ce cas que nous
étudierons dans le présent paragraphe. l.ies résultats qui le concernent
ont été donnés par M. Volterra en 1896 ( ' ). Plus tard M. Lalesco (-)
a repris la même étude en reliaut le problème à la théorie des équa-
tions difTérentielles linéaires. C’est la méthodiî de M. Volterra, avec
un complément dû à M. llolmgren ( '), que nous exposerons d’abord
en détail.

16 . Précisons d’abord les hypothèses à faire sur / (-c, ,)') et sur
h(^y). Nous sommes dans le cas où f (y, y) a un zéro isolé )' o et
nous admettrons que ce zéro a l’ordre de multiplicité eniier n.

11 n’en résulte pas nécessairement qu’un développement limité (h;
f{>r,y) suivant les puissances de x et y (développement que nous
supposons exister pour un instant) doire commencer par des termes
de degré n', il pourrait fort bien avoir des termes de degré inférieur
à n, pourvu que ces termes admettent le facteur y —x. Nous
supposons que cette circonstance particulière ne se produit paset^
en général, que les termes principaux de /{y-, y) viennent des
termes principaux de f{x, y) {x et y petits).

Dès lors l’intégrale

où la solution ch(;rchée 9(9') est supposée continue, admet au moins
le facteur y""^' et nous devons faire la même supposition sur le second
membre h ( y).

f) Cf. V 0 LTKU 1 I.\, [ 123 ], Notes III el IV.
(^) Cf. Laf.hsco, [ .jS] et [ 55 ].

( 3 ) Cf. HoLMortE.v, [ 45 ].

COMPLÉMENTS AUX RÉSULTATS PRÉCÉDENTS.

i83

Nous poserons donc les hypothèses siiiviintes :

A. On a, dans le domaine o< }*< l

n

/(x,y)==^ a,x‘y"-‘-^f(x, f)

0

ai^ec

n-h\

7=2 .r' J" * mi(x,y),

0

les a-, étant des constantes dont la somme n’est pas nulle

/I

0

les nii des fonctions finies et continues ainsi que leurs dérivées
par rapport à y. De plus

/( y. y ) = y" ^ it,-h /[ y )

n’a, dans l’intervalle o < r ^ L pas d’autre zéro (pie >• = o. ce zéro
ayant la multiplicité exactement n puisque

B. On a, pour o< y<l,

/i{y ) = y" ’ ' tiiy ).

/t( )') étant finie et continue ainsi que sa dérivée.

Nous établirons alors un premier théorème q«ii donne les conditions
pour qu(; l’équation (aS) ail une seule solution finie. Les théorèmes
suivants II et 111 donneront la résolution ellective de l’équation (aS)
quand les conditions posées sont satisfaites. Il restera enfin à mon-
trer que, dans tout autre cas, (aà) a une infinité de solutions dont il
faudra préciser l’arbitraire.

17. TuèoRÈME I. — Sous les conditions A ef B il existe une et
une seule fonction cp {y), finie et continue, vérifiant (a5), lorsque

l84 CHAPITRE Vil.

toutes les racines de Vèquation algébrique en X

(E)

Oo n\ an

ont leur partie réelle positive.

Dans la suite nous supposons que ces racines sont toutes distincles.
LVquation (20) est d’abord équivalente à

(■>/>)

avec

et

y)-+-f ; )/!< r » = fi'iy]

J- Jy

En supposant pour un instant la fonction 9 (juelconque, nous pose-

rons

= 0(7 )/( r, j)-+- o'ii/ï'?, —

[^(y) est donc nulle identiquement quand 9 vérifie (20')] et nous
calculerons

( 27 )

<^( K fty,

les X,ç étant les racines de (E), les des constantes qui seront choisi(*s
ultérieurement.

T.,es parties réelles de étant positives, les termes sous le signe;
somme sont finis ou, tout au plus, infinis pour y = o d’un ordre
inférieur à un nombre plus petit que i. li’intégrale (27) a un sens et
l’on peut utiliser la règle de Dirichlet pour en transformer chacun
des termes. On arrive ainsi à mettre (27) sous la forme

( 28 )

/'

oiy) P(y, zxty — H( z)

COMPLÉMENTS AUX RÉSULTATS PRÉCÉDENTS.

l85

( 29 ) ll(’z) j' h' (y )/*•-"-' dy,

1 * ^

(3<)) ;K(7, /:' r, ^ rf!; I .

Nous transformerons F tni y calculant d’abord les termes qui
d<'pendenl des «/. Après des calculs faciles ces ternies s’écrivent

2 '^'"'iTiTTzrT*

iS /V

La j3remiére somme disparaît puisque les X^soiit les racines de l^^ua-
tion (E). I.a seconde somme peut ètnî réduite à ses termes corres-
pondants à i — O à condition de (dioisir l(*s de façon qm»

V

À, — /

O |)<mr / = I . i>. . . . , — I .

I^es équations (3i) expriment que ^ admel \os zéros

ÆÊÊm s Z /. V

2. .'i, . ... n. Prenons

< ( — *>1(3 O ) . . . ( J — // »

As i Z — Ài I A/, >

nous aurons pour la valeur

.1 X.v — •> I I À, — ’i I ... I / s — // )

(i 3 ) , : T

( A, — A, I ... * A,-- A„ )

avec au dénominateur toutes les dilVérences 1, — X/ipour,ç^A. Eu
prenant les parties principales des deux membres de (3i>.) pour z ~ 00 .
on aura

(3',) 2/'"^

et, aisément, on établira aussi que

( 3,1 ) > — = c- =

y. O.

(// -h i)

in — i > :

( Al — n . . . ( X, — n nav

i86

CHAPITRE VU.

Les Kf étant ainsi choisis, les termes de F qui dépendent des ai se
réduisent à ifai. Les autres termes s’écrivent

( 3oi ) K, /(/, y)-^J' /î v> C'*-'-" ;

on les transformera par une intégration par parties et, tenant compte
de (34), on aura ainsi

(3o') V{y,z)=

/(.r, 3 )

0

n

-2^ K,( x,~ « - </:■

18. Après ces préliminaires le théorème l s’établit par le raison-
nement suivant.

Toute solution de (aS) vérifie (ao') et, d’après le calcul précédent,
satisfait aussi

(35) f 9(^) F(jk, 3) = H( 3 ).

Or c’est là une nouvelle équation de Volterra à laquelle s’applique la
méthode du Chapitre précédent. Le second membre H ( 3 ) est fini et
continu ainsi que sa dérivée. De même, d’après (3o'), F ( )', z) et
Fj(j', z) sont finies et continues et la diagonale

ne s’annule pas pour o<j^< /; (33) a donc une solution unique.

Reste à vérifier que cette solution satisfait bien (a5'). Or. pour une
telle solution, l’expression (a'^) est nulle; multipllons-la par dz
puis intégrons de o à w (o^u^/). En donnant à q l’une des valeurs
a, 3, . . . , n et échangeant les deux signes d’intégration il vient

^ ''(r — jT ) jK'/-"-' ^ <iy-

D’après les relations (3i) le dernier terme disparaît et, posant

K, 3

-X.+I f"

•A

^Hy)y>>-'‘-' dy,

COMPLÉMENTS AUX RÉSULTATS PRÉCÉDENTS.

187

il reste

= O

(q = n),

auxquelles on joindra [puisque (27) est nulU; |

- 4 “ (’i -+- . . . -f- t’/j = O.

Le d('‘lerininanl du syslcine linéaire ainsi formé n’élant pas nul, on en
tirera

Pç = O, (l’où ‘1>( r ) = 0 ,

c’esl-à-dire l’équation ('-*5'). Le théorème I est ainsi établi.

19. L’étpiivaleuce (jiu* nous veuon?» de reconnaître entre les équa-
tions intéf'rales (aS’) et (35) donne le

Théorèmf il - - Sous les conditions posées pour le théorème \,
l'équation ( 25 ) se ramène à V équation de première espèce (35 ) à
laquelle s'applique la méthode du Chapitre précèdent.

H pourrait sembler, de ce qui précède, que la résolution de (2,5)
suppose, pour écrire ( 35) la détermination des racines de l’équation
(K). Il n’en est rien. ,M. Volterra montre en ellet comment trans-
former H (, 3 ) et F ( y, 3 ) de façon (pie n’y apparaissent plus expli-
citement les X,ç. Ou a

2

1

K.y U*» = ^ K.v( I - 4 - // — I

^ ( « — I )"' v I.- 1 '

Mni fn\ mmBs
0 1

1 A ~ - 4 “ I )

el, de même,

//

K 4 - ( X,,. — n — 1 1 II' •

V* (u — \ vy 1 ,- -, '

=Zé,. -sn— L.

, ( X,— m ■+■ 1 ).

Dans l’un et l’autre cas les coefficients de (a — i)"* sont des fonctions
symétriques des racines X,, (jui s’expriment rationnellement au moyen

l88 CHAPITRE VII.

de ao, «<, . ... a,, : soient

^ l. ... y ^n)y O'Oy y ... y )

ces coefficients. On aura

(K — I

m !

A;,i(ao, (Il J . . ., On) a,, 1 /A )

et

2 K.,( X.,.— n — i)</X.

1
X

^2,

. iiv : N

^ -j • • M (<7o, fïi, . . ., a,, \ U),

m\

Théorème IIÏ. — Sous les conditions du théorème 1, Vècjua-
tion (25) est équivalente à

m

Of

f^y.

y"

(^aoy ....<>„ dy.

{y)dy

20. Passons au cas où (E) a des racines à parties réelles néga-
tives ( ' ).

]\ous ferons d’abord la remarque suivante : X,, X.>, ..., X,- désignant
les racines de (E) à partie réelle positivcy on a le

Lemme. — U équation ( 20 ) a le.'i mêmes solutions finies et con-
tinues que

f o{y)F'(y, z)dy = H' (Z)

r

(3y ) H'( 2 ^'s .s f I h! { y) dy

./rt

( 36 )

avec

(') Nous suivons maintenant l^analyse de M. Holmgren qui a complété le résultat
(indétermination de la solution) obtenu pour ce cas par M. Volterra.

COMPLÉMENTS AUX RÉSULTATS PRÉCÉDENTS.

i8t)

et

(

37') V'{y,z)= o'iyi J»-/--» - 4 -

0

r

— ^ k;» — // — I ) 3-/..+«-/h-i Ç ^

i/v

/(?.î étant définis par

r

K’,

( 38

O ( y = // — ^ /i

//at permet de prendre

I A,. — /M . . . ( A„ — // -4- ;• > )

K^. — : ^ ; ,

Av— A, ) . . . ( Av™ A, I

les (î- avant les valeurs

(If = ( // — t )a, / ; ;

Av — f — I

et Véquation algétbrique

I V n <1

( h I

JJ. — 1 a ~ ( /I — r) — I

admettant pour racines les autres racines de (E). soient ).,+( /;i.

La (ItWnonslralioa so fait en n'prouanl les calculs prècédenls (u"' 17,
18). Il suffira ici d’indiquer que. pour juslilier l’énoncé concernant (E'),
l’on ('crira cetUî équation

1 ) ( A,

O.

Or Xv et jUL étant des racines distinctes de (E) on peut remplacc'r le.^

ti — r n

sommes ^ par ^ (ui clian^eanl les signes des divers termes : celte

substitution fait tout disparaître, à cause des (38).

L’énoncé précédent permet de remplacer l'équation proposée par
une* équation aiifilogue pour laquelle l’équation (E) n’a plus de
racines à parties réelles positives.

Nous allons donc nous placer dans la suite dans le cas où l’équa-

CHAPITRE VU.

190

lion (E) a toutes ses racines à partie réelle négative. Les développo-
nients ultérieurs supposeront d’ailleurs seulement que

Y et y... restant bornées et intégrables dans le champ et

ce sont là des conditions satisfaites parle noyau de l’équation (3()).
noyau qui. quand on utilise le lemme, remplace le noyau /.

21. Revenons alors à (aS) où nous admettons que toutes les racines).,,
ont leur partie réelle négative. Il ne peut plus être question de
calculer l’expression ( 27 ), mais on peut calculer l’expression analogue
où la limite inférieure d’intégration est remplacée par un nombre
fixe (o <C - 0 ^ l) soit

H

{ 39 ) ^ K,,. j <I>I y )yl-.-n-\ ,fy^

les Kj ayant les mêmes valeurs que plus haut.

L’équation (20) entraîne que (^9) soit nulle, ce qui s’écrit

11

K,, S"*'»*^* j' h' {y) y^ (ly
1

n

= 2 K., I y ?( r)/(

C© 0

d’où enfin ( ' )

n

( 4o ) J dy

r* _

= J ?('J)F( J, z)dy

J" 9(y)(fy J' ? I.

(') Pour échanger l’ordre des intégrations on notera que

COMPLÉMENTS AUX RÉSULTATS PRÉCÉDENTS.

19I'

Les termes du second membre qui contiennent les cti s’explicitent
aisément et conduisent à

avec

(in

9(r

Pour transformer les termes restants on adoptera, en ce qui concerne
ceux (jui proviennent de F, l’expression (3o, ) (n“ 17); en remplaçant

l’intégrale dX, de (3oi) par ^ rfÇ + jT et réduisant, on met

enfin (4o) sous la forme suivante :

( 42 ) H(3, 3„)= f y ) i y, Z, Z„\ ify I oi y \ f y, z, z» \ dy

d» d.

avec

i ft \ Il(;. Kv3~'»“*"‘ j' /i'{ yiy'‘~"~' <iy — a,

1

,1., î,.,.. =.

* I '.K, -, I

-/.-+-( f{ y.

V )

y,.

y , r'"' ()h K. w ) '

T-

les «f ayant les valeurs ( 4 1 ).

22. Il est bien clair que toute solution bornée de (ao) vérifie ( 4-^ )?
les constantes a, ayant les valeurs données par ( 4 • )• ^l*ds. inversement,
soit une solution bornée de ( 42 ) où les a, ont des valeurs choisies
arbitrairement. Mous allons constater que nécessairement les a, sont
exprimés, en fonction de (p, par les formules (4i); il en résultera, en
reprenant un raisonnement analogue à celui du n'* 18, que cp(y')
satisfait (a5).

Dérivons en effet ( 42 ) par rapport à z. multiplions par 5 * et inté-
grons de zéro à 5„. Après des intégrations par parties toutes naturelles

192

CHAPITRE VII

il reste seulement ( ' )

(-13) -y rc^yuir

n

2 3 —

A, — / — I

( ; = I, y,, ..../» — I ),

la formule ayant lieu aussi pour i— o, comme il n^sulte de (4^) f>ù
l’on fait Z — ^;o- Ce sont là des équations du premier déféré par rap-
port aux «ç dont le déterminant n’est pas nul et qui ont donc une
solution unique : or ces équations sont satisfaites par les <‘xpres-
sions (4i)> comme on le vérifie sans peine (-).

23, Tout revient donc à résoudre (4^), où les a, sont prises arbi-
trairement. Or cette équation donne par dérivation l’équation é(jui-
va lente

(-14)

3" 3„) /•' 3"

0(3)= / -7.

./(3, 3) l)Z J,, J\Z.Z)

J. ./( Z, Z) i)Z ‘ ' '

,)5

<)z

o( r ) (ty

(') Le terme qui provient de l’intégrale dans II(s, z„) s’écrit

■ - y r%r'(r)r'

^0 ^ Zo

dy

en changeant l’ordre des intégrations et eirectuant l’intégration par rapport à on
trouve qu’il est nul, compte tenu des relations (3i). De même on verra (jiie le
terme qui vient de la seconde somme dans ^ est nul. Enfin disparaissent ensemble
les termes qui viennent des intégrales figurant dans tîl Il ne reste done t|ue
les termes du texte.

(-) On a à vérifier (|ue

Z

K.

(" —j)a,

\—J — '

j O si i y y,

( Srt, si / -y.

Le premier résultat est évident parce que

(À,— 1 )(/— y) _ i y

— — À,— t — r — y _ , ■

Pour obtenir le second on partira de (3y) qui donne

V K, ( /? — / — I ) ! ( t — 1 ) ! (— > )' ^

f— I/- ^ (À,— t — iH'A,—

et l’on calculera facilement le dénominateur, produit des racines d’une é<juation qui
se déduit de (E).

COMPLÉMENTS AUX RÉSULTATS PRÉCÉDENTS. 193

à laquelle s’applique la méthode des approximations successives
(Chap. VI, !!• H).

En écrivant, pour abréger, (44) sous la forme

O ( « )

on aura la solution

2» ()\\{ Z, 2o '

f { Z^ Z ) f)z

(4S)

avec

9,( 3 ) -^ Ai 9,^ i( 2 11.

(4 >) donne bien la solution pourvu que la série soit uniformément
conviîrgente : cv sera le cas si

r' f)tT Z’*

• 0 ^ ^

<{Z -K

() Z J i Z ^ 3 )

dz < A,

A étau! un nombre^ plus petit que i : ca (|ui arrivera toujours, comme
il (‘St évident, pourvu qui^ 3,, soit pris assez petit et que l’on se
limite à l’intervalle

^

Nous pouvons donc énonc(‘r le

Théorème 1\ . - L\'*(iiiation ( >-">). où toutes les racines ont
leur [lartie rè(dle nègatia*^ a sa solution de forme

tt

çi r I = •^„( I -+-'^

les «J étant des constantes arbitraires. Les sont solutions de

l'èquation homogène

s fil. .ri//;; = o:

elles sont linéairement indépendantes.

Nous n’avous plus à v(';rifier que le dernier point. Or s’il existait
uin* relation à coeflicients constants

fl il -4-. . = O.

VOLTKRRA

13

194

on aurait

CHAPITRE vu.

Cl / dx . -<r C„ I x^'b„\x) dx — a (t = o, I, rt— iV

d n «^0

mais, d’après les (43), il vient

2 — Ait-f*)

Cki >X — I) ^ ^ = O,

k A*— < — I

équations dont le déterminant n’est pas nul et qui entraînent que
les Ck soient tous nuis.

24. Revenons au cas général et réunissons tous les résultats
précédents.

Théorème V. — Sous les conditions du début et .ïf (E) « v racines
ayant leur partie réelle positive., les n — r restantes ayant leur
partie réelle négative, la solution générale bornée de (aa) sera

9 = <1/0 -t- *1 '-^1

avec (n — r) constantes arbitraires.

25. Indication sur la méthode de Lalesco ( * ).

f{x,y) développable on série convergente

- Lalesco suppose

J) ="5,

iV — X)!’

les coefficients ap{x) étant eux-mêmes développables en série au
voisinage de l’origine. Dès lors l’hypothèse Introduite an débui
(n" IB) que les développements de f{x,y) et /(y, ,k) commencent
l’un et l’autre par des termes de degré n s’exprime par les conditions
suivantes :

a(,{x ) = x'‘( A,, -4- B„iC -t-. . .)

ai{x) = x'‘--‘{Ai-k- hix -H. . .) (t = I, V, . . n — i),

le coefficient Ao étant essentiellement dilTérent de zéro. Le second
membre h(y) de (aS) est enfin supposé développable en une série des
puissances dey qui commence par un terme en

(') Loc. cit,, [ 53 ]

COMPLÉMENTS AUX RÉSULTATS PRÉCÉDENTS.

« 9 ^

Dans ces conditions (a.o) équivaut à l’équation obtenue en la déri-
vant n I fois par rapport à v, équation qui s’écrit ( ' )

n

Lalesco en cherche la solution par approximations successives,
posant

la fonction cpn doit satisfaire (4f>) «<• l’on supprime l’intégrale qui
ligure au second membre; cp^ et <^p-\ sont liés par la relation déduite
de (4^1) on supprimant et reiupla<;ant (p par (f/, au premier

membre et par cp,,., au second. Les fonctions 9,,, cp,, . . ., 9^. . , .
se déterminc'nt ainsi de proche en proche par des équations difl’é-
renti(dles du type

(\:)

dy" ‘

Il( r) étant connu. Or les conditions posées plus haut enlraînenl que
l’équation homogène correspondante à (47) soit du type de Fuchs au
voisinage de l'origine ( •* ) <‘t l’on vérifie que l’équation déterminante
relative au point singulier y — o se ramène à (E) en changeant), en — )..

Si. dans ces conditions, h*s racines de (E) sont distinctes et telles
que leurs dill'érences ne soient pas entières, on sait que ( 47 ) •*
système de solutions fondamentales

(i = \. ■>., /» ),

lt“s ) étant régulières au voisinage de l’origine et non nulles en
ce point. La solution de ( 47 ) s'obtient, à partir des solutions fonda-
mentales supposées connues, par les quadratures que donne la
méthode de variation des constantes.

Lorsque toutes les racines /.^ ont leurs parties réelles positives,
(47) a une seule solution bornée à l’origine. Dans ce cas les
termes 90: 91, • . - , 9/1, • ■ . que fournil la méthode d’approximations
successives sont bien déterminés et l’on établit sans peine la conver-

(') Cf. Cliap. VI, §V ; les roiulilions aux limites pour — o sont, ici, identique
ment vérifiées.

(”) Cf. PicAnn, Traité d’Anatyse, t. III, Cliap. XI.

CHAPITRE VU.

196

gence de la série des (}>«. Qvielques précautious penncltenl do Irailor
de même le cas général en retrouvanl le théorème V (n" 24 ),

26 , Comparaison. - Que l’on suive l’une ou rautro méthode on
peut laisser tomber la restriction d’après laquelle les racines de*
l’équation (E) sont toutes distinctes. Lalesco indique les modifications
que subit, dans ce cas, son analyse; le lecteur verra facilement ce que
deviennent, dans le même cas, les formules de MM. V^olterra et
Ilolmgren.

La méthode de Lalesco paraît plus simple que la méthode initiale,
que nous croyons cependant préférable pour les raisons suivanU's :

a. M. Volterra détache en fait, dans son calcul, la partie du noyau

qui, si elle était seule, donnerait, après n i dérivations, l’équatiou
différentielle du type élémentaire

(/)]■+- IKy-i

avec

Al = ...

ayant pour solutions fondamentales les fonctions )• Lalesco détache*
du noyau la partie

ai,( .r ) -4- «1 (.r )

(y

./• )

ff„ ( .r j

(.r

.r y

qui, si elle était seule, donnerait l’équation (47) notablement plus
compliquée et dont les solutions fondamentales ne .sont pas connues
en termes finis. Elle aura de ce fait un désavantage s’il s’agit d’avoir
effectivement la ou les solutions d’une équation du type étudié.

b. Lalesco introduit effectivement, dans son analyse, l’équation
différentielle (47)’ Sa méthode s’appliquerait à des conditions plus
larges que l’analyticité, postulée plus haut, dey(ic, y) et à{y), mais
elle implique du moins essentiellement, pour amener l’équation (4b),
(n + 1) dérivations de (20) : il faut donc faire des hypothèses sur les
dérivées de /(^c, y) et h{y) par rapport à y jusqu’à l’ordre n + 1 ,
hypothèses qui n’interviennent pas dans la méthode de M. Volterra.

Cette dernière méthode s’applique donc sous des conditions un

COMPLÉMENTS AUX RÉSULTATS PRÉCÉDENTS.

ptîii plus larges, elle est plus directe et, au fond, plus cléinentaire.

27. Méthode de M. Pérès. — Tout récemment M. Pérès a donné une
autre méthode qui se rattache à celle de Volterra-Holmgren et qui a
les mêmes avantages (elle est cependant moins directe) tout en étant
d’un exposé irès simple ('). Cette méthodc-permet d’ailleurs d’éviter
la restriction initiale que les racines de E soient distinctes.

L’équation (26) du n" l.'l s’écrit

0( y ) —

f

y ) d\ — i\’ ( y )

(l

avec

.M(.c, j-)= —

/.> « r, y )

V ^ '

Y / ,, 1 . —

.Cy,r) ’

> t K ) — ..

vi Von a

Mtx,

y ) = .r,

y 1 -+- lin .i\ y 1

avec

n

< \\) )

lin ./•, y) =

""'(t) ï,»,’

0

rn(x. y) et iN(,r) Haut bornés d'après les hypothèses du début.
M. Pérès moiilre «pie l’on peut faire disparaître par récurrence la
partie non bornée du noyau /«(x. r) en s«* ramenant ainsi à une
éipialion intégrale à noyau borné, à laquelh* s’appliqueront les
méthodes du Chapitre précéd<*nt.

Tout repose sur le leiuiue suivant ;

Faisons correspondre au noyau ni{x. )• ) donné par (49)
{ayer Ija,^ o et. ce (fui ne restreint rien, a,,^ o) l'équation

, a y On

( ly ) , '■ -f- 7 ' ■ " -4“ ... ~f“ *,"■ ' O.

— 1 A — > — n — I

Cette équation., rendue entière (en faisant attention atix lacunes
possibles dans la suite des «, ) sera exactement de degré p si p des
coefficients a„, r/, . . . ., a„ ne sont pas nuis. Soit À| l’une de ses
racines et r le plus grand entier inférieur à n tel que arf o. Soit

(') Cf. l*i'iiÊs, [7()']; ou se n'porirra î» ce Mémeire pour plus île détails et pour
les démouslratioiis, seulement iiutiijuées dans le texte.

CHAPITRE VII.

198

les deux noyaux.

r ) = (>>i — /• — = (/•-(- 1 — >, )

r' ^ *

qui sont résolvant l'un de Vautre, on aura., pouro < a7< r (égalité
avec zéro exclue),

i» — m y \ 1“ — [X J = 1" — /«i,

OU, ce qui est équivalent,

( 50 -,

m\ {00, y) étant un noyau de même forme que m{x, > ),

(5i)

avec

0

q,( it — /)

X| — /■— I ’

O, a', .y O)

L' équation analogue à (E) formée avec les coefficients a'; coïncide
avec (E) débarrassée d'un facteur 1 — X<.

Ceci posé, convenons de désigner par un indice inférieur o, des
compositions effectuées avec une limite inférieure égale à o. L’équa-
tion (26') peut s’écrire

V / » V \ V J!,

(26") ?\ '" — «»/() = N -t- o «îo

et, si X, est une racine de (E) ayant sa partie réelle positive, il n’j a

pas d’obstacle à composer à droite par (1“ — p) et à profiter des
règles usuelles de composition malgré la limite inférieure d’inté-
gration zéro. D’après ( 5 o) le premier membre de {26") devient

i" — m, )# et l’on est ainsi ramené à une équation de même type
que celle dont on est parti, équivalente mais plus simple, parce que
la partie non bornée du noyau, m, donne une équation analogue
à (E) mais avec le facteur X — X, en moins.

Si (E) a une autre racine, distincte ou non de X< ayant sa partie
réelle positive, on la fera disparaître de même et ainsi de suite.
Lorsque toutes les racines de (E) ont leur partie réelle positive, on

COMPLÉMENTS AUX RÉSULTATS PRÉCÉDENTS.

(’iliminc ainsi enlièremeul la partie non bornée m du noyau M et l’on
est ramené à une équation de Volterra de seconde espèce dont le
noyau et le second membre sont bornés et à laquelle s’applique la
solution usuelle.

Dans tous les cas le procédé de réduction précédent permet de se
ramener à une équation de même type que l’équation initiale (26"),
la correspondante (E) ayant des racines dont les parties réelles sont
négalives ou nulles.

Laissons de côté le cas des parties réelles nulles ('), nous avons à
réduire (26") lorsque l’équation (E) n’a que des racines à parties
réelles négatives.

À, étant une de ces racines, on ne peut plus ellectuer la composition

précédente par ( 1" — p), la limite inférieure d’intégration étantzéro.
Mais il n’y a point d’obstacle à écrire le premi(*r membre de (26")
sous la foriiM*

9( i«— w, )( i« — v)

et, eu posant pour un instant

9(1“ — w, )» = cxy' I.

(ut)") s’écrit

(•»( r I — r (.)( ^ M /• -f- 1 — X, I ■ ^ ^ ^ (/X — "Si y > — f 3(0 Ç- y 1

d'où, en posant / f>)(Ç)Ç' rfÇ et désignant par L(y') le second

membre que l'on suppose connu pour un instant, une équation
diirérentielle

-(/•-+- 1 — X | » / - ) ' l >( y

• ity /■- . . •

d'où

y ( K ) — — A, / L( t) ) é/yj - 4 -

a étant une constante arbitraire. etyoT^o étant choisi ad libitum.

(*) On constate facilement, comme l'intlique Lalcsco, que, sui\ant la façon dont
se comporte le second membre pour ^ = o, ces racines peuvent être traitées comme
des racines à partie réelle positive ou négative.

200

CHAPITRE VII.

Revenant à 9 on a l’équation, équivalente à (26"),

(26"') <p(i»— mi)o=r Ç(î;)«Ii(s, -+- /* 7m/î; - t-

où m,, n,, N, sont des fonctions bornées que l’on évalue aisément en

fonction de m et de N; N, contenant d’ailleurs la constante arbi”
traire ex.

La réduction est ainsi efiectuée, le noyau non borné /nj donne une
équation E où la racine utilisée \\ a disparu; seulement (26'") n’est
pas exactement de même forme que (26").

Mais si l’on applique à nouveau la méthode, les équations réduites
suivantes re'stent du type (26'"), de sorte qu’on arrivera ainsi à faire
disparaître le noyau non borné. On aura finalement une équation
du type

r r 01 Ç ) /i/, 1 = N/,1.)' ),

J y

exactement semblable à l’équation (44) Holingren et que l’on

traitera par approximations successives en prenant assez petit
elo<y<x^, (').

Chaque racine de (E) ayant sa partie réelle négative donne une
constante arbitraire de sorte que l’on justifie bien ainsi l’énoncé du
théorème V. Le fait que l’équation (E) a des racin<'s simples ou mul-
tiples n’iutervienl en aucune façon dans la méthode de réduction
précédente. On l’appliquera en prenant successivement toiites les
racines de (E), chacune avec son ordre de multiplicité.

28 . Indications sur les cas qui échappent à l’analyse précédente.

— L’hypothèse du début 2 ,a,-^o est essentielle. On s’en rend
compte clairement dans la méthode de Lalesco : l’équation difléreu-
tielle (48), sur laquelle reposent les approximations successives ne
sera du type de Fuchs que si On retrouvera donc, pour

traiter le cas où 2,a,- est nul, les difficultés que l’on rencontre dans
d’étude d’une équation différentielle au voisinage d’un point singulier
pour lequel elle n’a pas le type de Fuchs.

(‘) Par le procédé de prolongement du n" 15 on pourra passer à un intervalle plus
grand de valeurs de la variable.

COMPLÉMENTS AUX RÉSULTATS PRÉCÉDENTS.

201

M. Holmgron, puis Lalcsco onl étudié le cas d’un noyau de forme

/( .r, y ) = m{ y — ,/• ) -+- y i,

m étant une constanle (‘t y) n’ayant pas de ternies du premier
degré en x et y de sorte que f{x. v) commence par des termes du
second degré. D’importantes études sur le même sujet ont été faites
par M. J. Horn ( ' ).

lil. KKSÜLTVTS (lÉiXKUAüX CONCERNANT LES NOYAUX
NON RORNÉS. CAS OÙ LTNTERVALLE I) INTÉGRATION
EST INFINI.

'29. Au paragraphe I nous avons étudié une catégorie notahle de
noyaux non bornés. Nous avons ensuite rencontré d’autres noyaux
non bornés, de types dillérenls : l’éipialion ('>.') ) (n" 15) de première
espèce donne, par dérivation, l’équation de seconde espèce ( 26 ) qui,
sous les conditions A et B du n" 16, a son noyau de forme

/S* •*’ * _ '

/'.>'• A I ~ *'

K(.z’. r ) élaul bornée dans le champ o^a li

l)(ï très nombreux travaux ont été consacrés à l’application des
méthodes générales au cas de noyaux non borné's ainsi qu’à l’étude
des cas qui échappent à c«*s méthodes. Nous nous bornerons à
(pudques indications générales.

5(1. Noyaux absolument intégrables. — .Signalons d’abord les
recherclu's de M. (}. C. Evans <|ui traite l’équation de seconde espèce

^ \

^(.r I — / ^ V y '

on posant dt's condilions a^soz largos concernant los discon-
tinuités possibles du noyau /( r. y) ol du sci'ond inoinbre h{y)>
M. Evans démontre que ré(juation on ([ueslion a toujours une scudo
solution bornéi' sous des conditions telles que les suivantes :

(») Cf, lIor.MGiu'.x, 145]; Lalesco, [53 1; Horn, i4()].

20?.

CHAPITRE VII.

a. La fonction /i( J') esi bornée;

( 3 . L’intégrale J' 1/(Ç, x) 1 est convergente (sauf éventuellement

pour des valeurs isolées dey) et bornée par un nombre M;

y. L’intervalle (a, b) peut être divisé en un nombre fini d’inter-
valles partiels par des points de division «0 = «n • • • i «*= b tels

que l’on ait des inégalités de type / |/(Ç, j)l<iÇ<Il<i, pour

Pour plus de détails on se reportera aux Mémoires de M. Evans (')
où l’on trouvera d’autres résultats analogues, l^e lecteur traitera

d’ailleurs sans peine le cas où |/(Ç, <; i quel que soit y

dans l’intervalle (a, 6) : la série que donne la méthode des approxi-
mations successives (c/. Cliap. VI, n**!!) est absolument et unifor-
mément convergente et doune la solution bornée de l’équation pi'o-
posée.

Dans le môme ordre d’idées supposons (■^) qu’il existe une fonction
positive et sommable telle que l’on ait (presque partout)

On a alors

\J\ x, y ) 1 ^ X), rt ^ X $ )' ^ !>.

1/- 1 < ‘•ù.r)jr o)(Ç)</;,

1/3 I < tof.r IjT oiit\) t.)( $ ) p J'^

comme on le vérifie de suite, enfin

0 ) ( X )

{ n — I) !

La série du noyau résolvant

À'

est alors convergente et il n’y a pas de difficulté à vérifier directement

(') Evans, [23 H 24].

(*) K. Hillk et J. D. Tamarkin, [43].

COMPLÉMENTS AUX RÉSULTATS PRÉCÉDENTS. 2o3

que l’on a toujours

♦ * ^ * * »

^'+/= AT ./■ = /<?•

Admellanl enfin que le second ineinbre h est tel que la fonction
|/i(^)|ûi)(f) soit sommable et en se limitant aux solutions cp qui
satisfont à une condition analogue, on vérifie que l’équation pro-
posée a une solution unique donnée au moyen du noyau résolvant :

r(y} - fi(.y)— f ') A'Cî.

ill. Noyau non intégrable. — Prenons l’équation (' ),

f(y)— f Tf ^.> = />( Y),

J,, "»(;)

où la fonction y est bornée en module par le nombre II et oii est
une fonction, continue pour a<c<(}, ayant la racine isolée ^ a
et telle que

/«( ; )

n’existe pas. iNous pouvons toujours supposer m(E) > o {a <Ct'£b)
et II < 1 [en modifiant au b«*soin m(^) par un facteur constant].
Prenons dans (02),

<p(,v') = /•(,►') 'î>( J),

où /•( >') est une fonction qui sera choisie ultérieurement. 11 vient

(->■>/'»

I / r' \ /r\ ' J- .. \

et l’on peut chercher à choisir #•(_>') de façon que les résultats du
numéro précédent s’appliquent. Prenons

_ f'‘ -iIL.

le noyau de (àa') s’écrira

f (xy) — -- ---- ^ e X-

in{x)

(') G. G. Kv.tNS, [2il.

'-io4

d’où

CHAPITRE VU.

\/(^, r)\dK< HjT' ^ ^ f: «mI = H f" e'‘ du = n< I ;

f'A-

pourvu que li{ y)&'y reste finie quand r tend vers a on aura
(cf. n" 30) une solution bornée 4 '(jk) d’où une solution

de (Sa)

f'’ <

9(/) = 'V(j)^ -'y

tendant d’ailleurs vers zéro quand y tend vers a.

La méthode suivie n’établit pas l’unicité. On peut constater que,
sous des conditions de dérivabilité de /, elle dépend du signe
de /(a, a).

32. Équations où l’intervalle d’intégration est infini. - De' telles
équations seront de la forme

(53) ?(,»')— r Ç(S)/(?1 = /<(.'")

a/_ 3c

ou bien

(53') ?('r)— r /(■'-, = />(■>■ >,

*'.V

l’inconnue étant (p. Il n’y a d’ailleurs qu’une dilférence de notation
entre les deux types.

Nous prendrons d’abord un cas particulier que M. Volterra a
rencontré dans ses recherches sur l’hérédité ( ' )• Ce sera celui de
l’équation

(54) —

où le noyau ne dépend que de la dilférence y — Ç. Si la limite infé-
rieure d’intégration était finie et égale à a, on aurait la solution par
les formules du Chapitre VI en faisant intervenir le noyau résolvant

(55) ^(r—

(‘) VOLTKRUA, [ 132 ],

COMPLÉMENTS AUX RÉSULTATS PRÉCÉDENTS.

•io5

11 est tout à fait imm(^dial que si l’on pose

fiy — •■»■) = J — X)

et, g étant le noyau résolvant défini par (55), si l’on prend de même

^iy — X ) --- (>-lA+e)i.v-.i') _ r ),

>. et £ étant des constantes positives, g sera le noyau résolvant de f.
Faisons alors l’hypothèse que

<i’où

\f{y — -r)\' À. o<j — .r<x,
— .r)

( /» — I ; 1

<*t, enfin, de (55),

I f'iy — .r) I < À

I.es noyaux f v\ g vérifient alors les inégalités

\f\ y À ; A- 1 ' ' À e-s'.'"-''»,

r’i/- ,1. f i.c(.r-Oldç<

-X A -t- i

Le jirincipe d inversion du Chapitre \ 1 s’applique alors si le
second niemhn* /<( >') est borné pour — ac <C y'^a et l’on a une solu-
tion de ( 54 ) sous la forme

y) — h {y) -- J" /k ^ I ,A'0' — ? I 'C.

également bornée.

On peut d’ailleurs vérifier que la fonction o précédente est la seule
solution bornée de (54). Dans le cas contraire il existerait une fonc-
tion4'(y'') telle que 1 <!'(,)') i 51 c* qtx-

d’où, d’après l’une des inégalités précédentes

X

-et, en répétant le |)rücédé,

i <> |< M ^

-H £

/ >>

2o6

CHAPITRE VU.

n étant un entier positif quelconque. Il en résulte que est for-
cément identiquement nulle.

33. Nous venons de voir un cas où l’on pouvait utiliser, de façon
presque immédiate, le principe d'inversion du Chapitre VI. Il
pourra arriver qu’il soit commode d’employer un changement de
variables ramenant l’intervalle à être Uni.

Nous en avons déjà vu un exemple (n“ 9). Prenons en général
l’équation (.53) et posons

Elle devient

f)

4.(Y)=- /

où 1 intervalle d intégration est fini, mais où le noyau n’est pas borné,
en général, lous les résultats sur les noyaux non bornés donneront
donc des résultats concernant des équations de type ( 33 ) et ( 53 ').

Nous pouvons donc nous limiter à de brèves indications. Voici,
par exemple, un résultat de M. Evans que nous laissons au lec-
teur le soin de justifier; soit l’équation ( 53 ) dans laquelle : «, A (y)

et/(a;,y) sont bornées et continues; b, l’intégrale J' \ f{K,y)\dl

existe; c, il existe une valeur y„ telle que f \f{K^y)\d^i<N<l,

quel que soit y inférieur à y„. Dans ces conditions, les approxima-
tions successives convergent et donnent une fonction 9 (y) qui est
la seule solution bornée de l'équation ( 53 ).

34. Ici, aussi bien qu’au n" 32, la condition que les solutions
envisagées sont bornées est essentielle pour runicilé. Il est facile de
s’en convaincre par un exemple.

Soit l’équation homogène

^—30

Où A et B sont des constantes que l’on a choisies arbitrairement. On

COMPLÉMENTS AUX RÉSULTATS PRÉCÉDENTS.

on lire, en multipliant par et en d(^rivant

— A)ç(7) = o.

•lO^

Toutes les solutions de (56) sont donc de forme où k est une

constante arbitraire et, portant dans (56), on constate que cette équa-
tion est effectivement vérifi«îe par A pourvu que A soit positif.

L’équation (56) admet donc la solution unique (p(j^) = o si A <; o,
une infinité de solutions avec l’arbitraire A* si A > o.

Or le noyau de (56) vérifie les conditions a, 6, c du numéro précé-

dent si B >■ O et

A

B

•< I . Dans ce cas nous avons bien toujours la

seule solution bornée ^(y) = o puisque, si A <; o, c'est la seule solu-
tion de (56) et que, si A > o, on a A — B -< o et toute fonction
A c(*““)’ devient infinie poury = — oo.

L'exemple précédent montre de plus que, si l’on n'impose pas au
noyau des conditions (dont a. h. c donnent un exemple), une équa-
tion (53) ou (53') peut fort bien avoir une infinité de solutions, et
même de solutions bornées (cas A > o. B <' A)(').

3o. Des conditions plus larges que celles du n" 33 ont été étudiées
par C. E. Love (-), dont nous indiquerons pour terminer quelques
résultats.

Si V intégrale

s.y i| rfÇ

converge uniformément dans tout domaine fini de valeurs de y,
et si elle est inférieure à 9'| /t(y)!, où Q est une constante infé-
rieure à I et indépendante de y , alors (53) a une solution de forme

?(>'• = A(^K)p(y)

où P vérifie V inégalité

I p(r)i < Tlîl’

Il ne peut naturellement plus être question d'unicité.

Si les hypothèses précédentes ne sont vérifiées que pour des valeurs

( ‘ ) On pourra consulter à ce sujet d’intéressantes notes de M. Kostitzin [51] et [521.
(*) Cf* Love, [08]. Pour tonies les questions envisagées dans ce paragraphe, voir
aussi Davis, [20].

2o8

CHAPITRE VU.

assez grandes de — par exemple pour

r <— r«

on pouri’a procéder par prolongement (comme au début du para-
graphe II) pour obtenir une solution valable lorsque y dépasse — y».
On écrira l’équation proposée

(53,) tp(y) = J f{%, yjd'i,

.'*0

Une fonction étant connue pour y <C — y» ou a /i\{y) et l’on

est ramené à l’équation de Volterra (53,), où l’intervalle d’intégra-
tion est fini, pour déterminer <^(y) quand y > — )

IV. - ÉQUATIONS DITES « INTÉGUO-EONCTIONN ELLES >.

36. On désigne assez souvent sous le nom à' équations fonction-
nelles des équations où intervient, non seulement la fonction inconnue
<p(^), mais les fonctions que l’on en déduit en elfecluant une substi-
tution sur la variable J' : yftxy dans le cas le plus simple. Cette déno-
mination peut prêter à confusion avec les équations fonctionnelles
générales envisagées au Chapitre Vï (§ I). Nous la suivrons cependant
dans ce paragraphe, où il ne peut y avoir aucune ambiguïté et nous
nommerons intègro-fonctionnelles des équations fonctionnelles au
sens précédent et où de plus l’inconnue figure sous un signe d’inté-
gration.

La plus simple est la suivante :

(i) 9^y) — f y i = /<(j' >,

OÙ a est une constante, que nous supposerons comprise entre zéro
et I, où P(y), h{y)’, K.(^, y) sont des fonctions données, 'f(y)
l’inconnue, X un paramètre constant qu’il est commode d'introduire
pour l’application de la méthode des approximations successives.

L’équation (i) a été résolue par M. Picard (') qui y ramène le pro-

(■) PtoAiui, [731.

COMPLÉMENTS AUX RÉSULTATS PRÉCÉDENTS.

209 ,

l)léme suîvaul : détermination d^ine intégrale d’une équation aux
dérivées partielles du second ordre prenant des valeurs assignées sur
deux courbes données. Elle a été étudiée, ainsi que des équations
analogues, par MM. Lalesco, M^^ller, Picone, Popovici, Tamarkin,
Adams ( ‘ ).

37. Admettons d’abord que le uovau y) soit nul; il rester

l’équation « fonctionnelle »

( ‘> ) 9 ~ ^ > 9 ^ ) =z hi y ) io yx a \ )

(|u*il (‘St naturel d’étudier d’abord.

K(Mnpla(;ons dans (2. ) >' par oc )\ puis a- >', etc. Nous avons la suite
(récjualions :

- P( VM oi X y ) =//(),').

! rj

5 ( r >

, O ( a V' »

( 3 )

IN a K ) o( x'\v )

* 1

/•' a" K ) — 1 ^( a'* K ) a" * v* ) — /h a'' r

(jui sont touti's satisfaites par une solution f|U(‘lconque d(^ (2). Eu les
multipliant respectiN eiinnit par i, P(y), P(p)P(ay). .... et ajou-
tant, il vient

n i—/ -1

I I ) I P( X y I. . . x'^ y >o(

(t ^ /“(»

l\nir aller plus loin nous poserons l(‘s conditions sui\ antes : /i{ ) )
est nulle pour y = o e/, duns Ciriieryallc où nous cher-

chons une solution de (2), mi a

( > ) I ) 1 r; Kfs

K étant une constante, lï autre part nous supposerons (jue le jn'o-
duit

11,^ ( )' ) = IN r ) P( x y ). . . P< X'* y)

est uniformément concergent et a pour limite H (y) dans le même
intervalle de valeurs de y [c’est ce qui aura lieu, par exemple, s’il

(‘) r/. î:, 31, 175,1 isanH-i), [I07i, [3!.

NOI.TKRRA

i'i

210

CHAPITRE Vil.

existe une constante H telle que
d’où P(o) = i].

Ajoutons enfin une condition pour la fonction inconnue <f{y) que
nous supposerons continue pour la valeur zéro de la variable et
donnons-nous sa valeur cp(o)=. a.

L’équation (4) entraîne alors, si l’on fait tendre n vers l’infini,

( 6 )

« '

(11-1= I).

La série au second membre étant uniformément et absolument con-
vergente d’après (5 ). On vérifie d’ailleurs sans peine que (6) satis-
fait bien l’équation ( 2 ) et eu donne donc la solution, unique sous les
conditions posées, telle que cp(o) = n.

38. A côté des solutions ainsi obtenues pour l’équation ( 2 ), solu-
tions qui sont continues pour y = o, on peut former aisémiïnt
d’autres solutions qui ont pour ^ = o une singularité que l’on peut
dire essentielle et dont l’existence a été remarquée par M. Popovici (').

Il suffit de traiter à ce point de vue l’équation homogène

Elle a manifestement la solution <p = n(j^). Posons

il viendra
d’où

o{y )= ll(_K » t.

U{y ) v(y ) — P(.r) Il( oxy ) (’( %y ) = «»,

yiy) = r( aj),

dette condition exprime simplement que la fonction de t obtenue en
prenant

r =

admet la période T = log«. On poui*ra donc prendre une fonction
arbitraire V(<) ayant la période T et une solution de ( 2 ') est

9(v) = Il(^)V(losy).

La fonction ainsi obtenue ne peut être continue poury' = o (f = — 00 )

(*) Nous suivons ici une analyse un peu différente; de même plus bas n® 41.

COMPLÉMENTS AUX RÉSULTATS PRÉCÉDENTS.

211

que si V se r<'*duit à une constante, ce qui nous fait retrouver l’arbi-
Iraire de la solution (6).

39. Revenons maintenant à l’équalion « intôgro-fonclionnelle » (i)
et recherchons une solution de forme

9(/)= Çof./ ) -t- X9|(y ) -H. . .-t-X''Ç„(^) -H

On a, pour dtUerminer les coeflicienis de la série, les équations
, 9Jj) — P( K)9o(aj»r=

9i( K)

I’(ji9i(a/i= / 9(i( 5 ) K( ï, y )

?„(.X I — l’(.K t ?»< = / 9„-i( ï )K( 5. ,/j.

dont chacune est du type ( 2 ).

En se bornant à la solntiou, coutiuiio p<nir^ = o. oblenue au u'*37,
on aura

( 8 ) 9/t( lll^v I -f- ^niy I -f- IN -h -4-...

ave<!

I 9„_.| ( C)K( K » '/?,

'^0

el, en imposant à la .solullon cherchée de prendre la valeur <i
pour e = O, ou aura

9 o' <») c/, 9 „( U ) ~ O i n A O K

Dès lors la première des (8) ciHraîne qiuî cpn(.>') bornée dans
l’inlervalle o< r</; posons

1 9o< .r ) 1 ^ N.

désignons par M el H des limites supérieures d(‘ | K(.c, )•) | (o <.r < rS l)
et (le j n,, ( V') |. Nous aurons

i 'l»i( Kl 1 < NMj^,

d’où, puisque (o) = o el, d’après la seeonde des (8),

, , i.iv ,. , NM H K

I ?! '.X H MM1__^( I -+- a ■+• a* . . . ) — ^ •

212

CHAPITRE Vil.

De même

La série

N

M^H" y"

a)(i — a* ) • . . ( I — *" )

Ço(7)-H X?i(r)-H.. .

est donc absolument et uniformément convergente et elle définit une
solution de (i) continue pour y = o et prenant la valeur a
pour = O.

40 . Sous les hypothèses de continuité qui ont été faites, la solution
qui prend la valeur a pour y = o est unique.

S’il y avait en effet deux solutions, leur différence vérifierait l’équa-
tion homogène

(9) 9(/) — P(y )ç(a7) — X r o($ )K(L J >

•^0

avec cp(o) = o. Or en désignant par L le maximum du module d’une
solution de (9) on a, compte tenu de (6),

I 1 <

LiMH K

I — a

1

, À"

^ /t ! ( 1 — a )( 1 — a- ) . . . ( 1 — a" ) ’

qui est arbitrairement petit avtîc n’, donc 9 (y ) est identiqueimml
nulle.

41 . De ce que l’on a vu pour l’équation (2), il (îst à prévoir que
le théorème d’unicité disparaît si l’on supprime l’hypothèse de con-
tinuité de la solution pour y — o. C’est là un résultat notable dû
également à M. Popovlcl.

Pour l’établir nous procéderons de la façon suivante. L’équation
homogène (9) s’identifie avec (2) en prenant

= X K($,

^ A

et elle équivaut donc à

= nCjKiefj) -4- X^ J o($)K(L

COMPLÉMENTS AUX RÉSULTATS PRÉCÉDENTS.

2i3

v{y) étant une fonction arbitraire telle que (n" 38)

i>( y ) = «M ).

On obtient ainsi l’équation
(lo) o( K) = )11(_)'- ) -f-

<*n prenant

L( r I = K(^ J)

^ K($, y)-+- lv( a K )

pour ^y<;<y
pour CL- y < $ <

K( Ç, CL/ y illy._i / r >

pour a'*’ \y < $ < cl^ y.

L’équaliou (lo) r.sl une (‘(jiiation ordinaire de \ ollerra. Le terme
connu présentera, avec e(.V)> singularité püury = o,

mais cetli? singularité est sans importance pour rapplicalion de la
méthode usuelle* de résolution, si, par(*xemple, i^( )')est continue sauf
pour )* o; (Tautre part le no>au L(;, )') nV\st pas borné en général
mais les (*xpr(*ssi()ns [)récéd(‘ntes entraîm*nl (|ue

< IVÎi log*Y

de sorte qu’il n’\ a pas de difficulté à définir le noyau résolvant.

On obtiendra donc pour (q) um* infinité de solutions avec la fonc-
tion arbitraire» i’( x) véridant

Vi y I — iM OL y I

et ((ui peut être prise ad libitum élans un intervalle

42. Des généralisations sont évidentes, en remplaçant par exemplt*
la substitution y\<xy par une substitution quelconque i' | w( >'),
où U désigne um» fonction par exemph» finli» et continue. On a ainsi
l’équation

^(y)—Piy)o{u(y)) — \ j oi J )K( Ç, v i,

qui pourra se traiter de façon assez analogue à ( i ) (‘t qui a été envisagée,
en particulier, par MM. Myller et Picone.

CHAPITRE VU.

n4

On peut enfin envisager des équations où figure la substitu-
tion y I u{y) itérée. Posant pour abréger

y^=u{y\ ), ...,

les équations seront du type

(1-2) ç(7) —P, (7)9(jKi — f =

( 12 ) se réduit à ( 1 ) pour k = i Qi y^z= ocy.

' Nous n’insisterons pas sur leur étude, nous contentant de remarquer
que l’application des approximations successives conduit à des
équations « fonctionnelles » de forme

(12') — )—•••— P-t-(j )?(>*) = h(y),

pour lesquelles M. Popovici note un parallélisme intéressant avec les
équations différentielles linéaires telles que

(i-S) _ F, ^ =

La solution de (i3) dépend linéairement de k constantes arbitraires.
Celle de ( 12 ') dépendra de même de k fonctions arbitraires [analogues
à la fonction c(y) introduite au n" 38 pour /r = i].

V. - ÉQUATIONS DE VOLTERRA
AVEC LES DEUX LIMITES DE LTNTÉGRALE VARIABIÆS ( ' ).

43. Soit d’abord l’équation de seconde espèce

ii't) Çljj-t-/ 7 )^/; =/(/),

—y

où f est donnée dans un intervalle — b <i y c^b et où K(a:, y) est
donné pour

— b ~y = ~^ b,

— J? 7-

En reprenant (i4)î où l’on sépare en deux parties l’intégrale et en
écrivant la même équation avec changement de 7 en — y, en changeant

(') Cf. Voi.TEnnA, [ 126].

COMPLÉMENTS AUX RÉSULTATS PRÉCÉDENTS.

oniin quand il convient ^ en — on a le système

V r

9^ — y)—f ?<Ç)K(Ç, — r ?(— Ç)K(— y')r/Ç=/’(— 7),

où l’on peut supposer 7 positif {o dy <i 0).
En posant

o( 7 ) = 9 ,(>), ç( — 7 , = 9.,(7 I,

./'</)=/'< J'. f^—y)^ftyY) («< 7 </>),

/ K,,(Ç,7)= K($,7), K,.(t,7)= K( — f,7i,

<iù') I K.,,($,7) = — K(5, — 71 , K....(ï,7) = — K(— Ç, — 7 )

< <> <_ t < K < 6 »,

on aura le système d’èqnations, de secondt* espèce,

9i ( î )

^'1

r..'

/->■

?d7 ' -+- /

9i ( ï ) Koj

(Ç, 7»di^/ 9 j(ï

d’un type déjà traité (Chap. VI, n" 25).

Les fonctions considéré<‘s étant bornées et continues ( ou simplement
intégrables) on formera, comme au Ohapiire VI, les noyaux résol-
vants S , 7 (t, y = 1 , 2 ) et l'on aura la solution

^0 *-'0

,•

?i<>' > =/2' V I -^ / /i'Ç)Sii(?,7ldï-f- / /i(?»Sj.(Ç,7»dî.

En introduisant une seule fonction S, définie pour

— — /■> <7

par les formules

y , j S,, ( 5 ,

<«9) L, ,,

Sii( 5 , 7 )= S(Ç, 7 ), S, 2 (Ç, 7 i= S(“^ 7 )>

SiitÇ, 7 ) =— S(Ç, — 7 », Ss 2 (Ç, 7 ) = — S( — ï, —y).

2I6

CHAPITRE VH.

la solution prend la forme

(20) ç(_^) y* /($)S(Ç,

44. On traiterait île façon analogue une ikjuation do forme
(•il) 9(7)-+-/' 9 (Ç»K($, 7)iiÇ =/(7)

• 'a>-

avec I a I ■< I .

Si Cf. est positif, elle se ramène à l’équation ordinaire de seconde
espèce pour laquelle le noyau K(^, y) est nul lorsque ^ •< <xy(y >> o).
Si a est négatif on se réduira à la précédente (i4) en prenant

K(5, 7) = o pour — 7 <?<3t7 ( 7 >o)

et pour ay < ; < — y 1 7 '* '•

Les fonctions précédentes définies par les (i()') sout alors telles que
celles qui ont des indices dilférenls (Kij et K^i) soient nulles
pour — <xy <. ; <7* lien résulti; que les fonctions itérées el
sont nulles dans le même champ. On a en elfet, par exemph'

KV2(?>7)

-u:

K'',V'>(S, T) ylf/r,

et les points de coordonnées (-, n). (yj. y) (coordonnées écrites dans

l’ordre abeisse-ordonnée) décrivent, quand yj varie, les segments
qu’indique la figure. Il en résulte que, dès que ^ dépasse — a y, l’inté-

COMPLÉMENTS AUX RÉSULTATS PRÉCÉDENTS.

217

gralti est nulle, l’un des facteurs sous le signe d’intégration étant
nul. Comme conséquence immédiate, S, 2 et S2< sont nuis dans les
mêmes conditions et, si l’on en déduit S(^, y) par les (19), cette
fonction est nulle dans le même champ que K(^. )'). La solution
de (21) s’écrira donc

(2-i) f

45 . La même méthode s’applique à une équation telle que

r''-'

(2't) 9(/i-e/ =./( J). ( i/>| < 1 ,

et. plu?< généralement à

(■.4»

où les deux fonctions -1(9') et ^.>(9') sont définies dans un inter-
valle* ( — />, />) et sont telles que l’on ail constamment

' = 1 '/) ! < 1/1. I --ù/il c ’/i-

40 . Équation de première espèce. — Une équation intéressante,
qui int(*rvient dans ceîrtains problèmes de la théorie des é(|uations
aux dérivées partielles, est la suivante* (') •

( 25 )

Ç' 9($)K.?,/)e/^==/.^r).

' l>y

Nous supposerons que ^

<" I , le cas où - > I s’y ramenant
'/

immédiatement et nems noierons que, par la substitution <// i )-, e)n
ramène (2.5) à la forme

( 26 )

Prenons d’abord a positif et posons la condition K(/', ) ) 7^ o.
Pour avoir une solution finie ele (26), il faudra que /(o)=:o

(') Celte équation a été envisagée et résolue par M. Volterra [12()]; en ce qui
concerne les applications signalées élans le texte cf. Goiirsat [iU ].

ii8

CHAPITRE VII.

et (26) est alors équivalente à l’équation obtenue par dérivation

('■>.7 I

avec

Vif)

?</)- Viy\<f(c[y)-h f 9(5 7)

g K( g K, y )

F(Ç, 7 .^-

KV( 5, 7 ) ^
•<■' 7 . /) ’

,A'< 7 )

•<-< 7 > 71"

C’est une équation intégro-fonctionnelle qui est du type de la jiré-
cédente (i) (§ IV) et à laquelle s’applique la méthode du n” 30 bien
que les conditions imposées aux données ne soient pas les mêmes
qu'au paragraphe IV. En particulier le second membre p;{y) ne
satisfait plus une inégalité telle que ( 5 ), nous le supposons seulement
borné et continu; d’autre part la fonction 11(7) <lu n'* 37 est nulle
parce que

lim P(g"“

7 » =

lim g

n — X

K(a"7, g"-' 7*
K( g" -'7, g''-'7)

(27) sera résolue par la série des approximations successives

( 28 )

9 — ? b ^ ^ 9 < ^ ^ ^ ^ • • *

avec

en prenant
et

?'éf> =2/I»/.<*''7dl/-i(7)

O ^

<I)„(7) = /i(y)

cp„(j)-— r I<75, 7)9 „_i(5)-'/5.

On vérifie de suite, comme plus haut, la convergence de ces
approximations et l’unicité de la solution.

Le cas où « serait négatif : — 1 <; a <; o se traitera de façon tout à
fait semblable et-nous n’y insisterons pas. Mais nous dirons (juelques
mots du cas de a — i .

L’équation (26) devient alors

f"'\(î)m.y)d^ = /ir),

COMPLÉMENTS AUX RÉSULTATS PRÉCÉDENTS.

•-<19

(*t peut être réduite au système de première espèce suivant :

r’?i(?)Kn(Ç, 7 )</î+ f 9 .(?)K,,(?, =/,( K),

^ () ^0

(•'• 9 )

en prucé<lant comme au n" 43 et en définissant
K,, (^, 7'). . . . par les formules (ifi) et (i6'). f^es .sjsiémes de pre-
mière (‘spèce ont été étudiés plus haut, mais la solution donnée
(('diiij». V I, n" 20) ne s’appliquerait à ( v.y) (pie si le déterminant

K,,( )•,)■) K|j('/, )')

l)( K, .)')= , V ,- /

K..| ( r, n -iO'- ’’ *

était dillérent de zéro. Or. on tenant compte des valeurs (if3') des k, ,,
on voit (pie l’on a D(o, o) -- r». Dans l'élude du système {'M)) on
reucontr(‘ra donc des diflicullés analogues à celles que présentait
l’éipiation de |)remière espèce lorsipie la diagonale du noyau était
nulle pour I' — o. On |)()urra utiliser les méthodes ipii ont servi dans
ce dernier cas (ce Chapitre, n" 1 1 ) ( ' )•

■47. Une ('*qualion particulière à limites constantes, envisagée par
Abel, mais (pi’il n'a pas résolue, se ramène à (a.)). C’est I cHpiation

r

c ( .r ^ ) K( ./• ) = /\ .r ».

(^ ) L'aiialoj^ic sif^naléc* iio doit paî> masquer des dilîêreiues nttlahle-s eiUre les deux
cas. Pour mettre le lecteur eu j^arde contre d(‘s coiuhisions liAtivcs, il m>us suffira
d’indi(|uer qu’il peu! arriver ((ue la solulitm f^éncrale de ( >9) [dont aussi t tdle <le
( >()')] depemie d’une fonction arhilraire.

M. Popovici donne* rcxempit* simple de réi|ualion

y

y(;) /(X^>

y

qui u’adrnettra de solutions (|ue si /(y) est fonction impaire de y et qui donne
alors

/ f

?0') ' 'ÿ;.

OÙ g(y) est une fonction impaire (|uelcont|ue. Les deux équation.s ( »9) corresptm-
ilantes ne sont compatibles (jU(’ si /(.)') est ft>n(‘tion impaire et se réduisent alors
à une seule.

220

CHAPITRE VU.

Il suffil d’y poser

pour la réduire à

? puis i K =!!(?,

j o(Ç )II( =/i ^ )

qui a bien la forme (a5).

Notons aussi que, par le changement de variables

y = e.Vi, ï =

l’équation ( 21 ) prend la forme

(211) r 'K?i)ll(Çi. — ),

où la fonction inconnue est et où '( = loga est positif pour
O <C a < I •

Par la même transformation, l’équation d(‘ première espèce ( 2 (>)
(h'vient

f '^('i )H( ïi, y-, )f/?, =

On rencontre des équations de type dans la théorie de

l’hérédité (Volterra, [132]).

48. La théorie des équations aux dérivées partielles conduit aussi
à des équations de Volterra de première espèce de forme

(3o) f ?(S) K{ï, = /(.r ) [^(y, y) Ao\,

'-'m Y )

où K(^, y) est borné et continu pour ^ et y compris entia; - h et b
et où la fonction donnée u{ y), bornée et continue dans l’intervalle
( — 6 , b), vérifie l’inégalité

I ti{ Y) \ < b.

L’équation (3o) est une généralisation de ( 26 ) et, par dérivation,
on en déduit une relation de type

?(j) — f ÿ(Ç)K(Çi = AMy),

COMPLÉMENTS AUX RÉSULTATS PRÉCÉDENTS.

2 J!I ,

que l’on résoudra par rapport à l’iuconnin* cp(y) comme l’équation
( 2 ^) du n" i6.

Signalons enfin un Mémoire [107] où M. Tamarkin étudie l’équation

P( J) ç( ui y)} -+-J 9 (ci S)) K( C, y)rr- ~.f(y 1.

Le lecteur y trouvera en particulier une étude de l’unicité des solu-
tion>> poijr des conditions très diverses imposées aux fonctions
données.

CHAPITRK VIII.

L’I^QUATION INTÉGRALE DE FUEDHOLM.

1. - L KQUATlOiN DE FREDHOl.M CONSIDÉRÉE COMME
CAS LIMITE D’UN SYSTÈME ALGÉRRIQEE. SA RÉSO-
LUTION QUAND LE DÉTERMINANT N’EST RAS NUI..

1 . Nous prendrons l’éqnalion linéainî de seconde espèce el à limites
lixes {équation de J^'redliolm) sous la fornu*

( I )

Ç( ./* )

K( U', Ç ) 9( 5 )<'/;=/( .r ), ( (t'ix ^ h).

Les fonctions données K(^*, (^jioy^au) et f{x) second membre
seront siipposé(îs, dans tout ce Chapitre, finies et continues; nous
examinerons ensuile des cas plus generaux (*). X est une constanle
qu’il est commode d’introduire pour la discussion et qui peut prendre
des valeurs réelles ou imaginaires.

La résolution de (i) s’obtient par une marche qui est de tout point
parallèle à celle qui a servi pour l’équation de Volterra, en partant
d’un système algébrique de n équations à n inconnues et en utilisant
le principe de passage du discontinu au continu. On est ainsi conduit
à la solution de Fredholm (-). li’opportunité d’employ(‘r une telle
méthode pour le cas des limites fixes avait été remarquée par
M. Volterra à peu près au moment où il traitait le cas des limites
variables et il l’avait en ell’et appliquée

(1) Cf. Chapitre ÎX, § II.

(“) Fredholm, | 30].

Dans une (onférence faite à Turin, concernant le phénomène des Seiches,
M. Volterra eut l’occasion de faire remarquer que la résolution d’une équation à
limites fixes peut s’obtenir par une méthode qui conduit à l’emploi de déterminants
infinis [ 127].

L’ÉQUATION INTÉGRALE DE FREDHOLM.

■iïi

2. Pour obtenir le système de n équations à ti inconnues, donnant
à la limite l’équation (i), nous diviserons l’intervalle b on n inter-
valles partiels A,, h,, .... h,i et désij^nerons par Xi, x-,, . . . , des
valeurs de x clioisies intérieures à ces intervalles. Posons pour abréger

y ( , ) — Y I * ,f ^ i ^ " s O Iv (.///, .r .■ ) = ^ / tf î

le système algébriijue <ju’il convient d’envisager est

n

<■>■> ~ >- ^ K,, ( / = I , V, . . . , «

1

Ou procodera connue au (Àhapilre VI (5; H), eu résolvaul les ( 2 )
el [)assaul à la limite lors(jue le iiomhre des intervalles partiels
A,, h„ t(*ud vers Tiuliui. chacuu de C(‘S intervalles tendant

v(‘rs z(n’o. On pourra ainsi prévoir la forme de la solution de (i).
solution ([u’il faudra (‘nsuile vérifier. La seule diOerence avec 1 (î
cas des limitcîs variables est (jue le dc'Merminaiit des ( 2 ) nV^st plus
éf;al à (i/i de* sorte (pu‘ la détermination d(\s o, (Xiuqiorte le calcul d(*
deux dét(*rminants.

•î. Transformons d’abord le déterminant des coeflicimits du sys-
tème ( 2 ). 11 s'écril

1 - À K 1 , /( 1

À K 1 .J A .J

>. K|„/o,

^ )

1) ==

- A l\..M //,

1 - K,,//., ...

> K..„ /i„

' À K„ t A 1

-À ...

1 /v l\ ,1 f, /t fl

i‘t c’est un polynimie en X de forme

Il -- n„ -h 1)^^ -h ^

I) "

! * P

1),,, I)',. . . . ^ étant l(*s valeurs de D et de s(‘s dérivées pour X o.
On a donc d’abord

1 ;

est la somme de n dè* terminants dont le premier (vst

K n A I
o

K,, A,
1

Ki„ A„

o

fv 1 1 Al,

I

224

d’où

de même

CHAPITRE VIH.

hiliilu :

En désignant les déterminants précédents par

i j /> \

‘O’ ‘C ;)■ -(' ; :

respeclivmnent, on aura

I) = I

4. Si D n’esl pas nul, l’nne quelcompie des inconnm's, y, |>ar
exemple, est donnée par

»4)

où Dj est un second déterminant qu’il (*sl aisé de transformer comme
il a été fait pour I). ^^ais il nous suffira de remarquer (pie l’on a
identiquement

(â)

i)/

n

l

I

5. Reste tà passm* à la limite, n augmentant indéfiniment et chacun
des intervalles partiels tendant vers zéro. Dans ces conditions, D tend

vers

L'ÉQUATION INTÉGRALE DE FREDHOLM.

avec

l\

Ço Çi )

K(?,.

U) ■

.. K(S,.

hi)

1^^ Îlî îl )

•

.. MÇ,.

1

K(ï„. ï, )

î.) .

î» 1

A(/) sera dit déterminant de V équation de Fredholrn ( i ).

l^oiir prévoir la limite d(‘ 1)/ nous utiliserons son expression (.V).
Le coefficient du terme rA\ f , est évidemment le déterminant (3) dont
on aurait supprimé la lij^in» et la colonne /, ce Cjui ne change pas sa
llmit(‘ A. I^e coefficient dhin terme fa (.v ^ i) conliendra en facteur,
d’après l’expression (3) d<‘ I), et il ap|)araît ainsi dans I)/ une
expression (\r forme

2 IX,//,,

avec

I </n

La noiiiuh! donnent à la limite une intégrait; dans latjuelle la liinilt;
de Dç, fait intervenir la dérivée fonctionnelle de A.

Lrécisttns et* dernier point. A est une fonctionnelle dt* la fonction de
deux variable K(a;, > ). Pour en définir la dérivée fonctionnelle au
point y-=-n. qui sera notée A'(t, -n), il suffira île donnera K

un accroisseintuit oK dans un tloiuaine e autour dti point y;, de
diviser raccroisseiiient dt* A par

0 K( .»•. y I t/.r ,/)

et de faire ttmdre ^e^s zéro ôK et le tloinaine considéré. 11 est clair
que la limite de D,„ fait intervenir précisément une dérivt'*e fonction-
nelle ainsi définie.

(>. Les rtunarques (jui précèdent rendent probable que. loKS(fur
A n’est pas nul. l’équation (i) admet la solution

17) 9 ( .r ) = /l .r ) — r-î- i /( ï ) A' ( ; , .r ) .

Il est d’ailleurs facile d’expliciter la valeur de A'. Ihu tous pour

là

VOLTKURA

236 CHAPITRE VUI.

cola noire attention sur le déterminant

K(Çi, Çi) ••• K(Ç., Ç„)

K(Ç„ Ç.) K(Ç,, Ç,) ... K(Ç„ Ç„)

• ••••••• ••• •••••••••

K(?«. ?i) K(Ç«,5î,) ... K(Ç„, Ç,.)

qui ligure dans le terme général de A. La variation âK effectuée sur
le seul terme K.(^i 5 Ea) donnera dans A' un terme où ligure le déter-
minant déduit de A en y supprimant la première ligne et la deuxième
colonne. Si nous posons en général

/5, ... 5„N

V'^l ... fin/

K($t, T„) K{Çi,t). 2 } ... K(Çi, r,„)

Çî, T,i ) K(Ç2) T)’) ••• r\„)

K( 5/m ■'Il ) K (5 *02)

K { , Tj,

ce terme de A' s^écrir.'i

(--I)'

::: D- -

et il est clair que chaque élément du déterminant (8) n’appartenant
pas à la diagonale principale donnera dans A' un terme de même valeur.
On aura donc

<9)

A'(5, -r. )=-)/- A Àj

en posant

(lo) aC^;

\r

•/a J a \7 5l •••

et la solution ( 7 ) de l’équation de Fredholm s’

écrira

ifî

ou, encore,

l'équation intégrale de fredholm.

en posant

(II)

r(a?, À) est dit noyau résolvant du noyau K on noyau résolvant
de l’ôqnation int('“grale.

7. Vérification. — Nous ferons dépendre la vérillcatioii de la
solution précédente de trois principes analogues à ceux qui ont été
envisagés pour l’équation de Vollerra.

Principe de convergence. — Soit M la home supérieure

de I y ) |. Les séries (6) et ( lo) qui définissent A (/,) et A À

sont convergentes quel que soit /. et représentent donc des séries
entières de

Pour l’établir il suffit de s’appuyer sur le théorème de M. Hada-
luard concernant h* module d’un déterminant d’ordre ilont tous les
éléments sont infériiMirs mi module à M : ce module est inférieur

r

à Wp- ( ' ).

227

A( Xi

(‘) Four «Hablir co thôorème [37'|, nous utiliserons un<‘ repré^'entation ^MWiinétritjue
dans Fespace à n diinensions ( ooordoruiêes rectanjiulaire'^ ). Nous Oroiis correspondre
à un déterminant

e\

•>

0

L) =

(•1

et ^ .

• (>r,

e'{

tlij .

.. <

les points M, S n) de coordonnées r/,,. La lonjiueur du

vecteur OM^ est V -f- . .-h ajf . L'énoncé du texte sera conséquence de
l'inégalité

(I) 1D1<0M,.0M,....()M,.

Cette inégalité est évidente pour 11 1 ou 3 ; pour n = 3 par exemple elle revient

à «lire que le volume du parallélépipède est inférieur au produit des arêtes.

Kn général on peut se borner au cas où les vecteurs DM, sont linéairement
distincts [dans tout autre cas D est nul cl (i) a lieuj Remplaçons ces vecteurs par

228

CHAPITRE VIII.

En considérant, par exemple, la série (lo) on aura

k("

Çt ...

h

\r

5 i ...

Çv/

v-t- 1

-H ij - ,

M désignant le maximum de | R {x. j') | et cette série est majorée par
la série de terme général

fv

v-»-1

{b — a )■' ( V ■+■ 1 ) - ,

OÙ le rapport d’un terme au précédent est

V -H 2

et tend vers zéro avec Il j a donc convergence; de même pour la
série (6).

(rautres cléfinis par

ÔMi,

ÔN. - 4 - ôTi,,

ÔN^ OMj -4-. . -+- oTl,,

où les sont des scalaires. Le déterminant L) devient D' niais sa valeur iTe^^t |>a^
modifiée. Glioisissons de façon à rendre la longueur ON.^ minimum, etc.;

X^/\ de façon à rendre ON, minimum. On a des équations du premiei*

degré qui déterminent tous les X/^!^ (déterminants non nuis parce que, dans ON/ le>

termes du second degré en X//^ constituent une forme définie positive, les O.M ^
étant linéairement indépendants). Si Ton reprend le calcul précédent en partant dc>

vecteurs ainsi définis, les termes du premier degré en X/!^ doivent disparaître

dans les carrés des longueurs de ces vecteurs : il en résulte que les produits sca-

laires ON,ON;. sont nuis et que les longueurs des ON, sont efTectivemenl

minimum.

Dans ces conditions, en eflfectuant le carré de D' ligne par ligne il reste les seuls
termes de la diagonale principale d'où

D'’— ÔNf .ÔNij ...ÔN?, < OMÎ.cÆÜ . . . ÔM?,.

l’équation intégrale de FREDHOLM. 2^9

Principe de réciprocité. — Il s'exprime par les deux relations

(i >'> = Kf;r, jK)A(/.)-f- /.y* A K( Ç, 7 )

lesquelles se déduisent de (10).

Pour justifier, par exemple, (12) partons du développement du
déterminant R ( ^ suivant les éléments de la première

\7 ?i ••• ?v/

li{*ne. Le terme général de (10) s’écrira

or. parce que

K

= — K
= -+- K

(

^ K

r h

* 1

ou voit de suite que, à l’exception du premier, tous les termes de (. 3 )
sont égaux entre eux. Eu changeant les indices des variables d’inté-
gration. cette expression (i 3 ) s’écrit

, r'‘

-nv K(.r.7)y

r* /ït ••• C-i

f "

\5t ... ;v,

^ r >;

r .

. . . / K(.r, ; 1 K (

i)! J„

/ •» \

d’où résulte (12).
Posons

rix, 7; X) = —

r {noyau rrsolvant) est le quotient de deux fonctions entières de X.

a3o

CHAPITRE VIH.

c’est une fonction méromorphe de X ; lorsque la valeur choisie pour X
n’annule pas le déterminant A(X), (12) et ( 12') s’écrivent

(i4) T{x,r;X)-^Kix,y)=X f K(x. y, X)

''a

= r(x, ?; X)K(5,

forme définitive du principe de réciprocité.

Principe d’inversion. — Les formules précédentes conduisent à
l’inversion de la relation intégrale (1) sous réserve que X n’annule pas
le déterminant A(X) et elles établissent l’unicité de la solution
donnée par

(7") ?(^)=/(-^)-X / r(^, ?; X)/(Ç)^/Î.

* «

On s'en rendra compte en reprenant des calculs analogues à ceux
du Chapitre VI [§ II]. Parlons de (1 ) dans laquelle nous remplaçons x
par n, multiplions par r(Æ;, yj; X) cl intégrons par rapport à n j)Our
l’intervalle (a, 6); il vient

f r(^, n; X) 9 (r,)f/r, — X / r(x, T^;X)f K( T„ ?) ;( ï)«'/ï

^ ''<1 '^a

= j r(.r, y] - À)/(-ri)

OÙ, en échangeant l’ordre des intégrations,

J' I r(.r, -q; X ) — Xjf TCa-, X)K(Ç, ’o ) r/?

-f Y(x^ ri; X)fir^)d-(\;

^ iÊ

d’après (i4) le premier membre s’écrit

-J K.(a7, ri) <p ( 71 )dri,

c’est-à-dire, en tenant compte de ^ — Il est donc clair que

si (i) a une solution, cette solution est unique et donnée par (7"). La
vérification que (7") est bien solution de (i) se fait de même, grâce
à (i4).

l'équation intégrale de FREDHOLM. 23i

f

8. Récapitulation des trois principes. — I. Les deux séries (6) et
(lo) (/ui définissent A(X) et sont convergentes quel que

soit X et représentent donc des fonctions entières de X.

K. Lorsque X n’annule pas A(X), en posant

l'(T, y. À)=.

y /

r(./-. j; X)-^- K(j-,^)=x r K(.r, v; X) rfs

=if r(.r,^,X)K(5,^r)^/?.

III. Dans le même cas la solution unique de (i) est donnée
par {-/'), rgalifr de forme analogue où l’on a échangé les rôles
de Q et de f et où le noyau K est remplacé par le noyau résol-
vant r.

î). L’équation associée de (i). — Nous ilôsignorons par ce nom
l’é<[ualioii

(l'j ç(.r) — X| =/( j'i.

(jui est ohtfuue en chanj^eanl le rôle des variables dont dépend le
noyau. Dap rês les expressions précédentes, il est tout à fait évident
(jue le déterminant A(X ) est le même pour ( i) et pour ( i'). On cons-
tate de même que. X n’annulant pas le déterminant A(X), La solution
de (i') sera unique et déterminée par

>> f /(Or(ï, .r;

il suffît de reprendre, à partir des équations (i4) des calculs tout à
fait analogues à ceux qui ont conduit au principe d’inversion pour (i).
Le même noyau résolvant donne donc la solution des deux équa-
tions associées.

10. Remarque. — Au lieu de prendre un paramètre X multipliant

232

CHAPITRE VIII.

K(æ:, y) on pourrait prendre un noyau dépendant, de façon plus
compliquée, de ce paramètre et définir de même un noyau résolvant
satisfaisant à des équations analogues aux (i4)* démontre que,
lorsque K est fonction entière du paramètre X, le noyau résolvant
est toujours fonction méromorphe de X. Nous aurons l’occasion d’y
revenir dans le second volume du présent ouvrage.

il. Application de la méthode des approximations successives. —

Après les résultats précédents, il reste à traiter l’équation (i) [ou
l’équation (i’)] lorsque X annule le déterminant A(X). Mais avant de
faire cette étude nous indiquerons ce que donne, pour les équations
en question, la méthode des approximations successives déjà utilisée
pour l’équation de Volterra. Bien que la solution qui en résulte
soit soumise à des restrictions auxquelles échappait la méthode de
Fredholm, elle mérite d’être donnée pour sa simplicité et pour diverses
conséquences, qui nous serviront plus loin.

Reprenons donc l’équation

(I) ç(x) — À / KfiT, Ç ) Ç( 5 ) =/( x ).

Pour la traiter par approximations successives on procédera comme
au Chapitre VI, n" 11, en remplaçant, sous le signe d’intégration ce(Æ')

par

/

f(x) + l K(x,Ç)9(5)rf$,

'^a

tirée de (i), puis faisant la même substitution dans la nouvelle équa-
tion obtenue et ainsi de suite. Après i — i telles substitutions, on
obtient une équation qui aura la forme suivante ;

(i5) 9 (ar) = /(a;) H- X J /(Ç) { RO'far, Ç) -h XK<*)('ar, Ç)-t-...-4- X'-> K'Oia-,

en posant
et

(i6)

KIDU, ^) = K(x, Ç),

K( a;, iri) $)dÇ.

L'ÉQUATION INTÉGRALE DE FREOHOLM. 233

Ou peul dire, comme au Chapitre VI, que K<'‘> est le noyau
itéré de K.

Cela amène à la solution de (i) sous la forme

f'vix, Ç; X)f(Z)dl,

^ a

mais avec une nouvelle expression du noyau résolvant F

ru, y. X)= — J", ),

0

Cl la solution obtenue est évidemment valable pourvu que la série (17)
soit uniformément convergente.

Or les (16) entraînent, en désignant toujours par M le maximum
du module de K(.r, y),

K'' ^ '>( .r. y ) = M' ■ ' I 6 — a )',

de sorte que la méthode s’appliquera et donnera la solution de (i) si
j 1 : est assez petit, certainement si

Sous la même réserve il est aisé de voir, en reprenant le raisonne-
ment du Chapitre VI, que la solution ainsi obtenue est unique. On
l’obtiendrait aussi, et exactement sous la même forme, en cherchant
une solution de (i) développée en série des puissances de X.

Comparons cette solution à la précédente. Nous avons vu que
le novau résolvant

r( j;, y. X') = —

CiJ,

A( X )

est une fonction méromorphe de X ayant pour pôles les zéros du
déterminant A(X), chacun de ces zéros étant, comme nous le verrons,
effectivement un pôle. La méthode des approximations successives
conduit au développement en série entière do cette fonction méro-
morphe. On ne peut donc espérer qu’elle s’applique quel que soit X,
sauf dans le cas très particulier des noyaux pour lesquels A(X) n’a

CHAPITRE Vin.

234

pas de zéro, mais son application sera limitée aux valeurs de X pour
lesquelles | X ] <; R, en désignant par R le plus petit module des zéros
de A(X). La formule (i 8 ) donne une limite inféiâeure, assez gros-
sière, mais immédiate, de R. On peut avoir des limites plus précises :
M. Schmidt a ainsi montré [10!^] que l’on pourrait remplacer l’inéga-
lité (i 8 ) par

À* r r ! K( ç, T, ) rf-ri < P < I,

^ fl ^ (I

12. Notions sur la composition de seconde espèce. — y) et

L( vf, y) étant deux nojaux, nous dirons que le nouveau noyau

K(j7, Ç)L(?, y)d^i,

que nous noterons

<1 » 0
H = Kl.,

résulte de K. et de L par composition de deuxième esjtèce (ou com-
position à limites fixes ('). Les propriétés formelles mises en évidence
au n" 12, du Chapitre VI pour la composition de première espèce
s’appliquent aussi à cette nouvelle sorte de composition :

associativité

(FGjH = F(GH);

distributivité

/O 0\0 0 0 OO

(F^G)lI = FH-t-GH,

0/0 o\ 00 00

H ( F -e G j = H F -h 11 G ;

deux fonctions pour lesquelles le produit symbolique de composition
est commutatif

0 0 0 0
FG = GF,

sont dites permutables de seconde espèce.

Ici encore l’introduction de la composition rond intuitive la forma-
tion du noyau résolvant par le développement en série ( 17 ).

On introduira d’abord les puissances de composition d’un

(^) La composition de second espèce à été définie et étudiée par M. Volterra,
cf, [113 J, Bibl. I. Dans ses publications précédentes elle était désignée par deux
étoiles surmontant les noyaux K et L. Nous adoptons ici une notation plus commode.

noyau K

L'ÉQUATION INTÉGRALE DE FREDHOLM.

235

0 0 0

KS K\ K«, ...

qui coïncident évidemment avec les noyaux désignés plus haut par

et définis par la précédente (i6) {noyaux itérés). On définira,

» 0

comme au Chapitre VI, le symbole d’identité K“ ou i ” et on remarquera
enfin que toute série

O 0

«1 K -e c/jK- -t- . . . 4- «nK"

définil. si elle est uniforméinenl convergente, une fonction permutable
avec R.

Ceci posé l’équation intégrale (i) s’écril symboliquement

/O 0\ 0

et l’équation ( i'). en \ remplaçant la variable x par y donne

^ n

c’est-à-dire syinboliqueuienl

— xk) =/.

Dans l’un ou l’autre cas la résoluticm dépend de la définition du
symboh*

‘ /O O \

(i-Xk)-'.

Or on voit évidemment, comme au Chapitre VI que,

(i — XKj-‘ = i«-xr.

avec

r =— (K-hXK*-4-..,4- X" K'*+‘ ;

on retrouve bien l’expression (i") du noyau résolvant pourvu que la
série au second membre soit uniformément convergente (c’est-à-dire
si j X j est assez petit).

a36

CHAPITRE VIII.

II. - L’ÉQUATION DE FREDHOLM
DANS LE CAS OU LE DÉTERMINANT EST NUL.

13. Comme prélimiaaire à l’étude des cas où le déterminant A(X)
est nul, nous devons généraliser les formules qui constituent le
principe de réciprocité (n‘* 7).

Nous poserons en général, par analogie avec ^ ^ ^ 5 »

(> 9 )

(Xi

Xi

Xn^

\y^

yi

r«’

)

= R

/j?i

y^i

• • •

Xfi ^

y» y

ht:-

1

XV
I)V_
V !

Si .

X

f •

• •

f

( X\

... Xfi

f '

a

\y^

■ ■■ y»

y

si

En développant, dans le terme généx*al, le déterminant qui y figure
suivant les éléments de la première ligne, ce terme donnera

•(

^ a ^ a

' x<i . . . Xji Si Sî Ss . • • Sv

X K

c

WW I» / • • • 1

jK/i—f yn Si Sa Sv/ I

Comme plus haut (n" 7) nous remarquerons que les termes après
le n'*’"* sont égaux et donnent

r ••• r

'^a ''a

X

V^I ... yn^i yn Çl ... Çv~i/

L’ÉQUATION INTÉGRALE DE FREDHOLM.

. f\(x,, ï)k( ^

X-i . . , X II 5* • • • Çv— l \ jf.

•J a J a \Jl yt y a ... 5v-

de sorte que l’on a la formule que nous avions en vue

( X\. X-i ... Xn \ /x-i ... Xn

r ■■■ , ' )d?d?....dïv_,

îl ... îv-l /

(■ioj A

Xi X-, ... X,i \ / x-i ... X

; X ) = K(x,.jk,)A(

J, y., ... y,i ) V/î ... J,

— A

yt ... J

( Xi x-i ... .r

y\. yi ...

-t-(— 1)"-' Kia*,. Kh)A(

' Xi

. . Xn . \

\

/ -

^yi •

• • 7'i-« J
« \

-+- X ( K ( .r 1 , ' 1 A j

.K.7 . .

• '^xV/ï

J a \7>

y-1 ••

• 7" /

cl, de même, la formule analogue

, [ XI X-i ... Xn . \ ^ . / .i’î ... J*'- . - \

I uo ) Al ; A 1 = K( Xi . j'i ) A 1 > '' )

\7i 7î ••• 7" / \7i ••• 7» /

/.r, .r:i ... jT„
— K<./-.. 7 i) Al ;

\7, K-. ... y„

-H ( — I K( ^K| > A

/.r, ... .r„-i

U Kl > A

\7î • • •

r, .r, ... ./•„ _

"'■X H= ... 7

qui généralisent les précédentes (12) et (12').

; X Kit.j.u/?

14 . Équations de Fredholm homogènes. — Prenons d'abord les
équations (i) et (1') avec le second membre nul {èquatiom homo-
gènes). Elles s'écrivent

( 21 )

Ç5 ( X ) = X

( 21 '}

9ix) = X

Nous avons déjà vu que, lorsque X n'est pas racine du détermi-
nant A(X), la solution de (i) ou de (1') est unique, do sorte que (21)
ou (21') n’onl pas d’autre solution que zéro. Il en va différemment
lorsque X annule le déterminant A(X).

L’expression de A(X) donne immédiatement, pour les dérivées

238

CHAPITRE VIll.

110-

successives par rapport à A,

Si donc on suppose que 1 ~1' est racine de A(X) avec la inullipli

( û[/ J • \

; À' J n’est pas identicf

• ym J

ment nul. 11 existe donc sûrement un entier n{o<iTi'^m) tel

que identiquement nul pour pc^n et non

identiquement nul pour p — n. Prenons alors pour X\Xî.,.Xni
yKy-x • • • y» un ensemble de valeurs y)ii ^2 • • • fin telles

que AI ; X' ) ait une valeur Ao diflerente de zéro. Dans ces

\-ni ••• •n/< /

conditions la formule ( 20 ) se réduit à

(22, a(^ ’•* X') = X' rV(^,5)A(' ••• X') rf?,

et nous fait connaître une solution de l’équation homogène ( 21 ), à
sa\ oir

.I.,(.r) = A(-' 5= ■■■ v).

\7ii ’/iï ... -ri„ /

11 en sera évidemment de môme des fonctions

= ••• X'), ...,

\^1 -^,2 TOn /

‘I»„(a^) = aT "■ xA

V-ni /

et, en général, de toute combinaison linéaire à coefficients constants

Ai<&i(æ;) -H. . .-H

13. Vérifions que les solutions ^> 1 , . . . , ainsi obtenues sont
linéairement indépendantes.

Dans le »cas contraire soient A, des constantes telles que

L'ÉQUATION INTÉGRALE DE FREDHOLM. 289

A) -j- . . . -f- A„Ort soit identiquement nul; en donnant à x la
valeur on voit que As doit être nul.

On peut aussi rattacher ce résultat au calcul de

/>

I = r’y Â^K(Ç,., çiV A,,«i»,(5,rfç

(a,, étant l’imaginaire conjuguée de A,). D’après la relation (22) on a

iir'

ïr

Ç

•> -

y ' ] —0

. ^11

... r./ }

Y

'yft

■A

Ao

#

'■J

1 = SI /• = I ,

^ 1 J

de même

y* K( Ç„. ï ; I //î

est nul. sauf si r = s et est alors égal à ^ • L'intégrale I sc réduit alors à

2 Â,.A„.

1

et ne peut s’annuler qu'avec tous les coefficients A,-.

Nous déinonlrerous enfin que toute solution de (21) est combi-
naison linéaire de

<I>i(.ri, *I»î(.c) <I»„i ./• I.

Eu cH’ct (21) peut s'écrire

[O — À'K ) ç> = 0

et entraîne, H étant un noyau queleonqin*.

( I " — À' H ) \ 1 “ — À' h ) ç =0

ou, encore.

5 = X'Fo

Fr=H-f-K — À'HK.

Particularisons le noyau H, qui restait jusqu'ici arbitraire, en posant

Jx Ç, |... Ç,.

y . -nu )

/'■ - X.) ’

\T„ ... T,„ /

H = -

24 o

CHAPITRE VIH.

l’équatiou (20'), écrite pour A X'j entraîne
( 9,4 ) AoF = K($i, 7)*ï>i( ) -I- Kfîi, . 4- K{$„, 7) $«( x ),

O O

F (f est donc égale à

n P h

K(î^, $)9(OrfÇ,

1

c’est-à-dire linéaire par rapport aux il en est de même

de 9(aî) puisque

Il II

o( .r ) = X'Fo.

16 . L’équalion homogène (21) est ainsi complètement traitée:
l’équation associée (21') s’étudie de même et l’on peut résumer les
résultats concernant les équations homogènes dans l’énoncé suivant :

Si X n’est pas racine A ( À), les équations homogènes ( 2 1 ) (2 1 ' )

n’ont pas d’autre solution que zéro.

Si X = X' est racine du déterminant et si l’on prend pour n le

X' 1 entraîne

plus petit entier tel que AI ; V\ ne soit pas identique-

\T,i ... ÏJ/t /

ment nul., si l’on fixe les imleurs des \ et des -n de manière à
donner à cette expression une valeur non nulle, la solution géné-
rale de {• 3 .\) sera

n

i

OÙ les A/, sont des constantes arbitraires et où

X'Y

\r^^ Tp» ... ïi,, /

'l•.(x) = if'' * J'V

La solution générale de (ui') sera de même

n

<p(x) =2

L'ÉQUATION INTÉGRALE DE FREDHOLM.

241

=4’' •=

Tj,

J

W.(a:)^ ^

si

les fonctions et les Wj sont respectivement linéairement indé-
pendantes.

17. L’équation avec second membre. — / gardant la valeur preco-
d(‘ure y/, revenons à réquation avec second membre

1 1 )

9 ( .r ) •

■/'

K( ) 9 ( î ) ^/; =/( æ }.

Il est clair que. si elle a une solution, elle en aura une infinité obtenues
en ajoutant à l’une d’elles la solution générale

\ I I ( X ) -H • . . -H \ n ^1* te 'C )

d(‘ Téqualion homogène correspondante.

Eu multipliant l’équation (i) par solution de l’équation homo-
gène associée, puis en intégrant, il vient

K(v),

î> A

h

/(ïj ) TO I (if\

(jvii su r<*dui( à

r= O ( / == I, 7,

n)\

nous avons ainsi des conditions nécessaires pour que (i) ait des solu-
tions pour la valeur >/ et nous allons voir que ces conditions sont
nécessaires et suffisantes.

Il suffit pour cela de reprendre le calcul du n*^ lo. En gardant les
memes notations, (i) entraîne

^{x)^f{x) — V J H( X, $)/( $ ) rfj -h // Ç F(a 7 ,

et, d’après l’expression { 2 ^) de F, le dernier ternie est une combinai-
son linéaire des qui peut être négligée. Si l’équation (i) a des

IA

V ni -r ou 11 A

CHAPITRE Vin.

‘A42

solutions l’une d’elles est

oix)=fix)-l' f H(a-, = (?« - À'H )/,

^ a

et il reste à vériüer que cette expression satisfait bien (i). Or en
substituant on trouve la condition

avec

/**

j ?. /(?)./? = O

G = K-4- H — X'KH.

Ce noyau G est tout à fait analogue au précédent F et, d'après (20),
admet une expression semblable à (24), mais dans laquelle (îgurc'nl
linéairement les

.... yViyi.

L’expression

f G('^, Ç)/<Ç)<^5

'^a

est donc une combinaison linéaire des intégrales

et ne sera nulle (jue sous les conditions posées.
En l’ésumé ; Véquation

(I)

J K(.r, 5 ) o( 5 ),/: = /■( .r ) |A(À') = o|

n'admet de solutions que sous les conditions^ nécessaires et
suffisantes,

/•*

(2.5) f = O (< = I,2. ..., n).

''a

Quand ces conditions sont remplies, une solution est

À'

(26) 9(x) =/( j;) -+-

a('' y)

X-ni ••• /

xf\(: x'V(S)d5.

♦/« \ Ç ■'il • • • 'r,ii J

l’équation intégrale de FREDHOLM. 243

et toutes les autres s'eu déduisent en y ajoutant une combinaison
linéaire des

On aura un énonci* analogue pour l’équation (i'); les conditions
nécessaires et suffisantes pour V existence des solutions seront

r = O (/= 1 , 2 , . . )

^ a

et, si ces conditions sont remplies, l'une des solutions sera

(26')

o(.r) = /(.r) -+-

'^.1

À' d'--

toutes les autres en étant déduites par addition d'une combi-
naison linéaire des •F,- ( ' ).

18 . Les valeurs de X qui annulent A(X) sont dites valeurs fonda-
mentales (ou singulières, ou caractéristiques) de l’équalion ou du
noyau. Les fonctions ou correspondantes sont dites fonctions
fondamentales ; le choix des n solutions fondamentales (ou
comporte d’ailleurs un certain arbitraire : on peut remplacer les <1>,
(ou les par n de leurs combinaisons linéaires, indépendantes et à
coefficients constants.

f{x) et g{x) étant deux fonctions, on dit qu'elles sont ortho-
gonales (c/. p. 288-299)

(27) peut d'ailleurs s’écrire fg — o si l’on note les fonctions fi^y)
0 0 ^

et g{x)^ ou O si on les note f{x) et g{y)* L’orthogonalité

expriuu! donc qu’un produit de composition formé avec yet^estnul.

D'après ce qui précède, pour que l’équation de Fredholm, où
X prend une valeur caractéristique, admette dos solutions, il est néces-
saire et suffisant que son second membre soit orthogonal à toutes les
fonctions fondamentales de l’équation associée.

(^) Il est H peine hesnin d’insister sur l’analogie des résultats obtenus dans ce
paragraphe et dans le précédent avec < cu\ qui concernent les systèmes d’équations

/ ... \

algébriques du premier degré. Les fonctions Ai " ! ) jouent le rôle de

, . ‘ \r. /

muieiirs du déterminant 1(a).

244

CHAPITRE VIII.

III. PROPRIÉTÉS DU DÉTERMINANT
ET DU NOYAU RÉSOLVANT.

19. Nous réunissons ici les propriétés les plus immédiates, ol qui
d’ailleurs seront utilisées par la suite.

Vérifions d’abord un énoncé donné plus haut (n“ 11). Le noyau
résolvant

r(.r,y, l)=-

A(X)

est, comme nous l’avons établi, une fonction méromorphe de X. U est
aisé de montrer que chaque zéro de A(X) donne effectivement un
pôle de T{x, y, X).

Reprenons en effet la formule (n" 14)

(28)

fix

qui donne la dérivée du déterminant de Fredholm par rapport à A.

Soit X = c un zéro d’ordre m de A(X), si A^^; X^ était divisible par

(X — c)"‘ il en serait de même, d’après (28), de A'(X), ce qui est
absurde.

20. Série de puissances donnant logA(X). — La formule (28)
s’écrit, en y faisant intervenir P.

A'g) ^ r
A(X;

h

r( .r, x\ \\dx

}

elle donnera un développement en série du premier membre eu v
remplaçant F par la série do composition

t" = — ( K -(- À k'- . -H k" -s- . . . ).

Nous nommerons trace d’un noyau quelconque K(x, j) l'expres-

K(ar, x)dx\

sion

L'ÉQUATION INTÉGRALE DE FREDHOLM.

245

■en notant kn la trace du noyau itéré K" (a?, y) nous aurons donc

, A^( X ) , , . , . I

( 29 ) xrry ~ — ( a:i -+- a A'ï -t- x” ' a„ -t- . . . ),

d’où, en intégrant et tenant compte do ce que A(o) — 1 , le développe-
ment en série

1 X* X" )

(3o) IogA('X)=— jA-,X-t-A-,^-t-...-+-A„— j

valable quand | X j n’atteint pas le plus petit des modules des zéros de
A(X) (c/. n« 11).

21. Genre de A(X). — Rappelons que si une fonction entière F(X)
admet les zéros , X., . , . , X„, ... et s’il existe un entier /r, choisi le
plus petit possible, tel (jue la série

I X„ 1^+'

soit convergente. F(X) admet un développement en produit infini de
Weierstrass

F( X ) = ePi'A)

»

n(-è)

P(X) étant une autre fonction entière. Dans le cas où P(X) se réduit
à un polynôme de degré n il est intéressant d’envisager le plus grand
des deux nombres « et A' qui, d’après la définition de Laguerre, donne
le genre de la fonction entière.

M. Hadamard a démontré que, le développement de F(X) étant

30

F(X)='y a„X«,

0

si

lim /i» I I = O,

F(X) est au plus de genre

Appliquons ce résultat à A(X). D’après le n” 7 (principe de conver-
gence) on a

n

, — a)"»*

246

et il en résulte que
tend vers zéro si

CHAPITRE VIII.

n* '\/ I an

a <

Donc A (À) est de genre inférieur ou égal à a. On peut d’ailleurs
montrer (Schur [ 104 ]) que pour tout noyau borné la série

est convergente. On aura donc pour A(X) le produit infini

00

(3i) =

rt et 6 élanl des constantes (jni peuvent être nulles. Ou démonire
d’ailleurs ( * ) que b est forcément nulle dans le cas d’un noyau
continu.

11 est aisé d’avoir des résultats analogues pour ^(^^5 pour U's

autres mineurs do A(X).

22 . Gomme application nous pouvons enfin caractériser les noyaux
qui n’ont aucune valeur singulière. Il faut alors que

A( X » = e''X-t-6A’ ou A( X ) = e«'-

et, d’après ( 3 o), il est donc nécessaire et suffisant que toutes les traces
soient nulles à partir do la troisième (la seconde étant forcément
nulle dans le cas du noyau continu).

On pourra caractériser de façon analogue le cas d'un noyau qui n’a

qu’un nombre fini de valeurs singulières. est alors une fonction

rationnelle dont la partie principale à l’infini se réduit àa + 26X. On
en déduit aisément qu’il doit exister entre les traces, à partir de la
troisième, une même relation de récurrence linéaire et à coefficients
constants (2).

(') Cf. Carleman, [13].

(’) Cf . Lalesco, [55 J, page Sa.

L'ÉQUATION INTÉGRALE DE FREDHOLM. 247

23. Relations diverses caractérisant des noyaux résolvants. —

Reprenons le noyau

rix, j; X )

pour lequel nous avons déjà vu les deux relations fondameulales

(I i >

0 0

r -4- K = XKr,

0 0

= À r Iv ( principe de réciprocité )

qui expriiueul cjue

/O O \ /O 0 \

I — À J' j = 1 — XK

L’une d’elles suffil à carnclcriser T, quand K est connu. Nous allons
en tirer d'autres relations, également caraclérisllqm‘s des noyaux
résolvants.

En donnant au paramètre X une seconde valeur el en nieUant en
évidence, dans T, le paramètre dont il dépend, on peut écrire

( 3 ‘a )

io_.xr(A)= ~

10— aK

0

0 0 1 0

i"-x,nx, )= J5-,

I" — X,K

d’où, après ooinposilion par r(^i) cl l'(^) respectivement et en remar-
(pianl que r(X) et r(Xi). d’après leurs expressions eu sè'rles, sont
é\ ideinmenl permulahles,

O

t'(X)

^ .0 0

1 ( X 1 j — ] ( A j -f- ( X 1 — A ) I ( A ) 1 { /> J )

0

!’( X, )

O (I 0 >

XK i"-X,K

or le second membre est idenliqueinent nul parce que, d'après (i l)»
chacun des termes de la dilTérence donne? la même valeur

(i — Xk) (i — X| k)

On a donc la relation, vérifiée par tous les noyaux i'('‘soUants,

( 33 )

r(X,)

r(X)-+-(X,-X)f(X)r(X,)

s

i'

Toute fonction qui satisfait (33) est d'ailleurs noyau résolvant
du nqyaa K(a;, y) = — r(aj, k; o) puisque, pourX| = o, la relation
(33) se réduit à (i 4)-

CHAPITRE VIH.

248

L'équation (33) entraîne d’ailleurs la relation

< 34 )

dr '' -

également caractéristique parce qu’on eu tire

(35)

d où I on retombe aisément sur le développement eu série de F.

rf" r «

rtA"

IV. - DKCOMPOSrnON D’UN lNOYAU
KN NOYAUX DRINCIPALIX RELATIFS AUX DIVERS PÔLES (').

24. Noyau principal. - Soit r(.A-, y, X) le noyau résolvant cor-
respondant à R(.r, y). Considérons une valeur singulière X — c, pôle
d’ordre m de r(a;, y; X). Eu mettant en évidence la parlie principale
de F relative au pôle c, ou pourra écrire

( 36 ) 1’ ( ,r , y ; À ) = Y( "C, y ; X ) -h r 1 ( j-, y ; X ),

Fl restant fini [)our X = c et X) étant de forme

Y(.c, y: A) =

( X — c )"<

.y,„-i ( X, r )

(X — r

A C

Nous allons voir tpie y et F| sont respectivement des noyaux
rèsoh anls de

— y; o) = /.(.r, y), — r,(.r, y; o) = Ki( .r, y i,

de sorte ([ue l’on a

hix, y)^ k{x, y)^ K, (y, y).

Celte propriété essentielle justilie la dénomination de noyau prin-
cipal relatif au pôle X = c donnée au noyau k{x, y) dont la résol-
vante donne la partie principale y de F concernant le pôle eu ques-
tion.

Pour établir ((ue y et F| sont respectivement des noyaux résol-

(') Ces résultats et eeu\ du paragraphe suivant sont dus à MM. Gours.vt, [30j,
Heywûod, [40]. Nous suivrons de très près l’exposé de M.Got;RSAT, [37].

l’équation intégrale de FREDHOLM. 249

vanls nous partirons de l’équation caractéristique (33) du n" 23.
Elle s’écrit

,0 ‘((h) — FtO-, I — l'i'Xi

■( 07 ) v : H T

A I A X I A

0,0 “ ^ ® •* 0 O

= — Y< A I •'( Xi ) — y(X ) Tl ( A, ) — ri( À I Y I Ài ) — l'ii À I ri( Ài ).

En égalant les parties singulières des deux membres pour X — c
(Xi étant considéré comme fixe), il vient

■( 38 I

7 ( À 1 ( — 7 ( À )

A I — A

H ^0 0 0

7( À ) Y( X, ) — •;( A ) Til A| )

<‘t, en changeant le rôle de X et À,, on a de mèint»

*' ( /v I )

■ y ( /. )

A,-- A

0 0 0 0
*;( A ) 7 ( A, ) — r, { A ) 71 À,

11 en l’ésulte qu(‘

0 0 0 0

7( À )r,( À, ) = r,( À )y( À| )

ol la valeur coniiiiiine est forcement zéro, puisque, d après le second
membre, celle» vahnir commune donnerail uniquemenl des lermes en
j-T — --^5 taudis que, d'après le premier, elle esl r(*giilière en
L'équalion (38) se réduil alors à

<^1 (3-) donne la relalion analogue pour F,. Les fonctions y el F^ sonl
donc bien des noyaux résolvanls el les résullals annoncés sonl justiüés.

25. Orthogonalité de deux noyaux. — J^a démonslralion précé-
dente conduil à détacher la notion intéressante de noyaux orthogo-
naux (c/‘. p. 243, la notion de fonctions orthogonales).

Deux noyaux {x^ y) et y)^ dont le produit de composi-

tion est identiquement nuL quel que soit Vordre dans lequel on
l effectue^ seront dits orthogonaux : ils vérilient donc

0 0

( 39 ) Â , A-., = O,

0 0

( 39 ) A*2 A'i

Si l’une seulement des formules (3()) (>1 (Sq') est satisfaite, on dira
([ue les noyaux sont semi-orthogonaux .

25 o

CHAPITRE Vlll.

Il est facile de donner des exemples des deux cas. On prendra

A-, (r, y) = X.,(a;)Yi(y ), k.Jx, y) = X.,(a;_) Y,(/ ),

en choisissant les fonctions X et Y de façon que

Y,(î')X,(Ç)./s = o,

X,(Ç)c/? = o,

(orthogonalilé), ou seulement l’une de ces conditions ( semi-or tliogo-
nalilé).

Les résultats du début de ce paragraphe peuvent alors s'énoncer en
disant que les deux noyaux k{x^y') et K<(æ, sont orthogonaux,
qu’il en est de même de leurs résolvantes ; quels que soient X etX|

0 0 0 0
Y( À)l'i(>.i ) = l'if À| )';( À ) = O,

et que le noyau résolvant de la somme A +K) est la somme des
noyaux résolvants partiels y et l'i.

Il est clair que toutes ces propriétés s’appliquent à des noyaux
orthogonaux quelconques : si et k> sont orthogonaux, il en sera
de même de leurs puissances de composition et de toutes combinai-
sons linéaires (ou séries)

Cf 0 A‘i -f- ff ^ -i- . . . , Oi) k'x A I A'o . . .

de ces puissances de composition; en particulier les noyaux résolvants
(envisagés potir des valeurs quelcom[ues et indépendantes (hîs para-
mètres "K qui y figurent) seront orthogonaux; enfin le noyau résolvant
de la somme étant pris sous forme de série

_ ; X-, A-., -4- }. ( A-, -f- A- J + Al A-, ) -^...1
sera bien égal à

— I A'i -H X -4- . . . ) — I A-i X A'I -I- . . . ) ,

c’est-à-dire à la somme des noyaux résolvants yi(a7, y; X) et
yti(x, y; X) qui correspondent respectivement à Ay et à k.j.

26 . Équations intégrales dont le noyau est somme de deux noyaux
orthogonaux. — Prenons l’équation Intégrale du type (i), que nous
écrirons

< )

/O 0 \ 0

(t<'-XK)ç=/

l’équation intégrale de FREDHOLM. iSl

et admettons que K soit la somme de deux noyaux orthogonaux k\
et k-i. On aura évidemment

de sorte que l'étude de l’équation proposée se ramène à celle de deux
équations successives ayant pour noyaux A', et k~i (pris d'ailleurs dans
un ordre quelconque).

Admettons que la valeur de X ne soit pas valeur singulière coin-

0 0

mune des deux noyaux A', et A.j et que, par exemple, elle* ne soit pas
valeur singulière de A | et soit toujours y^ le noyau résolvant corres-
pondant. L'équation (4o) scffi équivalente à

(W)

0 0 0 0 0 0 0 0
(i«— X A',) 9 =: ( I»~ ÀYi )/ = /— À Yi/.

(» 0 0

(3r /lov^y est nul puisque les noyaux A| etÂo sont orthogonaux,
f)ar suite aussi et . L'équation intégrale

0 0
''Tl./'

a donc pour solution [larliculière — /'Ti/- L'équation intégrale pro-
posée admettra donc des solutions en même temps que

(i" -XAj) O = /

et, si est la solution générale de cette dernière équation, que l'on

suppose exist(‘r, on aura

,0 1 .

9 = <t> ~ Xyi./.

Dans le cas où A n’était valeur singulière pour aucun des noyaux A i
et A'. 2 , le résultat obtenu résultait iininédiatenunit de la forme du noyau
résolvant.

27. Examinons, en nous bornant à l'équation homogène, le cas où
X est valeur caractéristique à la fois pour A', et k,. L’équation inté-
gi’ale peut s’écrire

/O <1 \ /O D \ t>

(/io") l*"— XAi) (i"— XA-jj ç = O,

et elle équivaut à

/ü 0 \ 0 0

(i“— X Aîj 9 = «i»

252

CHAPITRE VIH.

eu désignanl par une solution fondamentale qutdconque du»

noyau k\. Mais, dans ces conditions

<l> = XÀ i

et, par suite,

0 0 O O O

4'j *1* = X A'« A't ‘1’ = O,

de sorte que {^o") a pour solution particulière et que sa solution
générale est

9 — 4> -H <!>'.

<&' étant une solution fondamentale quelconque du noyau /> >.

Nous aboutissons donc à la conclusion suivante :

Quand'}, est valeur singulière des deux noyaux k.> orthogo-
naux., les fonctions fondamentales du noyau k, + k-, sont celles
des deux noyaux ky et k.,.

L’égalité précédente

0 0

A i 4» = O

exprime par définition ([ue <& est semi-orthogonale au noyau k^ de
sorte que l’on a aussi l'énoncé suivant :

Quand deux noyaux ky et k^ sont orthogonaux., toute fonction
fondamentale de l' un est semi-orthogonale à Vautre (').

28. Ajoutons un résultat concernant le délcriuinant A(À) du
noyau K. Il est le produit Ai(X)A 2 (X) des deux déterminants
relatifs aux noyaux A', et A j dont K est la somme.

0

On s’en rendra compte en notant que la trace de K" est la somme

0 (I ^ ^

des traces de A" (;t A" puisque

(» 0 0

et en se reporlaiu au développimieat en série de logA(X).

(*) Ceci s’appliqiui, bien cnltMulu aussi atl\ fonttions fondanientalos associées
aux <t>; si Tou veut gar(lt*r les notations de la Composition, on désignera par ^ la

^ ^ ^ ^

variable de (cf. n® 12) et la semi-ortliogonalité de U'*, qui vérifie X'rÀ,,

0 0

s’écrira W kn ~ o.

l’équation intégrale de fredholm.

253

théorème s’étend é\ideinment à la somme d’un nombre quel-
conque de noyaux orthogonaux deux à deux.

Il s’étend aussi à la somme de deux noyaux semi-orthogonaux. Si,
par exemple.

0 0 ^0 0
O, mais

0 0 0

il apparaît dans K", en plus des lernu's el Aî^. des tenues de la
forme

0 0

Mais, lorsqu’on forme la (race, l’ordre de composition de Af^ (‘tA'(
n intervimil pas, de sorti» que

O 0 0 0

trace de A'( = trace de A'( Aÿ = o,
et la déitionslralion précédente subsiste.

2Î). Décomposition d’un noyau. — Nous avons vu au début du
paragrajthe ([ue la partie principale y( X ) d’un noyau résolvant quel-
conque pour l’iiu de ses pèles 1 = 0 est elle-même un noyau résolvant
(celui (lu noyau principal A' du pèle).

.Soit un pèle dift'érent À c' donnant la partie principale
on pourra écrire

Tl A ) ^

r.»(X) n’ayanr plus ni le pôle c ni Iv poli» D’après le n’' on peut
d’ailleurs écrire

0 f 0 . 1

Y(^')L7'( >0 ) À, ) I — n

el , îiussi,

ro 0 1 0

Ly ( A ) -H Fol X > I y'( Xi ) ^ O,

il en rosulU* qu(‘

0 0 0 tt

Y(X)r.i(/., i’.(X )y'(ài ),

la val(*ur commune étant forcément zéro, puisque le [tremier membre
n'a que des termes singuliers en ). — r, taudis que le second membre
est régulier pour 1 = c. 11 en résulte enlin que

0 t)

';( X)y'( à, ) =; O

('l, de uiêimï.

Y ( Xi )Y( A) — U.

l’ar suite :

Deux noyaux principaux concernant deux j)ôles différents sont
orthogonaux entre eux.

CHAPITRE VIII.

30. Le uojau résolvanl d’un noyau quelconque K{cc, y) apparaîl
donc, sous réserve de certaines questions de convergence, comme la
somme de noyaux deux à deux orthogonaux : les noyaux principaux
des divers pôles et un noyau résiduel n’ayant plus aucun pôle.

La partie pi'incipale y ; X) du pôle X = c est résolvante du
noyau principal A(x, y) — — '[{x,y’,o) et l’équation homogèm?
formée avec le noyau K admet, pour \=zc, les mômes solutions fon-
damentales que l’équation homogène formée avec le noyau A'. Il est
donc naturel d’étudier en détail la structure d’un noyau principal et,
en particulier, de rechercher si il est déterminé par la donnée des
solutions fondamentales du pôle c. Ce sera l’objet du paragraphe
suivant.

V. DÉCOMPOSITION D’LN NOYAU PRINCIPAL
EN NOYAUX CANONIQUES.

31. Soit un noyau principal A (æ^, y) correspondant Au pôle À = c
d’ordre m et dont la résolvante est

a,„(J-.y) J-, ,r)

y(J\ y , A ) — :;r “U* . -I- ^

l — >: '

Nous vérifierons d’abord que toutes les fonctions a,(x^ y) sont de
forme

) Y/tj),

somme de produits obtenus en prenant une fonction de x multipliée
par une fonction de y. Partons pour cela de l’équation, qui caracté-
rise les noyaux résolvants

(34)

''L' l'-,

<n. - ’

(n“ 23). En y substituant y et eu idenliliant par rapport à X il vient
les conditions suivantes :

( 41 )

rt 1 = « y ,

0 D 0 0

•la» = fio ai J

0 0 0 0 0 0

a a fl = (7-1 Cl fl H- a-i cin <X\ j

L'ÉQUATION INTÉGRALE DE FREDHOLM.

255

or la première des (4i) peut s’écrire

0 <1

rti = h ai

en posant pour un instant h — «, ; il en résulte que le noyau h a la
valeur fondamentale un et que, o,(æ;), .... étant un système

de solutions fondamentales, on a

ai = Cl ( J' ) O i ( JT ) -t- c- ( y' ) Oj f a* ) ;

aj est de même forme, ear

2ai=9i(,/;i / Ci[%)a-A'^,y)d%-^. . r\(y) j «ji .r, Ç içi ( ? ) f/ï -h , . . ,

<!t ainsi de suite.

Le résultat annoncé est ainsi établi et il en résulte éNÎdemincnt que
le noyau principal considéré

k(x. y)— — y: oi

S(!ra lui aussi de forme; analogue. Nous poserons

V'- 1 />■( a-.y I = Xi ( J" ) Y 1 ( / ) -+- Xî( .r ) I -e- . . . -H Xn( ./■ ) Y\(y ).

où l'on peut toujours supposer que les fonctions X et Y sont linéaire-
ment indépendantes.

3i2. Le noyau principal peut évideuiineni être mis d’une infinité de
manières sous la forme ( 42 ), les fonctions X|, .... X^ étant rem-
placées par des combinaisons linéaires indépendantes et les Y
par des combinaisons linéaires convenablement choisies. Nous nom-
merons /’o«cfion du noyau A toute combinaison linéaii’e
des X et fonction principale associée toute combinaison linéaire
des Y. Le noyau étant mis sous la forme ( i^). X,, X^, . . . , X^, sont
dits former un groupe principal. Y,, Y ,. . . . , Y^ \e groupe prin-
cipal associé.

Il est naturel de chercher à profiter de l’indétermination dans le
choix du groupe principal pour mettre le noyau sous une forme la
plus simple possible.

33. Digression sur les noyaux de type ^yXy

CHAPITRE VIII.

d’aborder cette question nous indiquerons rapidement quelques {>ro-
priélës des nojaux les plus généraux du type

N

(43) K(j', x,( ,r ) Y,-(J),

I

les fonctions X, et Y, étant toujours indépendantes.

L’équation de Fredholm formée avec le noyau R s’écrit

(44» »(./•) — X,( .r ) Y,( ^ I 9(5 ) =/( .-r )

et il est certain que toute solution de celte équation s'obtient en
ajoutant à f{jc) une certaine combinaison linéaire des X,(t) :

Oix }= fi X ) -h \| Xi ( ./• I -4- . . . -H \\X\( .r ).

l’ortant dans (44) » |)our déterminer les Ay des équations du

premier degré dont le déterminant est

DO) ^

en posant

i — law

— Xaii

— Àf’/M

— /v a I >

1 —

— X «-/ 1 N

— Àr/oN

I — X«,s^

tl 0

an = Y/ X,- =

-- J X,(5i

1 Y^(ï)./s.

Si D(X) n’est pas nul, la solution est unique et on la met de suite
sous la forme

'< 5 )

0 Xi(.r)

Xx ( U' )

Y 1 ( J ) t — « 1 1 X ...

— Xrt.M

Y.n' 7' — Xctix •••

— Xfl>>-

obtenons ainsi,

pour le cas particulier

envisag

nouvelle du noyau résolvant. Mais on vérifie facilement l’identité
entre ^ j fonctions de Fredholm A(>;) A 1

On peut d'ailleurs passer de ce cas particulier élémentaire à des cas plus

l’équation intégrale de FREDHOLM. ti57

gt^néraux (par exemple au cas d’un noyau conliuu quelconque que l’on
considérera comme limite uniforme de polynômes en x cl y, lesqmds
se mellenl sous la forme étudiée daus ce numéi’o) (').

Pour la suite nous aurons besoin de la rcmarcpie suivanlc : si le
déterminant I3(X) est effectivement du degré N la résolvante

D( À)

se présimle comme quotient d’un polynoinc de degré au plus N — i
par un polynôme de degré N et elltï est nulle pour X oo. On vérifiera
facilement que, dans tout autre cas, la résolvante m* tend pas vers zéro
pour X — 00 ( - ).

34. Dans le cas d’un noyau principal la résolvante est précisément
null<! pour X = 00 , de sorte que D(X) est cfFeclivemont de degré ES. De
plus les fonctions X et Y doivent être telles (pie ce déterminant D(X)
se réduise à

puis(pie la s<>ule valeur caraclérislitpie est c.

3,'>. Réduction du noyau principal. -- Le noyau principal du
p(')l(! c étant

/. ( .r,y) X,( .r ) Y, (y) -i-, . . \>(.r) \y(r),

on a évidemment

À’ \ I = X I i -1- \ 2 a,' , -i- . . . -t- X X a, s ( ( — i , . . . , N ),

ce qui définit une substitution linéaire effectuée sur les fonctions
X), ..., X^.. On peut chercher à réduire celle substitution à la
lorme canonique, en recherchant d'abord les combinaisons llnéairiss

\ = A I \ I -P- , . . -1- A x \ \

(') Pour ces questions cf. Goursat, [37], p. 386, [301; Leresdi e, [-39!.

(-) On s’en rendra compte aisément en se ramenant d’abord, par siilistitution
linéaire effectuée sur les X^(j;), au cas où les coefficients précédents sont nuis
pour i < k\

volterra

t7

258

CHAPITRE VHI.

à coefftciettls constants, Utiles que

U <1

A\^ix\,

où y. est une conslanle, ce qui donne, pour déterminer y, une
équation qui n’est autre que

c’esl-à-dir(‘

O.

Dans ces conditions, on vérifie aisément qu’il existe' N combi-
naisons linéaires des \, que nous désignerons par la lettre; lesepiedles
se partaient en }>;roupes :

Oi(.r). s-il.r), t'y» (./•);

l«!s fondions de chaque j;roupe vérifiant des conditions du tvpe

/ 0 0

r I r ' )

I O <1

, / • r C t —H C ) (* l\ C •> ,

\

f 0 f>

\ rv 1 rv ^ rv

En désignant par (j/iCr) 4 ^ 7 (.v)i '^^'1(7)' •••; (.»');

V\{y)> • • • ’ •••; I*"' fondions principales associea's, le

noyau /.' s'écrit

i4()) A— ç, {x ) . .-i-

-t- ç', ( a: ) -y, ( J' ) -H . . . -4- ç-ÿ, ( X yy,!, {y )

-t- ( J!" ) '^1 1 (j' I -f- . . . -h yifjA X ) yi^i, (y )-+- ....

36. Ee;s (/jô), ewi l’on remplace' /,’ par la valeur (4^^)» et où l’on
tient com|)te' de l’indé’pendance' des fonctions principales, entraînent
alors les relations

O 0 I

1 r » = “ ’

6 O O (» f

* ■ c

00 00 I

’^7-.i rv ~ = ç J

l’équation intégrale de FREDHOLM. >;i((

ol les l'elations analogues avec les cp'v}/', • • • î aussi

que toute fonction 9, ou 9', ou 9", . . . est oi'lhogonale à cliacune «1(!S
fonctions 4> 4'^ • • • » pour les cas que inellent en évidence

les fornmles (47)*

Ces relations montrent d’ailleurs une symétrie euireles 9, 9', 9". ...
et les 4) 4^ respectivemenl, car on en déduit, par exoïuple,

/ (I O

1 9,/ = . •9,/.

\ O O

(',a) 4'/ 4'/ 1 = '•4-' '''v

f II II

9, -F 9, .■9,/.-.

d 7 . Noyaux canoniques; résolvante canonique. — l.a formule! (idj
numlre (|ue 1 «‘ noyau principal est la domine des noyaux

9H' .r ) 4, (y ) -H. . .M- ç.,/ ( .r ) 4 v <7 >•

r'i )4*l •■>'') ÿ!/ < ')

dont chacun est dit noyau canoniqur. Ces divers lunaux soûl,
d’après l’orthogonalité des 9 avec les 4'- •••> orthogonaux deux à
deux. De plus, d’après les (io) el ( 4 '’^) ( ' )» chacun de ces no\aux
donne un couple (it un seul de fonctions fondamentales associées, c«*s
fonctions étant 91 (u-) (!l 4v(.>') [‘our le premier noyau, 9,(.c) el4'/'CK)
pour le second, et ainsi de suite. / n noyau principal se (Irronipos'c
donc en autant de noyaux canoniques qu' il y a de fonctions
fondamentales linèaJiremenl distinctes.

Les résolvantes des divers noyaux canoniques s'ajouteront, puis-
tju’ils sont orthogonaux. Examinons (pielle sera la forim* de chacune
d’elles.

L(! cas le plus simple (‘st ctdui où, <j étant «‘gai à 1 , le noyau cano-
ni(|ue se réduit à

/«■ vi< •'•) 4 i(.>" '

a\ ec

Il 0 I

^ —

y I y I

c

(‘) J)ans lesquelles on peut (rai!lcur.s reniplaeer k par le noyau canonique corres-
pondant au groupe <las fooctions ^ ^ que <*oncenient les formules.

26o

CHAPITRE VllI.

Dans ces conditions, les noyaux il(^r('‘s (puissance de composition)
sont

de sorte que le noyau résolvant, calculé à partir du développement en
série, est

ç, (./•)'{/, (k)
ï< .r, r ;>>)=— ^ V— ’

le pôle correspondant étant du premier ordre.

0 0

Passons au cas général en rappelant que les 'j'y'p/ •'’Ont nulles, sauf
[d’après les (47)] :

OU 1

<491 ■>/?/=-»

r

130) •{,,0,.^,,= -.

En louant compte des (49) seulement, il apparaît dans les noyaux
Itérés successifs des termes tout analogues à ceux qui ont été oblenus
pour = I . De ce fait, le noyau résolvant cherché contient
l'express ion

9 1 ( -c ) (_y ) -t- ç,/( .r )

X

Mais, à cause des (oo), le no>au itéré A- contient aussi un ternie
en cpi (x)(];..,(j^) -4- . . . + (a:^)4''/(jr) «vec le coefficient on voit de

suite que ces termes se retrouvent dans les noyaux Itérés suivants
avec les coefficients 4> •••> et ils donnent donc en tout pour le
noyau résolvant

y [9 1 ( .r ) ’î'-- (9' ) -<- • • • + ?7 - 1 ( •<^ > '^/ <'7 ) 1-

Ou mettra en évidence, de môme, des termes en

9i(.r

dans À'^ et les suivants, et ainsi de suite. Finalement le noyau

l'équation intégrale de fredholm.

261

résolvant sera

i '-c

i:-ÏÏ

t‘l il a le pôle c avec l’ordre q.

X\'/“' ç, >■)

118 . Conséquences. — Reprenons un noyau quelconque K(j7,y),
et envisageons le pôle c de la résolvante pour lequel il y à n solutions
fonda inenlales distinctes : « s(!ra dit rang du pôle. Le noyau prin-
cipal eorrcspoudanl se décomposera en n no^aux canoniques coin-
pninaul respectiveimmt q^. q^. . . . , //„ fonctions principales, et il est
clair, d’après ce qui précède, que Vordre m du pôle est le plus grand
des nombres q.,. .... y,,, tandis que le degré p de multiplicité de
la l'aeine c du détenu inaut A(X) sera

/> = f/ l “H y -i n •

On a donc les inégalités

-4- n — I ^ /» i mn .

Un cas particulier intéressant est celui d’un pôle du premier
ordre m — i. On a alors /> = n. Les fonctions princij>ales coïncident
avec les fonctions fondamentales. En désignant ces dernières
par 9i, ©2, • • . 1 (pn et par 4^1 , 4-*’ • • •' fonctions fondamentales

associées, chaque noyau canonicpie sera

pourvu que l’on choisisse les Çj et les 4/ île façon à satisfair(4

0 (1 O 0 I

i5i) 4x3/’= O (ï /-/>', 4'?' = -»

ce qui est facile.

Le cas du pôle du premier ordre est d’ailleurs caractérisé par la
condition suivante :

Aucune combinaison linéaire des fondions fondamentales ç
n’’ est orthogonale à toutes les fonctions fondamentales associèes'i^.
La condition est bien nécessaire, d'après les (01); d’autre [)arl,

262 CHAPITRE Vni. — L'éQUATtON INTÉGRALE DE FREDHOLM.

les ( 49 )» (5o) montrent que, dans le cas d’un pèle multiple, il exisleiTi
au moins une fonction fondamentale orthogonale à toutes les
associées. L’énoncé est ainsi justifié.

39. Envisageons maintenant deux noyaux principaux k et
correspondant à des valeurs caractérisli(|ues différeutes; soient

Ÿj\y) systèmes correspondants de fonctions
principales (qui correspondent aux divers noyaux canoniques de k
et de H est facile de voir que toute (p; ou tp/ est semi-orthogonale
au noyau et mee versa.

Prenons, par exemple, (pi qui satisfait, d’après (

on aura
puisque
Pour

0 0 0

!p, = CAS,,

Il 0 II »

= cAC’ As, = O,

Il II

Il II

?2 = — ®i ■<“ '’A pa,

on aura la même condition, etc. Comme conséqucnc(i immédiate, on
a que toute fonction principale du noyau A est orthogonale à toute
fonction principale associée du noyau A ( ' ).

Nous avons déjà vu au n” 36 <}ue, étant donnés les divers
noyaux canoniques qui forment un meme noyau principal, toute
fonction principale de l’un d'eux est oriliogonale à toute fonction
associée d’un autre, et les dilTéreuls noyaux canoniques envisagés
sont donc orthogonaux entre eux. En rapprochant cos résultats de
ceux qui viennent d’être établis, on voit que le noyau quelconque K
donne naissance à des noyaux canoniques qui sont orUiogonaiu'.
qu'ils correspondent au même pôle ou à des pôles différents, cl
que les fonctions principales de l’un des noyaux canoniques sont
orthogonales à toute fonction principale associée de tout autre noyau
canonique.

(^) En particulier, les s(3lutions toiulaiiicntales des deux équation.s associées (|ul
correspondent à des pôles différents sont orthogonales.

CHAPITRE IX.

COMPLÉMENl'S.

SYSTÈMES IV ÉQUATIONS INTÉGRALES; CAS DES INTÉGRALES MUI/ITPLES.

NOYAUX DISCONTINUS.

Nous rôuuis.sons diiiis le présent Chapitre l’élude de questions assez
«liverses. Toutes concerueut des extensions possibles de méthodes qui
ont été (îxposées (Chap. VllI) dans le cas le plus simple.

l. — SYSTÈMES irÈQlJATIONS INTÉGUALES.
ÉQUATIONS OU FIGURENT DES INTÉGRALES MULTIPLES.

1. Systèmes. — Fredholm a indiqué comment sa méthode pouvait
être applicjuéc à uu système de «• équations inléf^rales à n fonctions
inconnues

ç, (,<•), Oi(.C) 0„{x).

l’ar un(* analyse très élégante il ramène en elfel un tel système à une
seule é(piation intégrale de son type (').

Nous pouvons nous borner à examiner le cas de deux équations
que nous écrirons

9,( ./• I — À f Kii(.r. ï I9i( 5 I f/ï — X f Ç) ?■.(?) =/,(./•),

— KiPa-, Ç)9i ( 5 ) — "K f Kti(x, = /i( x).

en admettant, ce qui ne restreint pas la généralité, que l’intervalle
précédent (a, h) est remplacé par(o,i). Les seconds membres /« et/.

( ' ) FnEDiintM, [30].

264

CHAPITRE IX.

sont donc donnés pour i , les noyaux K, 7(0;, y) pour

o<y<i; on cherche dans le mêinc intervalle les inconnues 9t(a?),

Construisons un nouveau noyau K(æ;, y), dans le champ

de la manière suivante : nous prendrons

r ) = K|i(.r, y ) pour og./;<i, o^y<i,

K(.r, r ) = Kj; ( X — I , y ) pour C. i,

K(x, r ) = y — 1) pour o^.r '.'i, <

K( .r, y ) = kjjf Æ' — i,y — ij pour =

Le noyau K prend donc les valeurs de Kn(.f, y), K..)(x — '7^)-
K|.,(a?, y — i), K..)2(-f — 1 , y — 1) dans les carres respectifs (1), (a),
( 3 ), ( 4 ) de la figure.

0 1 2 •"

Fig s.

lleinplaçoiis enfin les deux fonctions /^(,v), /o(.r) par la fonc-
tion y (.r) donnée par

et posons enfin

ç(a:j = Oi(jr) ç(,r) = 9j(Æ' — i)

Le système (i) pourra être remplacé par l’équation unique

(•>) <f(x) = l f K(>,

* ^0

à laquelle s’applique la méthode générale donnée : le noyau K.(æ:, y) et

COMPLÉMENTS.

265

le second membre f{x) sont en général dlsconlimi s (pour a? — i , j'— i ),
mais il est bien clair que de telles discontinuités n’amènent aucune
difficulté.

2. Équations intégrales où figurent des intégrales multiples. — -

Prenons par exemple

<:<> K) — À r d"-

f

</r,lv( .r, i ^ T, )o( ï. /} ) =/( .r,

La méthode de Fredholin s’appliquera : il suffira de remplacer dan^
les formules que nous avons données chacune d«;s variables ,

par un groupe do variables (x, )•), (H, vî), . . . paraissant dans la
nouvelle équation. C’est ainsi, par exemple, que, pour écrire le déter-
minant do Fredholm de l’équation (.1), on prendra

1 ' J" I ) '2* J i J ••• J J' V

lv( .ri, ji I -^I- .ei), K( .ri. I ■•., Iv(.r,, | .r, , j,, »

î ’ • * 7 • • • 1 • •

K( .r.„ 1 ,r,, vi), K(.rv. .Vvl.r.. .... K( j;-.,, r-, )

et l’on formera la série

A(

^ \ X I . J I ; ... ; .r.„ >•., /

Le champ d’intégration de l'équation (i'I) (carré : o<^, )'<i)
pourra d’ailleurs être remplacé par une aire qtielconque du plan .r)'.

Plus généralement on est conduit, par des problèmes de la Physique
mathématique, à des équations intégrales pour lesquelles le second
membre cl l’inconnue sont des fonctions d’un point M pris arbitrai-
rement sur une multiplicité "V appartenant à l’espace ordinaire
(ou à un espace géométrique quelconque). Le noyau est une fonc-
tion K(M, P) de deux points M cl P variables sur la multiplicité 's’.
Désignons enfin par dP un élément d'étendue (lougiuîur, surface,
volume, etc.) pris autour du point P, les méthodes du Chapitre précé-
dent vaudront encore pour l’équation

(1) 9(M) — X r K(M, l>)(p(r’)r/P =/(Mj

J

206

CHAPITRE IX.

(où l’intégrale est prise par rapport au point P et étendue à la muiU-
plieité “V) : on remplacera encore les variables . du Cha-

pitre VIII par les points M, P, etc.

3. Notons enfin que, dans le cas d’un système d’équations du
type (4), on pourra, par le même procédé qu’au n" 1 , se ramener à une
seule équation.

11. - NOYAUX DISCONTINUS.

4. Divera t 3 rpas de noyaux discontinus. — Nous revenons à l’é({ua-
tion simple de Fredholm traitée au Chapitre Vlll dans l’hypothèse
que les fonctions considérées étaient finies et continues. Il convieni
d’examiner maintenant des hypothèses plus générales.

Le cas le plus immédiat sera celui d’un noyau K(.r, »•) reslant
borné, mais pouvant avoir des discontinuités sur certaines lignes
formées, par exemple, d’arcs continus et à tangenle conllnue, en
nombre fini ou dénombrable. Il est d’ailleurs utile de distinguer
deux sortes de telles lignes.

Les lignes de discontinuité de la première sorte seront caractérisées
par la condition de n’être rencontrées qu’en un nombre fini de pninis
par une parallèle à l’un des axes. On vérifie très ais(*ment que la
discontinuité correspondante disparaît par composition; de même
R(.r, y) étant un noyau de pi'cmière sorte (sl /(-c) une fonction telle

que / 1 dx existe, une fonction telle que

rK(.r,

'a

sera continue.

Les lignes de discontinuité de la seconde sorte seront constituées
par des segments parallèles à l’un des axes. L’une de ces lignes étant
sur la droite x~x^, il arrive souvent que K.(.r, >') a des limites
(différentes bien entendu) suivant que x tend vers par valeurs
supérieures ou bien inférieures. Nous désignerons de telles limites,
suivant une notation habituelle, par K(j'.‘„-)- o, r) et K(a7„ — o.j).
De Uîlles discontinuités ne disparaissent pas forcément par coni()o-

C(^PLiMENTS.

a67

sitiun; on rolrouvera en. général dans une inlégi^ale

la disconlinuiié (de seconde sorlc)-q«’anra le noyau pour

l\ous av«>m déjà rencontré un cas (n" 1) de discontinuité de la
deuxième sorte. Des discontinuités de la première sorte s’intro-
duisent de même tout naliirellemenl. Nous en avons même déjà eu
un exemple (Cbap. VI, n‘‘ 4) : l’équation de Fredholm

9 1 ./■ ) — K I' Kl ,r. ? I ? ( ? ) = /( .r ;

^ (I

SC réduit à l’é([ualion de VoUerra

oi.ri — X / Kl ./•, Ç lol 5 ) //$ — /(.r ;

si l'on suppose

K I ri = <> pour y , • r ;

un tel noyau aura évidemment, en général, pour ligne de discontinuité
( lie première sorte) le segment y — .v.

î>. Ou pourra considérer aussi des noyaux pour lesquels les discon-
liuuilés sont réparties do façon plus compliquée. Il y aura lieu égale-
ment d’examiner les noyaux non bornés.

Fn cas particulier important, et que nous examinerons par la
suite, est celui des noyaux qui deviennent infinis pour r —

coiumi,' î ( o <; a < I ). Une classification générale des noyaux

(y — ./• )* ^

non bornés, du point de vue de la résolution des équations intégrales
correspondantes, paraît devoir reposer sur l’existence d’intégrales
telles que

1 K(?,

ou

h ^ h

K ( J. 'iT) ) 1^ é/Ç (l’t\ ( I < a < A )

'238

CHAPITRE IX.

Cl aussi sur le fuil que dos intégrales telles que

sont ou non bornées quand x varie.

Enfin, pour terminer ces remarques générales, indiquons le cas où
l intervalle d intégration est infini. Comme on l’a déjà vu à propos
des limites variables (Gliap. \ 11, ^ lH), on peut toujours se ramener,
par changement de variable, à un intervalle d’intégration (a, h) fini :
en général on reporte ainsi, sur la forme du noyau, la singularité due
aux limites d’intégration infinies.

lous ces cas ont été l’objet de travaux nombreux et leur étude est
cependant loin d’être épuisé(!. Nous essayerons, dans la suite, de
donner une idée de quelques méthodes.

0. Extensions de la méthode des approximations successives. —
En ce qui concerne d’abord le procédé d’approximations successives
(Chap. VI, n" dO), qui ne donne pas en général une solution de l’équa-
tion de Eredholin quel que soit),, mais qui s'applique à des valeurs
pas trop grandes de ), nous pourrions nous contenter de renvoyer le
lecteur aux lemarqiics d(*jà faites à propos des (“quations d(i \ olùu'ra.

J.c cas de discontinuités telles que celles du n” 4 s’envisagera sans
difficulté, et il est aisé de traiter également des noyaux non bornés,
(iontentons-nous d’énoncer un l’ésultat assez général (') :

Si Von a, presque partout par rapport à la variable restante,
V une des inégalités

( a )

f ! J)

• d

1

VI!

ou

r<>

(f>)

dy^fjib — a ),

it

q étant un nombre positif donné, les noyaux itérés existent presque
partout et la série qui définit le noyau résolvant converge de

( ' ) Hu.lk Cl Tamakkin, 1 13 ].

COMPLÉMENTS.

^69

même pour ] ^ j <C — ; lu formule habituelle définit une solution de

h(.r, Ç)9( 5)^/5

dans les cas suivants :

i" si (a) est satisfaite et (jue f soit sommable)

si, (b) étant vérifiée, V intégrale f \K{x, l)\f{l)di est

^ a

born()e.

La solution obtenue appartient à la inihne classe ijiie la fonc-
lion J\x),

7. Extensions de la méthode de Fredholm. Le Mémoire de Poin-
caré (‘). — L’application des formules de Fredholm à un noyau
borné, di'^conlinu de la deuxieme sorte (u‘^ 5) est immédiate
Mais, pour certaines discontinuités de la première sortes, on rencontre
dès le début une (liffîciilté, d’aillcHirs plus appareille fjue ri^idle.
ileniaifpions f|ue, d’après I<* di'vcloppcimnil (“ii série,

' 5 ) loi’ A( }. ) == — I / I A -‘t- • -+~ , , , -■(- /» „ — - . I )

le déteriulnanl A('A) s’exprime au moyeu des traces A,, A-.,, .... A„, ...
des noyaux itérés d(> K(,r, y ) (Cdiap. VIIF, n" 20). D’aiilre part la
fonction de Fredholm

<^<>1 = A(À) ! l\(.r,r) ; À . . . -4- À" K''(.r,r) - 1 - ..J

s’exprime au moyen des traces précédentes e( des noyaux ilérés
eux-mènies. Or, dans h; cas d’un noyau discontinu sur la li};ne de
première sorti; r ~ .r, la première trace Ay n'aura aucun sens. Il en
est ainsi dans le cas de l’exemple du n" i (relalion entre l’équalion de
Volterra et l’équation de Fredholm).

La solution de la difliculté peut cire rallachée à dos remarques
laites par Poincaré dans un Mémoire où l’on trouvera d’ailleurs
une analyse profonde des fonctions de Fredholm. Le noyau résol-

{') PoiNCAui;, [8,')|.

CHAPITRE IX.

yanl r(.^', ?•) « <'*lé mis sous 1» forme

mais le nuim'raleur el le dénoininaleur de celle expression pcuvenl
rvidemmeul cire remplacés par Kïs fondions obtenues ou mulliplianl
(ou éventuollemoiil eu divisant) liaul et bas par une meme quantité.
Kii parlictdior ou pourra remplacer A(X) par

(î)„( À ) — r

I / |À 1 -. . . r- * ,( — I

Ml),

Iogt0„( À I = /.„ -

I " ?i

en prenant, au lieu de A ^ ; /. j.

V-'

\ . A" ‘

• A I A» * // I

J^es foliotions cO/,(X) el ; Xj no contiennent plus k*s*traces A,,

. . . , A'„._i ('); elles rcsteiillouciious entières de X sous des conditions
assez larges el peuvent alors servir de base à une théorie tout ana-
logue à celle du Chapitre \ III.

Il eu est ainsi, non seulement dans le cas de discoulinuilés telles

(|ue A| cesse d’avoir un sens (ou prendra alors w — 2), mais dans le

cas des noyaux non bornés tels que les noyaux itérés restent limités

(1

à partir de Tun d’eux K."(.r, _r). Dans ce cas, on a d’ailleurs

— r- — — ( X'h à"“ ' , I À" -+-...)= C l’^( ,r , ; A )

CO„( A )

t'i ./■. r; X ) = r - 4 - K XK-Î-4-. . .-s- X« -ï K«-|,

(le sorte que les zoros de cQn sont oHectis eunuit des pôles de F. Aynnt

(*) Ou les obtiendra à partir des dc\cloppenicnta de A(X) et ^^^5
supprimant dans les coeffiiicnts tous lis termes (jui dépendent de /f,, A.,

COMPLÉMENTS.

la résolvaulc

k; à

I

on pourra reprendre, par exemple, la déinonslralion dii principe
d'inversion en limilant évcntuolleineni le champ des l'onclions cp et /'
de façon que les compositions que l'on a ù faire }i;ardent un sens.

line intéressante! remarque de AI. llilhcrt (') apparaît comme cas
particulier. Soit un novau de forme

lie./'. Cl / , . i\

Kl./-. c)=-^ : — - (o ,a _ -)

0

où II reste borné. (3n vérifie (rf. infra n'* 10) que K- est borné et
continu avec 11 de sorte que l'on jeeut prendre! dans la tbéeerie qui
précède «- - •*. een, ce ({ui revient au meîme, supprimer, élans les

feermeile's elemnant A(X) e-t ; x'j le*s te*rme*s e|ui contleunient A’,,

Mais, si loii iwioiit aux (‘xpnvssioiis du h'i'iMlliolin [(diaj). \ III, fe>r-
mides (()) e‘t (i<e)], on constate epi’il le'vient au même! de* siqeprimer
élans les elélerminants

l\

les éléments K(H,, -,) de la diaj;emale principale, e*n les remplaçant
peer des zéros. Avec cette* précautleen em peut f^areler les evpi’essions
mêmes de Fredhedm.

8. Autre méthode pour le cas où un noyaù itéré est borné et
continu ( -). - Elle est à certains éjj;i»rds moins satisfaisante, mais seul

exposé est très immédiat.

Par hypothèse le noyau r) «‘stliorué et coiiliuu ainsi ({uo les

no\aux itères suivants. La si'u’ie

( 7 ) — (k X K— T . , .-r- A'" * K'* -f- . . . )

( Hilheht, [ i*2 1.

(-) Celte méthode a été donnée par Feedliolm <lans s m Mémoire j 30

CHAPITRE IX.

■xyi

définit alors r(a;, >•; X) au moins pour les valeurs assez petites de
on aura toujours

O O

r-+-K = xrK

. 0 Ü

XKr

A

et, pour des classes convenables de fonctions / et 9, la démonstration
du principe de réciprocité restera valable, non seulement quand (7)
converge, mais encore pour toutes valeurs de X pour lesquelles on
pourra prolonger la fonction analytique r(X).

Or, le noyau résolvant de K" est donné quel que soit X, par
les formules de Frcdbolin

,« .. .

( 8 ) I r 'L'* • i \

^/i(X) étant le déteriiiinant de K" et l’on a

r„ = — VK"-t- XK!"

lia comparaison de (7) et (9) montre immédialement que l’on a,
pour I X I assez petit,

(10 ) l (u--, y; X ) = — l.( .r. J-; X) X" ' r„( ./•. y; X" i -+- X" l-( X )l'„ ( X" i

avec

1. = Iv -(- X K- -H . . . X''-2 ,

et cela donne le prolongement cliercbé de r(X). 11 n’^ a donc plus de
dilliculté à étendn* la principe d'inversion.

D’après ( 10 ), r(X) est encore une fonction méromorpbe dont les
pôles devront être recberebés parmi les zéros de A„{X'' ). Mais il n’est
pas sur que tout zéro d(î A„(X") donne un pôle : en ellet. dans le cas
où A(X) existe, on vérifie sans peine qu(>

A„( X" ) = A( X ) A' wX ) . . . A( w" ■' X )

0) étant une racine primitive de l’unité et les racines de D„(X") sont,
non seulement les racines X,- de A(X) mais celles de

Atw'fX) (/■= I,

Soient maintenant X = c un pôle de la résolvante r(,r, y; X) définie

par (10) et une fonction fondamentale correspondante, qui doit
sa tisfaire

<» /(I « \

çli»-cKj = U

COMPLÉMENTS.

■273

I " 0 (» -1

i’’ + cL(c)|

0/(1 O \

O \ ^

Les fonctions fondaineiilales de K doiveni être chercliées parmi
((

colles do pour le polo c*" : elles seront en nombre Uni ( linéairement

(>

disllncles) et continues si K'' esl continu. Ceci s'appli(jue aussi aux
fonctions principales (l(‘s noyaux canoniques se correspondent d’ail-
leurs dans l’itération). Sans qu’il soit l^esoin d’insister, on voit enfin
que les résultats de Frcdliolm concernant b' cas oVi >. prend une valeur
fondamentale resteront valables.

î). l\ous nous bornerons aux df‘V(doppemenls précédents, et nous
nous contenterons de signaler d’aulres recluuclies : celles de (bar-
leman (jui (‘tudie la validité des formubvs de Frc^dbolm dans le cas où
l’intégral(‘ double

[)i’ise au sens de Ijcbcsgue existe, celles de l^gorolf et de beaucoup
d’autr(‘s auliuirs ( ’ ).

\oiis terminerons on examinant le cas particulier des noyaux

Hi./.

l\( ./•, )' ) — ( 0 a . I ,

auxquels il a déjà été fait allusion, pour montrer que, dans le cas d’un
tel noyau, la suite des noyaux itérés est formée de fonctions qui sont
foutes bornées à partir d’un certain rang.

10 .

Noyaux du type

ll(.r, r)
î r — ./•

Soient diHix no\aux de ce type

Hi ( .r, y )
|_K — .r

, Il .( .r, y I

K.; =: io „ 3 t I , 3 £.J - ; l )

les fondions H) cl Ho ùlant continues (on pourrait nalurellcmenl so
placer dans des Inpollièses plus générales) pour ) </>. I.ia coin-

M) r/. [IIHIGI. [2-2 1.

VOLTKnRA

18

CHAPITKS IX.

position

0 <» H

K,K.=y ^

J a i >.

\\\(x, ; |1l-{ y)

a c'videittjaenl s^'us, et l’on a

I II 0 I //ï

TT^TFTTrrTF.’

M| et Mj étant clos bornes supérieures tle | Hj | et [ Ho .

On montre faeitement que l’inlcgrale au second membre est bornée

rv

lorsque (x-, — i est négatif et qii’clbî est inférieure à — ;^ ' ' ' a 7 hâ;-ï ’

où N est un nombre (ixe, lorsque «i -f- «a - • est positif. Pourvérilier
le premier point, on décomposera l'intégrale on trois parties con-
cernant les intervalles partiels («, .r), (.f , ) ), (;y, b), si, par cxom[)le
D’autre part en prenant, pour nouvelle variable d’intégration,

on aura, pour Xf + sc.j i

frr

.r i*. 1 K'

la dernière intégrale ayant évidemment une valeur (inie.
Itérons alors le noyau

, Ht r. y )

y Z.

les puissances de composition successives K-, K', . . K'
dront inlinies pour y = cc comme

devien-

I,r — -r)-*-' (y- — a;)»*--'

f y y — //"t" t

tant que l'exposant au dénominateur sera positif; dès que /i y^~
le no>au itéré K" sera fini. En particulier ])our a<C 7 ? K- est borné.

11. Du point de vue des applications à la Physique mathématique
il est important de donner leTésnltat analogue pour un noyau K.(M, P )
dépendant de deux points et défini dans une multiplicité ‘s’ de

COMPLÉMENTS. ijü

l’espace considéré^, ce uovau ftj'uranl dans une équation du t_ypc (4)

9( M ) — À f K( .\l. P )®( P ) i/V =/( M I.

<lc sorte (jue son itération est déliait* par

Kî( M. V )= f K( M. If (Mil. Pi

m '

n étant un jxtiiit qui décrit la multiplicité ‘V-

\dmcllous, pour fixer les idées, que la variété ‘V soit uu volume de
l’es]>ace à p diinensions, tO que, en introduisant des coordonnées
x-,, jC/,, ^ 1 , .... 4 // des points \[ et P, l’élément d’intégra-

tion <iP soit (fii di-î . . . di/,. Le résultat précédtmt prend la forme
suivante :

Si le noyau Iv est de f ovni’

K( M. P I =

H( M. P i

( 1 ^’

( <1 'a ^' /> )

où U est borné et où l'on i>ose

MP == \ (.r

les noyaaa' Itérés sont bornés à partir de K", n étant le premier
entier supérieur à — ~ •

111. — CAS S1NC.IJLIEUS; INTÉGRALES
PRISES EN VALEURS PRINCIPALES.

12. 11 peut arriver que, pour uu domaine d’intégration infinie ou
pour certains types de noyaux non bornes, les résultats de Fredholm
cessent d’être valables. On diia alors {|U(“ l’équation intégrale est sin-
gulière.

Voici un exemple très simple. C'est celui de l'équation homogène,

(III X ) — X f <r -^^ ç ( O e < > e ;.

CHAPITRE IX.

■i’jfy

Parlons, pour on trouver des solulions, de la définition do la fonction
eulérienne

x)~j^ |(/.V (a>o\

l'(;

en y posant s = .cï, il vieni

(r.)!) .r ^V{x)=^f <r-

et, en changeanl a on i — a, mais (‘n supposant désormais o < a <<

— y. )= Ç 6-

(i3)

./■a l'( I

combinons l(‘s d(;ux éqiiaüons {^‘ 2 ) ol (i3) cmi les multipliant rcspoc-
tivemenl par — cl rh •-====== et on aioiitant. nous avons deux

^ ( ^) \ Va ~~~ OL)

solutions particulières de (i i)

^ V * < ^ > ' .V * < * — ^

a— 1

corres[)ondant respectiveimnit à

. 1

y/Ti a ) r( I — a )

d\aj)rôs une propriété coiimu» de la fonction V.

Les solulions obhmucs peuvonl être dites fondainenttib^s

de (i i) et les valeurs corn^spondantes de X valeurs fondamentales,
La marche suivie ne donne peut-être pas tontes les solulions fonda-
mentales, mais elle permet déjà (raporcevoir une difiércmee essenti(dl(‘
avec le cas de Fredliolm : les valeurs fondamentales jie sont [)lus
isolées^ tout Linlervalle

I w I

V“ V-

zéro étant exclus, donne des valeurs fondamentales.

Il peut d’ailleurs arriver qu’à une valeur fondamentale d’une équa-
tion singulière corresponde une infinité de solutions fondamentales.
On vérifiera ainsi que l’équation (Wejl [I3i])

COMPLÉMENTS.

277

admet, pour 1= solutions

i ( ./• )

J'

a* -h J '

/ Il /> a v

V .

où figure le puramélre a qui pool élre pris arbilrairenieul (positif).

M. Picard, qui a envisagé nombre (ré([uaLions singulières inler-
venanl dans des queslions de Physique malhémalique, a nionlrc [82]
que pour une équation non homogène la solution, considéré»; comme
fonction de 1, ne sera plus méromorphe, mais prés(;ntera des singula-
rités plus coiuplicjuées et qui d<q)endeut d’aill«;urs du second membre.

13. Équations de M. Picard. — M. l'icard a étudié aussi [81 1 les
<'“»jiiations du ty[)e (troisième espèc»')

( I I ) \ i .r ) O i ./■ ) -h A f K ' ,/•, ; ) Oi; ) r/; — /( .r

V(a;) ayant un (;ertain nombre de racinc's simples sur l’intervalle
(rt, 6). Nous résumerons rapidement quehpies-uns »les résultats qu’il a
obtenus.

L’équation [)roposéc peut s’écrire, en posant

< I ) )

«1»

\ ( ./• ) ç( ./■ ) — *1 m j - I,

l\ I • 7 -, Z )

"TTTT

<I» ’ix/'z

J\ .V )

avec le noyau infini ♦

A(k)

Pla(;,ons-nous dans le cas où \{x) a la seul»* racine simple .x ---
dans l’intervalle (a, h). M. Picard siq>pose l»*s fonctions A(ii;). ]v(.r. r),
f{x') holomorphes quand les variables qui y figurent la'sUmt dans une
aire CX du plan conijdexe limitée par une courbe simple et renfer-
mant le segment {a, h).

Ceci posé il supprime, dans l’intégrale ^ (pii figure dans l’écpia-

tion intégrale, la portion /

Les formules deFredholm s’appliquent

sans difficulté à l’équation ainsi modifiée et, en faisant tendre e et n
vers zéro de façon que leur rapport ait une limite, M. Picard démontre
que la fonction a une limite, qui dépend, homographiquement.

*78

do la constante

CKAPItRE IX.

Cl = lim log •

Kevenant à lV*qnaiion (i4)> le mode de calcul précédent donne une
fonction 9 (x), qui dépend de C et admet en général x» comme pôle
simple. Si le résidu correspondant est nul, on aura une solution
de («4) coalinue sur le segment (a, b). Or la condition pour qu’il en
soit ainsi se trouve être indépendante de C et s’exprime en annulant
une certaine fonction entière de X. Pour les valeurs correspondantes
(i4) a donc une solution continue, qui d’ailleurs ne dépend de C qu’en
apparence.

/

14. Équations où figurent des valeurs principales d’intégrales. —
Un facteur ? — a?,, ligurail au dénominateur, sous le signe d’intégra-
tion, dans l’équation précédente (i5). La difficulté correspondante' a
été tournées par exclusion d’un intervalle (.^’o — £r ^»+o) du champ
d’intégration.

Dans des cas analogues intervient souvent la notion, duo à Cauchy,
de valeur principale d’une intégrale divorge'nte. Happolons que, étant
donnée une intégrale

dU'ergente parce que/(ç) devient infinie, d'ordre 1 , pour^ — ^ 1 ,, sii
valeur principale se définit par exclusion d’un intervalle (;o -
Ço + £) symétrique par rapport au point singulier ('), puis en passant
à la limite pour e tendant vers zéro. Pour une intégrahî multiple,

étendue à une variété à lu dimensions (-) et concernant une fonction
y’(P) qui devient infinie, pour P = P^, comme I^Pu"*, il faudra prendre
pour domaines d’exclusion des hypersphères de l’espace auquel appar-
tient la variété.

(‘) Les intervalles d’exelusmn sont donc moins généraux qu’au n* 13.
(-) ctP désigne, comme plus haut, l’élément d’étendue de la variété V.

COMPLEMENTS.

279

D«s travaux réccnls fort importants ( ' ) conceinent l’équation

( i(i ) ?( M ) — À /"kt M, i* ) ç(l> ) ./!> == /•( M )

qui a formellemont le type de Fredliolni (^cf. é<juatioii (4) de ce cha-
pitre) mais dans la<iuelle le symbole d' intégration représente une
valeur principale^ le noyau K(M, N), déliui quand M et N sont des
points quelconques de la variété ‘V, devenant infini comme M!N“"‘
lorsque iN tend vers M. Nous admettrons que ce noyau est continu
tant que N M et qu’il peut se mettre sous forme d’une somme de
deux fonctions, l’une {partie irrégulière) étant positivement homo-
gime do degré — ni par rapport aux composantes du vecteur MN (-)
(!l dépendant aussi, en général, du point M, l’autre (partie régulière)
(!lanl (elle que son produit par MN'" (/«'< ni) reste bornée. Si cette

seconde partie existait seule, il n’y aurait aucune difficulté, puisque*

0

l(*s noyaux itérés de K seraient bornés à partir de l’un d’eux K" (r.f.
n" 11). On doit enfin supposer quey’(M) satisfait une condition do
llëlder, c’(!st-à-dire qu’il existe un exposant a(o<«<i) et un
nombre h positif tels qin*

/•( y a'ïïN*

epiels que soient M et N sur ‘v’ ( ■*)•

1,'). Etant donné un second noyau l.(M, N ) présentant une singula-
rité analogue à K( M, N ), on peut définir une couqjosition (généralisée)

Lk( .M,N)=: f l.( M. 1’) k< I'. N
J-v

rintégrale étant prise en valeur principale par exclusion d’hyq>er-

(‘) Le tas d’une intégrale .simp^le a été tMàviî^agé par Loincarf, [SG] (r/. aussi
O. Herthand, [G|), par M. Villat, [119| et M, Caulrman, Le cas d’une intégrale
(kjtihle a été étudié par M. Tricomï, [109J et, indépendamment, par M. Giuaed, [32, 33]
à (|ai Ton doit la théorie générale complète.

(-) Ou par rapport a des coordonnées générales fixant la position de N (jiiand M
C'>t connu et prenant les valeurs zéro quand N vient en M.

Nous u’avons donné dans le texte, et de façon très sommaire, que les princi-
pale.s conditions posées par M. Giraud. Pour plus de détails le Icctèur se reportera
aux mémoires cités*

CHAPITRE IX.

a8o

sphères de centres M cl N et dont les rayons tendent indôpcndamnKînt
vers zéro. *

(I 0.

Une première question concerne la nature de la singularité de LK.
On vérifie que, dans le cas d’une intégrale simple (variété “V à uni*

dimension) le noyau KI^ est inléf^rable. Dans le cas d’une Intégrale'

0 0

multiple (variété ‘s’ à plus d’une dimension) LK n’est pas intégrable
et donne, comme L et K, des intégrales à valeurs principales.

La composition (généralisée) qui vient d’etre introduite n’est pas
associative : en com[)Osnnt, par exemple, une fonction /(M) par K,
puis par L, on aura, en général

r 0 / 0 0 , I / n 0 \ (I

et il est essentiel, pour la suite, d’évaluer la différence

/ O (I \ <1 O / 0 Cl \

c’est-à-dire

tlT )

A= f \A<(M.V) f{V)cn' — f L( M, P)^/P f K( P, Q)/(Q} </(,),
*/•;> ' «A* J‘X>

ce qui revient en fait à établir une règle pour modifier l’ordre de deux
signes d’intégration pris en valeurs pi'incipales.

Pour le cas d’intégrales simples, on établit sous des conditions très
larges, la formule

due à Poincaré (cf. [86] et [6]). Il en suit qiu;, quand est une
courbe et si les noyaux K et L ont pour parti(!s Irrégulières

— Y Y

(où X et y sont les valeurs de l’arc fixant les positions de M et N),
on a

(i8) L^rM{x)k{x')J{y).

M. Tricoml a traité le cas d’une intégrale double avec des noyaux

COMPLÉMENTS.

•281

K et J J dont les parties irrégulières sont de forme

U (0 ) IM 0 )

~ 1 >

MN

0 étant l'angle de MN avec une direction fixe. H montre que
( 19 ) \ z= z Ç H ( 0 ) 0 n ) ^/O/ ( I* )

Dans le cas d’une intégrale multiple un a
( '>0) A A( P )/( P ).

A(P) étant um; fonction du point P (jui ne dépend que des parties
irrégulières de L et K (').

K). Aj )rès cos prêliiniiiairos abordons l’oludo d’une équalioii du
lype (ib). Ih'cnous d’abord le cas où *V est une courbe, l’équalion
s’écrira

( '}A ) yi ,v ) — À f K(.r. c ) y( H ) = /*( j: ).

le noyau K(.r, y) ayant la parlie irréf^ulière (les points M, N,

P, . . . , sont r(q)érés j)ar les valeurs correspondantes de l’arc x, y, ç, ....)•

P

D’après le numéro précédent le noyau itéri» K- n'a plus de parlie
irrégulière et l’on pourra se ramener {cj\ lin du iV^8) à uikî équation de

P

Fredliolm dont le noyau est K- : il suffit d’ajouter à (21) cette même
équation dont les doux membres ont été composés par K. et multipliés
par X. Compte tenu de (i<S) il vient ainsi

,) } I =

Jv

Si I 4-X-7:- ne s’annule pas, c’est une écpjation ordinaiie de
Fredliolm pour laquelb» les ilérés du noyau sont bornés à partir de
l’un d’eux, et d’où l’on tirera 9 (^)‘

(') Gir\ui), [32]. La fonctioa A (P) rosit: la moiiit:

/ 0 O \ 0

compositions, on envisjj^^c la diirérentc \KL// —

0/0 0\ /oo\o
droite do / ( fonction de N), /( K L j — ( /K ) L.

hxr^que, modifiant l’ordre des

0 / t) « \

K (L/j ou, en composant à

»82

ClUnTBS IX.

Remarquons que le calcul précédent prouve seulenveul que toute
solution de (21) vérifie (22). Mais l’équivalence décos deux équations
est évidente toutes les fois que l’équation homogène correspondante
à (22) a pour seule solution zéro. Posant en effet

<p ( .r ) — À / KC .r . ^ ® 5 ) r/' — /■(,/•> -^ <I» ( ./• I.
l’équation (22) s’écrit

/ K( .r, 5 )<l)( 5 ) = (».

.'•V

d’où résulte sans peine que doit être solution de l’équalion

obtenue en annulant le premier membre de ( 22).

17 . Prenons par exemple Tun des noj^aux de \ 1 . Villat

K(.r, )')= -col ^ ( 0 1 . Z Z);

•> _ - -

un calcul très simple donm;

" I

de sorte que (22) s’écrit, en abrégeant le second membre,

)r- r~

À^)-— / ç( Su/6=: Fur
.r I

s ( .r ) ( T

d’où

ç( =

COD'^t.

La valeur de la constante s’obtient par substitution, elle est égale à

Il convient de remarquer que la méthode s’applique même à une
équation de première espèce. Prenons l’équation, traitée par
M. Villat,

COMPLÉMENTS.

a«3

■d’oit, en comjwsant par le noyau, on d('*duil

I r-'' I X - c

<2V) —o(x)-h—j^ âlt J, COtf»

Toute solution de (21') satisfait (22') et est donc de forme

t x — ï .

( •>.'{ ) o( ./• ) = / cotf; — I — ^ /( $) -t- const.

2 ^ 2

En portant cette expression dans (21') il vient

• tt

Si eetle condition n'est pas remplie (21') n’a pas de solution, mais

f Ï 9( ï )</;-.-■/( X I —f

' t A, '* * J „

(•il I

aura pour solution générale ( 23).

18. Ea méthode qui \ient d’cli'e appliquée au cas d’une intégrale
simple est en défaut pour les intégrales multiples parce que le noyau

tl

R- a une partie irrégulière.

Pour traiter, en suivant la méthode de M. Giraud, l’équation géné-
rale (ih), composons cette éejuation par un nouveau noyau Ij(M,N; A),
dont le choix sera précisé ultérieurement. En multipliant l’équation
ainsi obtenue par \ et en l’ajoutant à (16), il vient d’après (20),

t2,1) C( M) ; i-4-À^V« /'T( M, 1*: ÀiçdM^/t’

J-v

/( M )-+-■/. f\A M. I*; À)/(

• ’-v

avec 1(' noyau

'r( M. \; À) K -- L H- K.

Par une analyse très profonde, M. Giraud a pu établir Vej;istence
d’un noyau 1. tel que T(M, P; X) n’ait plus de partie irrégulière.
Toute solution de (16) vérifie (24) qui (;st une équation de Fredholm
ordinaire, du moins pour les valeurs de X telles que

i i-t- X*A(M; À) I

CHAPITRE IX. — COMPLÉMENTS.

284

ne s’annule pas. Celle dernière condilion conduil à exclure certaines
coupures C tracées dans le plan complexe X.

Prenons X en dehors de ces coupures, la résolution de (24) donne,
pour cp(M), une expression de forme

( 25 )

?(M) =

./■< M )

1 ■+■ X- A( 1\1 ; X)

. f e(,M,

J'V

P;X)/(Pj^P

OÙ l'intégrale doit être prise en valeur principale; 0(M, P; X) tient le
rôle de noyau résolvant, c’est une fonction méromorphe de X (on
dehors dos coupures) dont les pôles s(î trouvent être indépendants de
M et P. On démontre que (aS) donne bien la solution, unique, de
l’équation proposée (16), sauf pour dcs'valoiirs isolées de X.

On obtient d’ailleurs pour 1 <î noyau 0(M, P; X) une identité ana-
logue à celle qui a été établie au Chapitre VIII [n'* 22, formule (33)]
pour les noyaux résolvants de Fredholm. Il en résulte aisément que
lorsque X (toujours extérieur aux coupures C) est un pôle de 0,
l’équation homogène correspondante à (ib) admet au moins une soin •
lion non nulle; sa solution générale satisfait d’ailleurs l’équation
homogène déduite de (24) cl s’exprime donc comme combinaison
linéaire d’un nombre fini de solutions fondamentales ; de même
pour l’équation associée.

On a ainsi tous les éléments permettant d’étendre aux équations
envisagées les résultats de Fi'edholm (Chap. VIII, § 1 et II).

Nous n’avons pu donner qu’une idée sommaire des beaux travaux
de M. Giraud. On voit combien ces travaux élargissent le champ
d’application des théories exposées au Chapitre VIH.

CHAPITRE X.

NOYAUX SPÉCIAUX. SUITES ORTHOGONALES ET ÜIORTIIOGONALES.
L’ÉQUATION DE FREDHOLM DE PREMIÈRE ESPÈCE.

1. - LES FONCTIONS FONDAMENTALES
D'UN NOYAU SYMÉTRIQUE.

I. Un cas particulier notable, et ])our lefjuel les résultats du Cha-
pitre VIII peuvent être beaucoup prolongés est celui des noyaux
symétriques envisagés d’abord par Hilbert, Schmidt et leurs élèves (*).
Un noyau sera dit symétrique si l’on a identiquement

K ( x, )• ( = K(y', X .

Une équation de Fredholm à noyau symétrique se présente alors
comuK! généralisant, dans l’espace fonctionnel, un système d’équa-
tions linéaires à coefücicnts syrnétriqiu's

//

I

avec oa = (tk,.

On sait que de telles équations interviennent dans le problème de la
réduction d’une forme quadratique

/ i

Dans le domaine fonctionnel l’extension la plus simple de la forme
quadratique ((st donnée, comme nous l’avons déjà vu (Chap. III, n'’I2)

pur l’expression

a l\( .r, y ) çi X) çi )' I

(■) Cf. [ 42 ], [ 103 ].

286

CHAPITRE X.

OÙ le noyau K peut toujours être supposé symétrique. C’est
l’étude de telles formes fonctionnelles quadratiques qui a conduit
M. Hilbert à ses résultats, obtenus par passage du discontinu au
continu.

2. Un premier groupe de résultats concerne les valeurs caracté-
ristiques. Les noyaux considérés seront, essentiellement, supposés
réels,

Théorkmb I. — [I existe certaineinciit au moins une valeur
caractéristique.

Dans le cas contraire toutes les traces, à partir de la troisième
seraient nulles (cf. (ihap. VIII, n" 22). Or la quatrième trace peut
s’écrire, à cause de la symétrie

f"

^ (t ' a

0

et elle n’est sûrement pas nulle parce que Iv- ne peut être idenliqiie-

(I,

ment nul : pour y = ./■, K.- se réduit en ellel à

r'‘

/ |k(x.

- rt

(Le théorème serait en défaut pour certains noyaux discontinus,
d’ailleurs sans intérêt.)

Théorème II. - Les valeurs caractéristiques sont nécessaire-
ment réelles.

Soit en effet X ~ ;ji. + iv une valeur caracléristûjnc complexe. Une
fonction fondamentale étant cp(.T’) = fp'(a?) + f o'’(.r), (die sei’a sa
propre associée (') et le noyau K, étant réel, admettra la valeur carac-
téristique X — i\). avec la solution fondamentale ^(.c) = 'i {^') — ^ 9 (••f )
qui coïncide également avec son associé.

Dans ces conditions les deux fonctions o{x) et ^(x) devraient être

(‘) Dans le cas sj métrique l’équation de Fredliolm est identique à son associée et
les fonctions fondamentales sont les mêmes.

NOYAUX SPÉCIAUX.

287

orthogonales (Cha^). VIll, n" 39, note) ce qui enlniînernii

ç'-i ./• ) .r ) j

f/x = O.

ce qui est t'‘videinincnt impossible.

3. Il en résulte imimkl'ûitemenl (Chiip. VIH, n" 38) que / 0//5 /ca-
f pôles du noyau rèsoleanl sont simples. En eflel une fonction fonda-
mentale o{->') appartient à l’équation associée et rintégralc

' /t

est difTérenle de zéro.

On est donc dans le cas déjà étudié nu n“ 37 du (diapilre V’ill.
Tout noyau canonicpie d'un uo>au symétrique sera de forme

T ' ' V ' )

si, conformément aux notations du n” 37. on choisit la fonction fonda-
mentale telle fiu(‘

r'' I

I I ./• I |- >tx =

Si, comme nous le ferons désormais, nous modilions 9(1) d’un fac-
teur constant de manière à assurer

I I 9» 1 1- <tx = 1

^ (f

I <»n dit alors qm* est normalisée] le noyau canonique s'écrira

ç( ./• ) Ç(_K t

r

Admettons abus qu'il n'y ait qu'un nombre fini do valeurs fonda-
mentales A._, Xp avec les fonctions fondamentales (normalisées)

le noyau K peut s’écrire, d’après les résultats du Chapitre VIH, n" 30,

9i ( .r ) çi yr ) Ç2(.r)Çiiy(

A;

A .

9/é-r}Ÿfé.r >

-t- H( jf, V ).

CHAPITRE X.

■i88

Cl H(ar, k) étant symétrique cl n’ayaiil aucune valeur fondamentale
est identiquement nul. On a nécessairement

y

9i ( a- ) 9i(.K )

Il pourra y avoir une infinité de valeurs fondamentales X,, 1.,.
. , . auquelles correspondent des fonctions fondamentales

O; ( ./• ), 9.^( ,i‘ ' 9/( .r

vérifiant les conditions

Jf

f = I '*

f î

Dans ce cas si la série

si / /,

si i —

) 9,(.K» 9,1 ./• ) 9,-( >■')

: -4- ... H i — -h . . .

A 1 A/

est absolument et uniforméimml convergente elle représente le nü\au
K(a7, r).

Dans l’un ou 1 autre des cas préoédiüits (nombre iini ou inliiii de
valeurs fondamentales) il peut arriver que la même vabuir 7, figure
plusieurs fois dans le développement : cela se produira si pour cellt*
valeur il y a plusieurs fonctions fondamentales, donc plusieurs
noyaux canoniques.

11. — NOTION DK SülTK OKTHOC.ONAIÆ.
DKVELOPPKMKNTS KN SÉHIE DU TYPE DE FOÜlUED.

i. Nous adoptons la notation fg pour désigner l’intégrale

I = / /(.'•) ) <f‘',

intégrale qui est nulle quand /et sont orthogonales. Au Chapitre VU I
il a été commode de noter l’intégrale I comme produit de composition.
Ici au contraire la notation qui vient d’être indiquée sera préférable.

i). Définitions. — Soit une suite, finie ou infinie, de fonctions

NOYAUX SPÉCIAUX.

289

données dans l’intervalle (a, b)

(1) •••, 9n(^),

Pour se placer dans le cas le plus général, ces fonctions seront
supposées sommables et de carré sommable. Nous supposerons
qu’aucune d’elles n’est nulle, étant entendu, suivant la convention
faite au Chapitre II (n" 36) que nous considérons comme nulle une
fonction qui ne diffère de zéro qu’aux points d’un ensemble de mesure
nulle.

La suite (i) sera dite orthogonale si

ÇiOt—o (ip^k);

cpjcpj est, d’après l’hypothèse faite, toujours différent de zéro et l’on
pourra donc, en divisant au besoin cj>i par V^ç/cpi se ramener au cas
où Ÿifi — * ? suite ( 1 ) est dite alors orthogonale et normale.

6. Propriétés, a. Les fonctions d'une suite orthogonale sont
linéairement distinctes.

S’il y avait une relation

on en tirerait

Gi 9 1 “ i " • • • “*" ^■‘'1 9" ~

Cl 91 9|-+-, . .-H Crt9« ?< —

d’où C, — o; toutes h's constantes C,: seraient donc nulles.

b. Une suite fjuelcoiujue u^{Jc), w^(a:), ... peut., par combi-
rnaison linéaire des fonctions qui y figurent, être remplacée par
une suite orthogonale.

On prendra çp,(a7) = et l’on remplacera chacune des fonc-

tions suivantes ui par a' — Ui — ^c,cp) en choisissant les d de façon
que

O, = O.

On prendra alors pour cpa la première fonction u,- non nulle et l’on
modifiera les suivantes, comme plus haut, de façon à les rendre ortho-
gonales à cp 2 et ainsi de suite.

7. D’après le paragraphe I tout noyau symétrique donne un sys-

VOLTERRA

19

290

CHAPITRE X.

tème orthogonal, celui des fonctions fondamentales. Inversement
d’ailleurs, prenons arbitrairement le système orthogonal (i), que nous
supposerons normalisé et des constantes X, telles que la série

( 2 )

1

9 /(^) 9t(y)

h

soit absolument et uniformément convergente. Cette série définit un
noyau K(a?, j') dont les puissances de composition seront évidemment

(3)

et dont le noyau résolvant sera

(4) r(^,y;X) = — |KTf-XK*-+-...-i- K" -t- . . . \,

d’où

(4')

ria-, X)=—

X;- X

L’hypothèse faite sur la série (2) entraîne nécessairement que X,-
augmente indéfiniment avec t, de sorte que (3) et (4) sont de même
absolument et uniformément convergentes.

8. Développement en série suivant des fonctions orthogonales. —
Soit une suite orthogonale

(i)

que nous supposerons normalisée. Etant donnée une fonction quel-
conque f{x), proposons-nous do rechercher si elle admet un déve-
loppement en série

(^) /(a;) = Cl ?i(a7) -H c» 92(0:) -4-. . c„ 9„ ( a;) -t-. .

les Cn étant des constantes convenablement choisies. C’est là un pro-
blème qui généralise le développement en série trigonomélrique
lequel correspond au cas où, l’intervalle (a, b) étant, par exemple, pris
égal à (o,a 7 r), les fonctions de la suite (i) seraient

Il I . I I .

— =) --=cosa;, -— isiuic, ..., -pcosn^c, rsinni:, ....

-iiz \J TC yre \Jt: \/t:

Si la série (5) est uniformément convergente et la fonction f{x)

NOYAUX 3PÉCIAUX.

agï

sommable et de carré sommable, on tire évidemment de (5) les
valeurs nécessaires des coefficients a

(6)

ci= C clx-,

il suffit de multiplier (5) par et d’intégrer.

Ces constantes c,-, que l’on peut toujours définir par les for-
mules ( 6 ), sont dites constantes de Fourier de la fonction f{x) et le
développement (5), même s’il ne converge pas vers f{x)^ Qslà.i\. déve-
loppement de Fourier de f{x) [relatif au système orthogonal (i)].

Les constantes de Fourier vérifient une inégalité importante que
l’on obtient en développant l’intégrale

Oxix) — . . c„ o,4(j;)p dx,

qui est positive ou nulle. En tenant compte des relations

o,ç^=o ii^k), 9,ç,= i,

il vient

(1)

Cr Cs -h

ph

...-hc%<l \f(x)Ydx,

c’est V inégalité de Bessel. Il en résulte évidemment que la série
'Lic\ est convergente, sa somme étant au plus égale à

r'*

j {f^a:)Y-dx.

0. Interprétation géométrique dans l’espace fonctionnel. — Avant
d’aller plus loin il n’est pas inutile d’indiquer à quoi correspond,
dans un espace à un nombre fini de dimensions, le problème fonc-
tionnel du développement en série de Fourier.

I^renons, dans un espace (E„) à n dimensions, une origine et lei
vecteurs joignant à l’origine p points M,, M 3 , . . ., M;,. Tout vecteur

C\ O M 1 -f- . . • -f- O

définit un point N et, lorsqu’on fait varier arbitrairement les sca-
laires a ce point engendre une multiplicité linéaire de (E„), multi-

292

CHAPITRE X.

plicîtô à P dimensions si les vecteurs OMi sont linéairement distincts
(on peut toujours s’y ramener). Les a donnent des coordonnées

cartésiennes du point N dans la multiplicité considérée quand on y

>- >- >-

prend pour système de base les vecteurs OM^ , OMa, . . . , OM^.

Une fonction quelconque u(x) peut être considérée comme défi-
nissant un « point » de l’espace fonctionnel et, une suite de tels
« points » étant donnée,

les séries

Ui{x), Ut(x),

Cl Mi(a?) -h CiUi{x) -H. .

où les nombres a sont arbitraires (sous quelques réserves destinées à
assurer la convergence) définissent, dans l’espace fonctionnel, une
multiplicité linéaire qui aura, en général, une infinité de dimensions.
L’expression déjà considérée

«/«*= / ui{x)uk{x) dx

^ a

correspond, par le passage du discontinu au continu, au produit

scalaire OM,- . OM* de sorte que le résultat 6 du n® 6 n’est que l’exten-
sion à l’espace fonctionnel d’une propriété géométrique connue : on

peut prendre, pour système base d’une multiplicité linéaire un

— >-

système de vecteurs OM,- orthogonaux deux à deux et unitaires.

10. Mais on peut aller plus loin. Soit, dans l’espace (E„), un

système de base formé de vecteurs orthogonaux et unitaires OMi,

OMa, ..., OMp. Pour tout vecteur ON de la multiplicité linéaire
correspondante on a l’égalité

c?-^-cü-h...+ c;j = ôn".

Pour un vecteur n’appartenant pas à celte multiplicité on peut de
même définir les c,,

Ci= ÔN.ÔM;,

mais on aura

-h ... -t- ON ,

NOYAUX SPÉCIAUX.

inégalité analogue à celle de Bessel. Si y? = /i on a toujours l’égalité.

Revenant enfin à l’espace fonctionnel dans lequel on définit une
multiplicité linéaire parle système de base (i) orthogonal et normal ('),
les fonctions développables en série du type (5) appartiennent à cette
multiplicité. Los remarques précédentes concernant l’espace (E„)
conduisent à détacher la notion de système orthogonal et normal
complet : le système ( i ) sera dit complet s'il jouit de la propriété
que^ pour toute fonction /{-r) de coefficients de Fourier Ci, on
ait l'égalité

(7') Ç ) I* = c‘f-1- Clj-H. . ci* -+-

J

Elles font d’ailleurs prévoir que, le système orthogonal étant complet
ou non, toute fonction f{x) dont les constantes de Fourier véri-
fient ( 7 ') doit pouvoir être représentée par son développement de
Fourier.

11. Pour justifier de la façon la plus complète le résultat ainsi
prévu et pour établir, de la façon la plus satisfaisante, une théorie
complète des développements du type de Fourier, il faut se placer
dans le champ {dC.) des fonctions mesurables et de carré sommable (-).
On a alors le théorème fondamental suivant :

Soit la fonction f{x) du champ (cfC) qui donne les constantes
de Fourier ci", si l'on a l'égalité ( 7 '), la série i

Cl Ç|(:r) -f- C2®.2(iC) -4-. . .-4- -4-. . .

converge en moyenne vers f{x) et définit donc cette fonction
aussi bien qu'elle peut l’être dans le champ c'est-à-dire'
abstraction faite des valeurs aux points d’un ensemble de
mesure nulle.

Posons pour un instant

fnix) = C| 0,(X) -4-. . Cn^nix),

on a (c/. n" 8 )

f [f(x)—fn(x}]^dx=f )/<.r)| 24 /r — c? — cH— ...— c?,;

'-'n

(') Kspace hilbertien (cf. Cl»ap. I, § IV).
(») Cf. Cliap. II, § V.

CHAPITRE X.

294

mais, d’après (7’), le second membre tend vers zéro avec donc
aussi le premier et le théorème est établi. On a déjà vu au Chapitre II
qu’une suite convergente en moyenne ne peut définir sa fonction
« limite » que presque partout.

On voit que l’on a le droit d’écrire

(5) /(iF) = Ci 9 i(Æ^) -+- Cî94(a7) -+-. ..-4- c„ 9 „(a;)

étant entendu qu’il n’y a convergence qu’en moyenne.

Comme corollaire immédiat :

Si le système (i) est complet, toute fonction du champ dt
est représentée par une série c, + . . . qui converge vers f{x)
en moyenne.

La dénomination introduite plus haut de système orthogonal
complet se justifie d’ailleurs par l’énoncé suivant (') :

Pour qu'un système orthogonal soit complet, il est nécessaire
et suffisant que toute fonction du champ { 3 t) orthogonale aux cp»
soit nulle {sauf, éventuellement, sur un ensemble de mesure nulle).

La condition est évidemment nécessaire, car si elle n’était pas
remplie on pourrait trouver une F(u;) vérifiant FF = 1 et cp/F = 0
(t = I, 2, . . .), fonction ayant donc toutes ses constantes de Fourier
nulles. L’égalité (7') ne serait pas satisfaite pour celte fonction.

La condition est suffisante. Supposons en effet qu’il existe une
fonction fo{x) ayant des constantes de Fourier Cj telles qu’on ait
V inégalité

r

foi x ) dx > c'f -H c'I -t-

Nous verrons au suivant qu’on peut toujours trouver une fonc-
tion f (x) ayant les mêmes constantes de Fourier que fo{x) et véri-
fiant l’égalité (7'). La différence / (x) — fo{x) serait alors non nulle
et pourtant orthogonale à toutes les cpj, ce qui contredit la condition
en question.

12 . Dans l’ordre d’idées qui nous occupe, une dernière question se

(') Cf. Laubicella, [56].

NOYAUX SPÉCIAUX.

pose. Peut-on prendre arbilrairetnent les constantes c<, Ca,
c„, ... (telles évidemment que la série 2 fC? soit convergente) et
existe-t-il une fonction f{x) du champ les admettant comme
constantes de Fourier?

La réponse est affirmative ( ' ). Que le système des soit ou non
complet^ les fonctions /„•, définies par C| -|- ... 4 - c„cp,j, sont
telles que

{n> ni)

tende vers zéro quand m et n tendent vers l’infini. La suite des fonc-
tions fn. est donc convergente en moyenne vers une certaine fonc-
tion /(vc) (Chap. II, n” 39). Cette fonction f (j?) donne pour
coefficients de Fourier les nombres a dont on est parti, car s’ils
étaient différents et égaux à c'- on aurait, comme le montre un
calcul facile.

( .V ) — //((.«) I ' dx

le second membre tend vers zéro avec n et il est formé de deux
parties positives; donc

La différence entre le cas d’un système cp,- complet et celui d’un
système 9 ,- non complet est la suivante : dans le premier cas la fonc-
tion définie par la suite des c,- est unique (sous la réserve habituelle),
dans le second cas on peut ajouter à f toute fonction F orthogonale à
tous les cp,-.

13. Retour aux noyaux symétriques. — Tout système orthogonal

(i) ..., Çh(>), •••

normalisé peut, nous l’avons déjà vu, être rattaché, d’une infinité de
façons, à un noyau symétrique.

(‘) Cet important résultat a été établi, indépendamment, par M. F. Riesz, [94] et
M. E. Fischer, [29]. Il est connu sous le nom de Théorème de Fischer-Riesz,

CHAPITRE X.

296

Donnons-nous a priori un tel noj'au K(ar, y) et supposons que (i)
soit la suite de ses fonctions fondamentales. Les propriétés précé-
dentes vont se relier à des propriétés intéressant le noyau.

Si, d’abord, on cherche à développer le noyau, considéré comme
fonction de suivant les fonctions (p/(a?), on a, pour coefficient
de

?i(y)

£

de sorte que l’on retombe sur la série déjà envisagée

=: J

dont on peut seulement, de ce qui précédé, affirmer la convergence
en moyenne. Il est important de noter que la série des carrés des
coefficients

Zii ÿf

est convergente.

14. Le résultat donné plus haut (n" 11) sur le développement
d’une fonction /{x) se précise pour les fonctions particulières qui
sont susceptibles de se mettre sous la forme

(8) f{x)= Ç Hix, S) k{s)d$,

h{x) étant une nouvelle fonction du champ {cfC). Démontrons que :

Théorème de Hilbert (')• — Toute fonction continue et de la
forme (8) est développable en une série uniformément convergente
des fonctions fondamentales (i) du noyau K.

Il n’est pas besoin, dans la démonstration, de supposer le noyau K
borné, mais il faut admettre que l’intégrale

^ a

est bornée par un nombre que nous désignons par A.

(') C/. Hilbert, [42].

NOYAUX SPÉCIAUX.

Les constante.s de Fourier e,- de la fonction h{x) sont ('îvideinment
liées à colles Cj de /(-a?) par

Il s’en suit que la série de Fourier de /(j‘) est unifonuéineut
convergente. En effet,

Ci Oi( X )

> e — <

méi Ki

S/' Z

I Ç/fa:)}-

/ x;-

d’après l’inégalité de Bcsscl,

V lv-(,r, < A,

A/ * V/

n

ni

quels que soient m cl ii et, la série des ej étant convergente, ^ e-

n

peut être rendu arbitrairement petit si m et Ji sont supérieurs à N
assez grand. D’où le résultat.

La série uniformément convergente

C, 0| ( J? ) -H. . . -t- c,( -4-. . .

a donc une somme S (a?) fonction continue. Mais nécessairement

f{X)szS{x),

car, en désignant par R(a7) la différence, on vérifie

Ç I R( a; ) |- = O,

ce qui, à cause de la continuité, entraîne que R(a7) soit nul.

15. Ce théorème s’applique en particulier aux noyaux itérés de K.
0

Le noyau K“, où l’on considère, pour un moment, jk comme paramètre,

s’écrit

0 /»*

K3=J Kfa?, K(.ï,/)rfs,

et il a la forme (8) avec A ( 5 ) = K(.ÿ, >'); un calcul facile donne les

CHANTRE X.

«9*

coefficients de Fourier ~ » de sorte que

'/I

“ — >1 —

X?

... J

la série étant uniformément convergente en a? si l’on fixe y, donc aussi
en y, si l’on fixe a? (‘ )• De même on a les développements analogues

ç/(a; ) çi(jr)

*î /t
Ai

On aura aussi un développement uniformément convergent du
noyau résolvant T pourvu que l’on y isole K(Ær, jk)* Partant des
précédentes (4) (40

(9)

i'(^, y;

X) = -

K(.r,

X ©;(.r ) 0/(_y )
XKX,— X)

16. Noyau fermé. — Le noyau symétrique K(a?, y) sera dit
fermé s’il n’existe aucune fonction h(s) telle que

(lo)

{presque partout).

K(.r, s) h(s) ds = O

Il est équivalent de dire que le système orthogonal des fonctions
fondamentales de K est complet.

Si, en effet, il existe une fonction h vérifiant la condition (lo), il est

immédiat que cette fonction vérifie cp,7i = o quel que soit i : le sys-
tème des cp,- n’est pas complet.

Si, d’autre part, ce système n’est pas complet, il existera une fonc-
tion h orthogonale à tous les cp,-; la fonction

h

K( X, s) /i(s ) ds

a ses constantes de Fourier nulles; elle est nulle presque partout.

Remarquons en passant qu’un noyau fermé a nécessairement une
infinité de valeurs caractéristiques.

(') On démontre, [37], p. 453, qu’elle est uniformément convergente pour l’en-
Mmble des deux variables.

NOYAUX SPÉCIAUX.

299

17. Noyaux symétriques définis. — Au début du Chapitre nous
avons fait allusion aux relations entre l’étude des noyaux symétriques
et celle des fonctionnelles homogènes et régulières du second degré

K(a;, y)u(x)u(y) dx'dy

[K<x,y)= K(y, x)],

avec l’argument variable u{x). En faisant sur K(a?, y) les hypothèses
du théorème de Hilbert et en appliquant ce théorème, il vient

(II)

d’où

J' U(x)fn(^)dx

j ^ — r„ ?'*^/)\>

F[«]

n (p„ dx

C’est là une expression canonique de la fonctionnelle qui correspond
à la réduction canonique d’une forme quadratique à N variables. Il
faut noter que, dans l’expression (ii), il y a en quelque sorte un
retour du continu au discontinu qui vient de ce que les valeurs carac-
téristiques y.n sont isolées.

Si les valeurs fondamentales sont toutes du même signe H- (ou — ),
la fonctionnelle E[«] sera, quelle que soit u, > o (ou ^ o) ; le noyau est
alors dit positif {ou négatif). Sinon il est dit ambigu.

Dans ce dernier cas il est clair que la fonctionnelle E[m] peut
prendre la valeur zéro sans que la fonction u soit nulle. Il en est de
même pour un noyau positif (ou négatif) s’il existe une fonction
orthogonale à tous les cp,, c’est-à-dire si ce noyau n’est pas fermé.
Le seul cas où F[a] ne puisse pas être nulle pour u non nul est
celui d’un noyau à la fois fermé et positif (négatif) : un tel noyau est
dit défini positif {négatif).

III. - AUTRES TYPES SPÉCIAUX DE NOYAUX.

18. De multiples travaux ont porté sur d’autres types de noyaux,
pour lesquels on retrouve des propriétés plus ou moins analogues à
celles des noyaux symétriques. Nous nous contenterons d’examiner
quelques cas.

3oo

CHAPITRE X.

Le plus simple est celui d’un noyau de forme

A(a;) B( 7 ) k(jc, y),

où k{x, y) est symétrique. Son élude (') repose sur les remarques
suivantes :

Tout noyau de cette espèce peut se ramener à la forme

m ( X )
fiUy)

y),

k^ (æ", y) étant encore symétrique. 11 suffit de l’écrire

A ( ./• )
H(.r)

B (y)

• Â-(.r, y ) \/ A( r ) A(y ) B( .r) B(y );

pour la transformation il est esseuûel de supposer que A(a7)B(.r)
garde un signe constant, que l’on peut toujours prendre positif, quand
X varie entre a et 6.

D’autre part la composition denoyaux A', (a?, )') (a?, )')

donne tl’o" résulte que, si y, (a?, y; X) est la résolvante de k^,

(y)

I '1 .J in{:v) , , m(x) , ^ .

on aura la l'esolvantc de — A| en prenant — ^-- yi (■■r, y; A).

Appliquons ces remarques au noyau

K(.r, y)= k(æ)\i(y)k(x,j),

mis sous la forme

t/'

A(.r) B(v-)
B(,r )■ A(y)'

Al ( -f , y ).

k\ étant symétrique donnera des valeurs caractéristiques toutes
réelles qui appartiennent aussi à K. Les fonctions fondamentales
de A'i forment une suite orthogonale. 11 est naturel d’y mettre en
évidence \j K{^x^ 1^(‘^) et de les écrire

y'A ( .tr) B( æ; ) «/( x)^

les conditions d’orthogonalité donnant

(12) f \( X) li( x) ui( x) n/( x) t/x — j ^ pour

J„ (I pour 1=7,

(>) Cf. GounsAT, [36].

NOYAUX SPÉCIAUX.

3oi

le noyau principal de kn pour le pôle 'ki étant alors

V'' A( iC ) B( iP ) A( J' ) B( ) Mi( j:: ) ^^,•( K )

kl

On voit de suite que les fonctions fondamentales associées du
noyau K pour le pôle ki sont

oi{x) = k{x) Ui{x ), 'li( X ) = B(a;j ut( x );

on passe très simplement de l’une à l’autre. Les relations (12) donnent

^ Oiix)^jix),/x:= j ” j.’

les doux suites 9; et sont dites alors former un système biortho-
gonal et normal.

iî). Diverses généralisations des résultats du paragraphe II se
présentent ici. Ou peut envisager des développements en série d’une
fonction f{.v) suivant les fonctions de l’une des deux suites qui cons-
tituent un système biorthogonal. Soit par exemple un développement

f {x) = C| 9 1 ( • • • ■ ^ X ) -t- . . . ;

les coefllcienls seront donnés par

c„ = j /{x ) -l,, ( X ) (/x.

L’extension de l’inégalité de Bessel nécessite quelques précautions,
parce que les (12') ne définissent les cpj qu’à des facteurs constants
près : on peut remplacer epi par en remplaçant par^; on ne
peut dès lors s’attendre à établir, sans avoir précisé les facteurs A,, la
convergence de la série 2 ,c?. Mais introduisons un noyau symé-
trique S(æ, y) tel que

^ V' y)

— s —

les jjLt étant pris positifs et tels que la série soit absolument et unifor-
mément convergente. Les relations (12') s’écrivent

b

y) ÿA/) '^y =

( O si i ry y,

303

CHAPITRE X.

et, en prenant Ai= on peut faire en sorte que

fl S(ir, 7 ) 9/(a?) ?i(7) dy =

I.

On vérifie de suite que le noyau S est positif et, en prenant les ç,-
comme il vient d’être dit, l’intégrale, positive ou nulle

donne

f f ^{‘!^,y)[f{^)—fn{x)][f{y)—fn{y)]dxdy

^ a a

ri b f

f S(^, y)fi.x)f{y) dx dy

qui tiendra le rôle de l’inégalité de Bessel : en particulier la série iiC/
est toujours convergente.

20. Le cas où le produit A(iF)B(vr) n’a pas le même signe dans
tout l’intervalle (a, h') est plus délicat.

Certains résultats s’étendent à des noyaux de fornu*

kyx) k(x, y),

où A(a!) change de signe et où A (j7, y) est symétrique et positif (').

,0

On démontre que : si n'est pas identiquement nul, il y a au
moins une valeur singulière; les diverses valeurs singulières sont
réelles et pôles simples de la résolvante .

21. Noyaux symétrisables. — Los noyaux précédents rentrent
comme cas particuliers dans la classe, envisagée par J. Marty (^), des
noyaux symétrisables.

K(a;, y) sera dit symétrisable si la composition par un noyau
symétrique S (a?, 7 ) donne un nouveau noyau symétrique. Deux cas
sont d’ailleurs possibles :

00 _ O

I® KS est symétrique, K est alors symétrisable à droite (symétri-
sable rf);

(') Cf. HiLBEnT, [42], Fubim, [31], Marty, [70].
(*) Cf. Marty, [71, 72].

NOYAUX SPÉCIAUX.

3o3

a" SK est symétrique (noyau symétrisable g)]

un noyau pouvant d’ailleurs être symétrisable à la fois à droite et à
gauche.

Dans le cas où S(a;, y) est défini on étend les résultats précédents :
il y a au moins une valeur singulière et tous les pôles de la résol-
vante sont réels et simples.

Remarquons que le noyau envisagé plus haut A(a;) B(y^) /c(a;, y')
est à la fois symétrisable en le composant par B(a;) y)B(y),

et symétrisable en le composant par A.{x )k{x, y) K{y).

Noyaux symétriques gauches. — Ils ont été envisagés par
Lalesco (' ) et sont caractérisés par la condition

(i3) K(;r,y^) =— K(y, x).

0

Le noyau K- est alors symétrique, ce qui permet de rattacher ce
cas au précédent.

L’élude directe est d’ailleurs iminédiale. cpi(.i.) étant une fonction
fondamentale de la valeur fondamentale À,, on a

d’où, d’api’ès (i 3 ).

0 |(,») 1 = l

Oi(x) = —

— est donc aussi valeur caractéristique avec la fonction fondamen-
tale associée 91; il en suit que X, et (p, sont forcément imaginaires
et. en uccentuant les imaginaires conjuguées, on a aussi

o', (;r )— — f o\{s)K(s. x) dx.

d a

Si ^ — X', les deux fonctions <p<{-r) et <p', (a^-), fonctions fonda-
mentales associées pour des valeurs différentes de X, doivent être
orthogonales :

/

^ a

d) Cf. [ 55 ], p. 73-78.

3o4 CHAPITRE X.

ce qui est impossible. Il faut donc que l’on ait

Xi = — X'i;

toutes les valeurs fondamentales sont imaginaires pures.

Les pôles correspondants sont d’ailleurs toujours simples car,
i[Xy étant l’un d’eux avec la fonction fondamentale (complexe),

une fonction fondamentale associée sera (.r) et

{ X) (tx O.

23 . Il y a d’ailleurs toujours des valeurs caractéristiques (associées

0

deux à deux comme ou l’a vu) ])uisque le noyau N- est symétrique.

Tous les résultats établis pour le noyau symétrique se généralisent
alors. La seule dilFérencc est due à ce que les fonctions fondamentales
sont complexes : on a deux suites, finies on infinies,

(.r), o„(x),

?2(^). •••) ?/<(-^)

chaque couple 9,4,9', donnant les solutions fondamentales associées
pour les valeurs fondamentales ±: i (i étant le s>mbole des imagi-
naires). On aura d’ailleurs, en particulier,

O S' /= "

et l’on pourra choisir les fonctions 9,4 de façon que

?«?'« = i-

On généralise alors les développements de Fourier sous la forme

/(x ) = C, 0,(X fin 9n( X-) -h. . .

avec, nécessairement,

C„ = f /( X )<}'„( X ) (fx

et toute fonction continue de la forme

f{x)= I K( X, S) h( s ) (ts

^ a

NOYAUX SPÉCIAUX,

3o5

sera développable en série uniformément et absolument convergenUî
des 9 ,.

On généralise de même les développements donnés pour le noyau
dans le cas où il est symétrique.

IV. - [\OYAlJ DISSYMÉTRIQLK.

LES FONCTIONS FONDAMENTALES DE SCHMIDT.

24. Nous iiisisUu'ons enfin sur la théorie qiCa dévcdoppée
M. E. Schmidt el qui s'applique à un noyau dissymétrique quel-
conque ( * ).

M. Schmidt associe à un tel noyau deux suites dont chacune est
orlhogonahî et qui tiennent le rôhî qu’avait, au début du chapilre, la
suite unique des fonctions fondamentales d’un noyau symétrique.
Les fonctions de ces deux suites n’ont en général aucun rapport avec
les fonctions fondamentales précédemment définies : on les appellera
fonctions fondamentales de Schmidt,

Elles sont définies par le système des deux équations intégrah‘s

l ;/ ( .r ) = X / Wi X

( i4 »

j dfi

1 vix )= X j //( ; )

K( ï, .r 1 (II,

qu'il

s’agit de résoudre eu ii el en

(Jolerminanl ). de façon à a\oii'

des solutions non milles.

On fait en général l’étude du système (i4) remarquant que l’on
en déduit

= K(.r, Ç ) ) c/? avec K(.r, r)=/ K{ .v, r^) K{r, r\)

d a • A/

v{x ) = / K{ c( \ ) d\ avec K(.r, y ) =: j K( x ) K( y ) dr ^

do dff

c’est-à-dire deux équations intégrales dont les noyaux sont symé-
triques.

20 . Nous utilisons une autre méthode, indi({uée par M. Pérès, en
applic[uant à (i4) le procédé déjà indiqué (Chap. IX, n*‘l). Il est aisé
de diriger le calcul de façon à avoir une équation à noyau symétrique.

(') Cf, ScHMini, [102].

VOLTERRA

20

306

CHAPITRE X.

Admettons que, ce qui peut toujours se faire, les limites d’intégra-
tions soient o et i ; le système (i4) équivaut à l’équation unique

iv( a?)

= 1 f II(ar,

s)w,s)ds

en posant

ll(x,y) =

{ U{X) SI O < ^ < 1,

r ) = <

{ t>( X — I) SI I < ic < 2 ;

O si O < a;, y < I,

O si I < a;, jK < 2,

K(a;,/ — 1 ) sio<a;<i, i</< 2 ,

X — i) si I < a; < 2, o<y<i.

Le noyau H est alors symétrique. 11 a donc des valeurs fondamen-
tales et qui sont réelles.

Soit "Ki l’une d’elles et wn(x) la fonction fondamentale. Nous
pouvons toujours supposer que les ivx-, qui forment un système
orthogonal

(i6)

(ï-’x- ( X ) Wi ( X ) dx = O

si / ^ />•,

sont choisies telles que

j e ^

' { ivx(ar) I* f/a: = 2.

0

Chaque fonction w/t donne un couple de fonctions fondamentales de
Schmidt, correspondant à la valeur singulière X*.

Avant d’aller plus loin il faut noter que les valeurs singulières de Xx
sont deux à deux opposées : il est clair,, en effet, que si (i4) admet le
couple de solutions «x, pour la valeur >x, il admettra aussi le
couple Uk , — ex pour la valeur — Xx; d’où le résultat annoncé. Bien
entendu il n’y a aucun intérêt à considérer ces deux valeurs
opposées Xx et — Xx, de sorte que nous nous bornons aux Xx positifs.
Nous avons donc une suite (limitée ou illimitée)

(i8) Ài, Xi, Xx, ....

à laquelle correspondent les deux suites

(19) U\(x), Ui(x), llkix),

(20) Vyix), ViiX), Vk(x),

NOYAUX SPÉCIAUX. 307

qui, les fonctions qui y figurent étant déduites des indiqués

plus haut, sont l'une et l'autre orthogonale et normale.

(i6) et (17) donnent en effet

O si / JZ: k,

f’if’i =

si t = k,

mais les équations (i4) entraînent

Xjiv,vji.= XiUiUk,

d’oii immédiatement le résultat

UiUk

(>i Vk

^ O si f jzi k,

( I si I = A: ,

5 0 si t 7^ k,

I si I = k.

26. Toute propriété du noyau symétrique H (a?, y) donnera de
même une propriété du noyau dissymétrique K(x', y).

En particulier, en appliquant à y) le théorème de Hilbert

(cf. supra, n” 14) on a :

THéoaèME DE Schmidt. — Toute fonction f{x) continue, qui se
met sous la forme

r''

y’i .r ) = 1 S) k{s) ds

/<( J I K( i, X ) ds

est déceloppahle en série absolument et uniformément convergente
des fonctions u„{x) e7i(;-p)]-

Ou pourra aussi envisager le développement du noyau H. On en
déduit sans peine que :

Si la série ^ est uniformément convergente, on a

À/

l'égalité

Ceci montre en particulier que les deux suites orthogonales Ui(x)
et Vi(x) sont tout à fait indépendantes : on peut les choisir arbitrai-
rement. En particulier, il peut fort bien arriver que l’une soit com-
plète et pas l’autre.

3o8

CHAPITRE X.

V. - ÉQUATION DE FREDHOLM DE PREMIÈRE ESPÈCE.

27. Les fonctions fondamentales de Schmidt se sont révélées
particulièrement utiles dans l’étude de l’équation de Fredholm de
première espèce

( 21 ) / K{x, S) S) ds =f(x) (a^x^b)

^ a

[à résoudre par rapport à l’inconnue cp(ir)]. Les résultats concernant
cette équation sont principalement dus à Lauricella et à M. Picard,
dont nous suivrons ici l’anal;) se (').

Supposons qu’il existe une solution sommable et de carré som-
mable, soient d\ ses coefficients de Fourier concernant les fondions
de Schmidt vi et soient c, les coefficients analogues de f{ji) concernant
la suite des U/. I^’égalité ( 21 ) entraîne

Ui{,r ) dx =

</;■

(les X,' désignant les valeurs singulières de Schmidt) et, la série hid!^
étant convergente, nous avons l’énoncé suivant :

Pour que V équation ( 21 ) ait une solution^ il est nécessaire que
la série

Ifc^

I l
t

soit conrergente.

M. Picard a démontré que cette condition est aussi suffisante
quand les Ui{x) forment un système complet.

En ell'et, d’après les résultats du n** 12, il existe toujours une fonc-
tion dont les coefficients de Fourier concernant la suite vi soient
précisément les nombres X,c/; soit h{x) cette fonction. La dlfiércnce

f{x) — / ¥>.{ X, s ) tu s) ds

donne alors des constantes de Fourier nulles pour la suite des ui ;
cette suite étant complète, la différence en question ne dilfére de zéro
qu’aux points d'un ensemble de mesure nulle et doit être considérée
comme nulle si l’on se place, systématiquement, dans le champ (^C).
La solution ainsi obtenue est-elle unique dans le même champ?

C) Cf. LAL'nicKiXA, [57, 58], Picard, | 80].

NOYAUX SPÉCIAUX. 809

Pour s’en rendre compte, il suffit d’étudier l’équalion sans second
membre

( 22 ) / K( JC, s) h{ S) tls = O.

Toute fonction qui vérifie ( 22 ) est, comme le montre un calcul facile,
orthogonale à toutes les e/. Elle sera nulle si le système des c/ est
complet.

Lorsque le .système des e,- n’est pas complet on pourra ajouter à la
solution obtenue plus haut une fonction quelconque A(.z;) ortho-
gonale à toutes les e,-.

28. Examinons maintenant le cas où, la condition nécessaire du
début étant toujours satisfaite, la suite n’est pas complète.

Dans ce cas on peut encore trouver une fonction h(x) telle que
ses coefficients de Fouricr (concernant les »>, ) soient les nombres XjCj,
mais le raisonnement précédent luontnî seulement que

r''

( •>. i' ) / X, S) hi s ) ds ■= f { .r ) -¥■ f\[ X

/( (.r ) étant une fonction orthogonale à tous les ?/,. 11 est clair d’ailleurs
que, quel qiu; soit le choix de /i (.c), on aura les mômes Cj et la même
fonction /t(.r) : parmi toutes les équations de la forme ( 21 '), il ^ en a
une seule qui soit l'ésoliible, elle admet d’ailleurs un nombre fini ou
une infinité de solutions suivant (jue la suite e, est ou non complète.

21). Donnons enfin quel([ues Indications sur le cas où ^ est
divergente. L’équation ( 21 ) n’est pas résoluble, mais la somme

h„{x ) = >’(( X)

sera udle que

Z’*

f{x) — I h(x, S) /)„(s ) (h =/—/„,
en posant toujours

n

/h=^ <■, U,( X).

I

On pourra donc (c/. n" 11) choisir n assez grand pour que

3io

CHAPITRE X. — NOYAUX SPÉCIAUX.

soit, en moyenne, arbitrairement petit.

30. Signalons enfin (jue, avant le développement des méthodes
générales, M. Levi-Givita avait traité, [63], sous quelques condilions
et par un procédé très élégant, des équations telles que

(23)

(24)

k(x — S)9('.V)rf#=: fix),

X — S) 9 ( s ) rfi =/( .r ).

Soit l’équation (aS) <C. oo), on en déduit aisément que

(25) I cos7:t(x — z)f(x)dx

~ S.(t) Ç cost.Ks — z)^{s)<ls — \Ut)J' sin-^(A' — z)!f(s)cls

avec

\( t } = r /i{X) coiiT: tA (0^, B(^)= r ÂtA)s'mzt\dX,

«^0 *^0

et l’on aura une équation analogue avec un sinus au premier membre.

M.T ^evi-Civila tire de ces deux équations / cosT:t(.x — z) dx,

«Al

puis, supposant satisfaites les conditions pour appliquer l’intégrale
double d(! Fouricr et intégrant en I de o à + oo, il aboutit à la
conclusion que

j f” J f’’ \{ t ) co^r. t{x — 3) -H B( ^ j sin .r -

„ jA(<)p+iB(0;^

1(3) =

■ /( X ) dx

doit donner cp(^) pour z'^a et être nulle pour z<ia. Sous celte
dernière condition et avec les hypothèses nécessaires à la validité des
calculs précédents, il a donc une expression analytique nécessaire do
l’inconnue «)>("), expression (pi’il vérilie directement.

Pour l’équation ( 24 ), M. Levl-Givlta ne limite pas à («, b) l’inter-
valle de variation de x, mais considère le cas où celle équation est
satisfaite quel que soit .r. Introduisant une expression J(x:) analogue
à ï(i) I les intégrales qui donnent A(l) et B(^) ainsi que l’intégrale
par rapport à x ayant les limites — 00 et -h 00 ], il montre que J ( 3 )
doit être nulle pour 5 « et « >• 6 et donnera (p(-) pour a z h.

CHAITOE XL

LÜS ÉQUATIONS INTÉGRALES NON LINÉAIRES.

1. — ÉTUDE DE QUELQUES CAS SIMULES.

1. En abordant, au Chapitre VI, l’élude des équations intégrales,
nous avons posé le problème général de V inversion d’une Iransfor-
inulion fonctionnelle

faisant passer de la fonction j'( ic ) à la fonction Nous avons de

suite particularisé la question en nous bornant au cas où la fonc-
tionnelle F est linéaire en y et où elle est régulière, avec, éventuelle-
ment, la \aleur exceptionnelle x\ Nous avons ainsi été amenés aux
équations intégrales linéaires, ((ui vi»‘unent d’ètre étudiées. Il convient
maintenant de passer au cas où la fonctionnelle F n’est pas linéaire;
on a alors une équation intégrale non linéaire.

'‘1. Les exemples les plus simples d’é<pialions non linéaires que l’on
puisse traiter s'obtiennent en remarcpiant que la méthode des
approximations successives, telle qu’on l’a appliquée plus haut à
l’érjualion de Voltcrra ou à l’équation de Fredholm, s'applirpiera
encore aux équations (' )

(Ij 0(J7)— / H (r, ï, 9' S )) f/Ç r= A(.r),

iV D(.r, 9(^)) = /,(.r),

(^) Cf. Lalksc;o, [ 55 ].

3I2

CHAPITRE XI.

respectivement à limites variables et à limites fixes, dans lesquelles
h{x) est donnée et dans lesquelles H est une fonction ordinaire,
également donnée, des trois quantités qui y figurent 9.

Certains problèmes aux limites concernant les équations différen-
tielles ou les équations aux dérivées partielles conduisent à dos
équations intégrales du type précédent on de types très analogues.
Nous avons déjà vu (Chap. VI, § V) que les équations do Vol terra
peuvent être rattachées aux équations différentielles linéaires; en
partant d’une équation différentielle non linéaire, on pourra obtenir
de même une équation intégrale non linéaire.

Prenons, par exemple, l’équation différentielle

(3) g = 9),

et soit à déterminer sou intégrale 9(^7) qui, pour a? = a, prend la
valeur 90; ou a à satisfaire

(4) ?(^) = 9o + /^ ll(ç. 9(î))

qui est un cas particulier de(i).

Soit encore l’équation aux dérivées partielles

(5)

dx ôy

= H(u:, y, 9),

dont on cherche une intégrale 9(^7, y) prenant des valeurs assignées

A(y) = 9(a,y),

= 9(.ï, é)

[avec h{b) = A’(cf)] lorsque x el y prennent les valeurs fixées a el b
(problème do Riemann). On se ramènera à l’équation intégrale

( 6 ) <f(x,y)=J' H(ç, Yi; 9($, Yi)) rfT| -t- /t(y) -4- kix) — k{a),

où figure une intégrale multiple, mais qui est tout à fait analogue à (i).

3. Examinons en détail le cas de l’équation (i). Comme l’a
remarqué Lalesco ( ' ) on peut lui étendre la méthode d’approximations

(') Loc. cit.

3i3

ÉQUATIONS INTÉGRALES NON LINÉAIRES.

successives suivie par M. Picard pour établir le théorème d’existence
concernant l’équation différentielle ( 3 ).

Admettons que la fonction H(Ær, 9) soit définie dans le champ

A — w ^ A -h ni,

avec les inégalités

1 H(j;, Ç, oOl< M,

il-K.*;, Ç, Ç, ?,)|<N| 9 ,- 9 ,|,

(ff et (jpa étant deux valeurs de (p quelconques dans l’intervalle
(A — m, A + m); a, 6, A, rn, M, N étant des constantes. Admettons
enfin que, quand x varie de a à Xo, on ait

A — \ -h £(^0 ),

^on peut donc prendre pour g (a;o) la borne supérieure de — A|

dans l’intervalle (a, et limitons-nous à un intervalle de variation
de X : tel que l’on ait à la fois

x„<^b, £(.r„) -1 - M(æ?o — rt) < /n.

Les approximations successives seront

9o(:r) = hix),

>

o,iix ) — fn x)-i- I (n( J-, s, ds,

et il est facile de voir que, dans l’intervalle («, la limite de ^«(vc)
existe et est la solution de (1). On étudiera pour cela la série

(7) 9rt”*“(9i — 9 o — 9 «— I j ■+■••••

D’après le choix de l’intervalle (a, il est clair que les diverses
fonctions (jp„ restent comprises entre A — metA + m; on a alors

91 — 9 o I < Mia; — a),

d’où

et, en général,

9« - 9«-i 1 < MN'-i .

CHAPITRE XI.

3l4

La série (7) est donc absolument et uniformément convergente et
elle définit une fonction (s^{x

lion de (i).

On constate aisément qu’il ne peut exister, dans le même intervalle,
une autre solution cp(^) de l’équation (1) restant comprise entre
A. — m et A + m. L’égalité

çC-rj — = f I H(æ-, 5, 0(5)) — n(.ar, J rfÇ

entraînerait

1 0 C .r ) — O ( a; ) I < ?. /« N" p— ^ »

quel que soit n, d’où

o( X)^ç{ X).

4 . La méthode s’étend évidemment à d’autnis cas : équations où
figurent des intégrales multiples [la précédente (6), par exemple],
systèmes d’équations intégrales auxquels amènent, par exemple, des
systèmes d’équations difl'érentielles ( ' ).

Prenons maintenant, au lieu de (i), l’équatiou (2) à limil(!S fixes.
On définira sans peine les approximations successives pourvu que,
en gardant les notations précédentes, on ait

t( b ) ->!- ’Sl { b — a) in\

seulement l’inégalité pour 9,, — <^n-\ devra être remplacée par

1 ?« — ?n-i 1 < MN»-’ (b — a )«,

sans factorielle au dénominateur, de sorte que l’on ne peut affirmer
la convergence des approximations que lorsque

N ( ù — « ) •< I .

Si l’on introduit (comme dans l’équation de Fredholm) un
paramétre \ devant l’intégrale qui figure au premier membre de (2),
l’équation obtenue aura une solution, d’ailleurs unique, pour |X|
inférieur à la fois à

m — 6 ( 6 ) I

■■ fît _ , ' ' ■ •

M ( 6 — a ) N ( 6 — a)

) j’égale à lim 9n(*2?)j évidemmenl solu-

{*) Cf. E. COTTON, [17], M. PiCONK, [84].

3i5

ÉQUATIONS INTÉGRALES NON LINÉAIRES.

O. Les précédentes (i) et (2) contiennent cp(ir) linéairement en
dehors du signe d’intégration : elles peuvent être dites de seconde
espèce. Les équations de première espèce correspondantes sont plus
difficiles. Prenons seulement

/ .r

H (^a:, ?( Ç = h( ).

On en tire, par dérivation,

(8') u:, r Wj-ix, = h’ {x),

pour laquelle on pourra dans certains cas utiliser les approximations
successives

I Ç, 9„_i(Ç)) c/Ç.

a

Mais la détermination de <p,i se fait par résolution d’une équation

X, 0„iX)^ — /iX),

et, quand il y a des ramifications, elles pourront dépendre du second
membre et n(! pas se retrouver identiques dans toutes les approxi-
mations.

II. - lÆS RÉSULTATS GÉNÉRAUX DE M. VOLTERRA.

t>. Quel que soit leur intérêt et, parfois, leur difficulté, les cas
envisagés plus haut ne peuvent donner une théorie générale. Les
bases d’une telle théorie ont été posées par M. Vollerra (') grâce à
l’extension, au cas des transformations fonctionnelles, de la notion de
déterminant fonctionnel.

7. Reprenons une substitution entre deux groupes de n variables
(9) Zi=fi{yA,yt,...,yn) fi = i, 2, . . ., n i;

on sait que, pour l’inversion des équations (q), intervient de façon (*)

(*) Voi.TERRA, [128] et aussi [113] de la bibliographie I.

3l6 CHAPITRE XI.

essentielle le déterminant fonctionnel

P /g; _

••• rn)‘

Soit un système de valeurs des y (y“, y ”, . . y ®) et les valeurs
correspondantes des z : (^®, 3®, 5®). Si, pour ces valeurs, le

déterminant fonctionnel n’est pas nul, les équations (9) auront une
solution unique

( 9 ') 7i- = s-., . •

où les fonctions sont définies pour les valeurs Zf assez voisines
de Zj et se réduisent à j® pour zj = 3® (f, y = 1, 2, . . ., n). En
somme, l’inversion de la substitution (9) est possible, et celte substi-
tution est définie de' façon biunivoque, au voisinage des deux groupes
de valeurs correspondantes ( . . . , r“) (.3®, .... 5®).

Remarquons que le déterminant fonctionnel est le déterminant des
équations linéaires obtenues par différentiation

n

1

8 . Passant au cas d’une transformation fonctionnelk

(u) 3(.r ) = jlj ,

M. Vollerra en déduit qu’il faut envisager de même la relation déduite;
par différentiation

fri) 3c (.r ) = F, j^.r, y(f), oyl / ij ,

où F, (différentielle de b') est une fonctionnelle do deux arguments
)'(<) et â linéaire et homogène par rapport au second.

àj'(e) étant prise comme inconnue, l’équation (12) est linéaire et
sa résolution sera un préliminaire indispensable à l’étude de (ii).
De plus, pour les questions concernant V inversion de transforma-
tions fonctionnelles (elles que (ii), nous devrons adopter une
classification basée sur la nature des transfor mations {\2.) corres-
pondantes {équations aux variations).

ÉQUATIONS INTÉGRALES NON LINÉAIRES. Siy

9. Dans les cas les plus usuels, l’équation aux variations (la)
sera une équation intégrale linéaire, de Vollerra ou deFredholm, par
rapport à déterminant de cette équation joue alors le rôle

que jouait le déterminant fonctionnel pour le cas d’une substitution
sur n variables : on peut V appeler déterminant de la transforma-
tion fonctionnelle (i i).

Supposons que (i i) soit satisfaite pour un couple de fonctions
5„(^) et que la valeur correspondante du déterminant soit différente
de zéro. Il est à prévoir — et nous le justifierons dans la suite pour
des cas très étendus — que l’on aura l’énoncé s/ulvant :

L’équation (ii) définit, et de façon unique, une fonctionnelle

(i3)

telle que, lorsque z(t) se réduit à f{t) se réduit à i la

relation fonctionnelle entre les arguments y {l) et z{t) est hiuni-
voque dans des voisinages, à préciser, des fonctions dont on est
parti.

10. Des considérations analogues s’appliquoi'ont à une équation du
type

(il ) th ^ t, ~ *

dont on veut tirer poura<xS ^5 en supposant connu -( C’tfst

une équation définissant de façon liuplicite la fonctionnelle cberchée

(i5) == Gj^3( /), .rj ,

et qui généralise un système di; n équations

<li') feyy,yi, Yn-, Zi, Z.,. Zn) (t = I, a, . . . ,

dont il s’agit de tirer les y en fonction dos

Dans ce cas encore la question préliminaire sera la résolution de
l’écpialion

SF = O,

(^) Dans cette équation les fonctions-arguments ^ et z sont prises dans un même
intervalle : ce n’est évidemment pas une restriction et il est toujours aisé, par
changement de variable, de se ramener à ce cas.

3i8

CHAPITRE XI.

que nous écrirons

(i6^

b b

zi t), 5 z

a a

O.

F,, différentielle de F, étant une fonctionnelle linéaire par rapport
à éj' et ^z. Il faudra résoudre (i6) par rapport à hy et l’on sera
conduit, comme plus haut, à définir par la considération de (i6) le
déterminant de (i4)*

Soit en effet un couple ^o( 0 de fonctions vérifiant (i4)*

Nous pourrons, sans restreindre la généralité, prendre yo et Zq nuis
identiquement (il suffira de remplacer les arguments y{t) et z{t)
par et Admettons donc que, pour

z(t) nuis, l’équation (i6) se réduise à une équation de Fredholm
en et qu’elle s’écrive

(i6') Tifixi+J" 3^( Ç ) K(5, -r j j )

H étant fonctionnelle linéaire de àz. Le déterminant de cette équa-
tion de Fredholm sera le déterminant de la relation fonctionnelle (i 4),
pour les valeurs milles de y{t) et z{t). S’il est différent de zéro on
aura en général le même énoncé que plus haut : on tire de (i4)

(i 5 ) jK(a;) = g|^ 3 (Ô, ,

fonctionnelle bien déterminée pour y{t) et z{t) assez voisines de
zéro.

Dans la démonstration il faudra employer la méthode des approxi-
mations successives. On devra, en général, diriger les calculs de la
façon suivante : on écrit (i4) sous la forme

(i 4 t) y{x)-^ f y'($)K(Ç,

^ a

= ^[^^(0, z{t\ x^—y{x)—f y($
L « « J Ja

)K(Ç,

et l’on résout l’équation de Fredholm (i4i)5 où le second membre est
considéré comme connu. On tombe ainsi sur une équation équiva-
lente

ÉQUATIONS INTÉGRALES NON LINÉAIRES. 819

OÙ £2 est une nouvelle fonctionnelle dont la différentielle est nulle
lorsque y{t), ■s(t) et ày(^t) sont identiquement nuis. C’est sur (142)
qu’il convient de faire les approximations successives en prenant

(16)

yo(x) — ü

1^ 0 , 3(0, a?j,

yi(a;) = Q

yn{x) = Q

h h -t

2(0, x\,

a a J

et yn{x) convergera vers une solution y{x) sous des conditions très
peu restrictives.

11 . Cas particulier d’une fonctionnelle développable en série de
puissances fonctionnelles. — M. Volterra avait traité en détail, dès
190.5, le cas où la fonctionnelle qui figure dans (ii) ou dans (i 4 )
admet un développement en série du type analogue à celui de Taylor
(c/. Chap. IV'^, n'’ 13 ).

Prenons par exemple l’équation

(17)

(X =(x)=: j(,r)-+- X f

IV/tf ^ î J ^*2) • . • J t n)

X y(t^) . . . y{tn)dti . . . dt„

où l’inconnue est y{x), les noyaux donnés K„(.r; f,, . . ., i„) étant
symétriques par rapport à t,, . . ., tn- X et p. sont deux paramétres
qu’il est commode d’introduire dans le calcul, mais qui ne jouent
aucun rôle essentiel. Nous cherchons une solution de (17) nulle en
même temps que nz{x).

Il est commode de prendre un développement de celle solution
suivant les puissances de p. En dérivant (17) par rapport à p. et
faisant p. = o, il vient

z(x)

I d\x

X t)

dt,

qui est, aux notations près, l’équation aux variations correspondant
à (17) et, si le déterminant de cette équation n’est pas nul, on en

CHAPITRE XI.

3 AO

tirera f^l , • En dérivant (17) deux fois par rapport à fA, puis

faisant p = o, on a

équation de Fredholm qui a le même déterminant que la précédente

et détermine donc de façon unique j • calculera de même

les dérivées suivantes de y par rapport à fi et il restei'a à vérifier, ce
qui est très simple, que la série

(18)

1X=0

représente uue solution de (17). Or on voit aisément que cette série
converge pour ] ixz{j;) [■<£,£ étant pris assez petit et qu elle satisfait
alors (17) : elle donne la seule solution de (17) qui tende vers
zéro en même temps que [j.^(.r) (la définition de la distance fonction-
nelle étant la définition élémentaire) et l’on a bien ainsi l'inversion
univoque de la transformation fonctionnelle (17) dans un voisinage
d’ordre zéro du couple de fonctions j)^o(j7) = o, Zu{x) = o.' Le lec-
teur constatera d’ailleurs que (18) est une série de puissances fonc-
tionnelles tout à fait de même; type que (17).

III. - LES ÉQUATIONS DE SCHMIDT.

CAS OU LE DÉTERMINANT N’EST PAS NUL.

12. Dans un Mémoire publié on 1908, M. E. Schmidt (') traite
le cas où la fonctionnelle F est donnée par une série où interviennent
non seulement comme dans (17) des fonctionnelles régulières^ mais
des fonctionnelles normales. 11 envisage le déterminant de l’équation
fonctionnelle, défini comme plus haut et, dans le cas où ce détermi-
nant n’est pas nul, son analyse se rattache directement aux méthodes

(') Cf. Schmidt, [103].

ÉQUATIONS INTÉGRALES NON LINÉAIRES.

3’2I

qui viennent d’être exposées. II étudie ensuite les cas où le détermi-
nant est nul et ses résultats sur ce sujet sont entièrement originaux et
de la plus haute importance. Nous les exposerons au paragraphe
suivant, mais nous devons auparavant donner les formules de
M. Schmidt pour le cas du déterminant non nul.

13 . Calculs sur des séries de monomes fonctionnels. - Nous pren-
drons, pour fixer les idées, deux fonctions-argument u{s) et e(s)
définies pour o<s<i et nous considérerons une fonctionniflle homo-
gène en U et e, de degrés respectifs m et u, ayant la forme

( 19 ) H^o(s) i'%(s) C ■ ■ ■f h{s\ 1 ^, t-, tr,)

X /| ) . . . fr. ) tr, ) é//, (it I . . .

nous dirons qii(‘ c’esL un rnonome. fonctionnel ( • ). Les a et le.s [3 sont
des exposants positifs ou nuis tels qinî

ao -4- a , -H . . . ocp = Ni ,

H- ^J\ -4“ . . . -1” //

et tels de plus ([U(‘ les deux nombres (Xi et j 3 / (/ — 1, p) ne

soient jamais simultanément nuis, k sera dit coefficient du monome.
Nous n^écartons pas le cas où les inléj^rales disparaîtraient, Tcîxpres-
sion (19) se réduisant à

(It)' j k(s )

av(»c le coeflicient k{s). Les fonctions u <‘1 e et les coefficients k sont
supposés bornés. On envisagera de même des monomes fonctionnels
à un nombre quelconque d'arguments.

A une expression (19) ou (19') nous ferons correspondre le monome,
au sens ordinaire, dit monome majorant

K li ^

contenant les variables U et V essentiellement positives et avcic un
coefficient K (essentiellement positif, U, V. K étant d ailleurs choisis

(') Celte dénomination est critiquable, parce que (19) provient d'un polynôme
ordinaire par le passage du discontinu au continu; elle est commode ici.

Notons que, abstraction faite du facteur M*o{.ç)r 3 o(s) la fonctionnelle (19) est nor-
male en u et en c, au sens du Gliapitre llï.

VOLïKRHA

21

CHAPITRE XI.

32‘i

de façon que

|w(i)i<u, k(«)l<v, iÆ(*: f,, fp)|<K,

de sorte que le module de (19) est inférieur à KU"*V".

Pour la suite il est essentiel de noter qu’il existe plusieurs types
différents de monomes fonctionnels correspondant aux mêmes degrés m
et n. Ils diffèrent par les valeurs des a et de ( 3 . On peut toujours, en
permutant les variables d’intégration, s’arranger pour que

et pour que, lorsque a^r= «^, on ait | 3 p.>( 3 v; les exposants étant ainsi
ordonnés, deux monomes seront de même type si les couples d’expo-
sants «0(^0» • • - i «p( 3 p qui y figurent sont les mêmes. Si l’on a à

ajouter des monomes de même type, on pourra les réduire à un seul
obtenu par addition des coefficients.

Remarquons enfin que le nombre des types correspondants à des
degrés m ei n donnés est fini et que des monomes fonctionnels de
types différents, mais de mêmes degrés en m et n, auront des
monomes majorants semblables.

14 . Nous désignerons par la notation
(20) //»« •’(«); 5 j

une somme de monomes (19) ayant les mêmes degrés m et n ('). Il
lui correspond un monome majorant

obtenu par addition des monomes qui majorent les divers termes
de fmn- Enfin nous aurons à considérer des séries de fonctionnelles
de la forme (20). L’une de ces séries étant

0

nous lui ferons correspondre une série majorante

(21') ÿ

0

série de puissances ordinaire des variables U et V .

(') On emploiera des notations analogues pour un nombre quelconque de fonc-
tions-argument.

ÉQUATIONS INTÉGRALES NON LINÉAIRES.

323

15. La série (21) définira, quand elle sera convergenle, une fonc-
tionnelle de a et e dépendant aussi de la variable s. Suivant ce qui a
déjà été fait au Chapitre III, § III, il est naturel de porter son
attention sur le cas où la série majorante (21') est convergente.

Si (21') converge pour un couple de valeurs Uo cl V,,, il est clair
que (21) sera absolument et uniformément convergente pour toutes
les fonctions u et v qui vérifient

(22) |m(s) 1 <Uo, 1 v(s) 1 <Vo;

(21) sera dite, alors, régulièrement convergente: une série de
type (21) régulièrement convergenle donne une fonctionnelle de a et e
dans les champs fonctionnels (22) (voisinages élémentaires des
fonctions-argument nulles).

Los calculs sur les séries régulièrement convergentes de monomes
fonctionnels se font sans difficulté. Le produit de deux monomes est
un nouveau monome; si, dans un monome fonctionnel en u et v on
remplace u par un monome en v,

u{s) = v'(o(s } C ...f l{s\ t\, . . . . . v'<T{ta)dt^ . . . (ita,

on a un nouveau monome qui ne dépend plus que de v. Dans les
deux cas les mêmes opérations efTecluées sur les monomes majo-
rants donnent un monome qui majore le résultat. 11 en résulte de
suite que :

I. On peut faire le produit de deux séries du type (21)
régulièrement convergentes. La série produit est régulièrement
convergente.

Une série majorante du produit s’obtient d’ailleurs par le produit
des séries qui majorent les facteurs.

II. Étant donnée une série de fonctionnelles régulièrement
convergente (21), on peut y remplacer u{s) par une série ana-
logue de V argument v{s) ou de tout autre argument w{s), par
exemple

(23 ) m(<) «j

{cette série ne contenant pas de terme de degré zéro) et effectuer
le calcul terme à terme.

CHAPITRE XI.

324

Observons qu’une série majorante du résultat s’obtiendra (;n
faisant le même calcul sur les séries

0

el

WH-,

majorantes de (21) el ( a 3 ) (' ).

16 . Équations do Schmidt. — Après ces préliminaires, abordons
la théorie d’une équalion fonctionnelle de forme

( 2 ',) e(0; = O,

la fonctionnelle f étant donnée par une série du type précédent :

X

m n
0

Il s'agit de résoudre (24) par rapport à u(s).

Nous admettrons que (24) ail lieu pour u(s) el r{s) nuis, ce qui
entraîne que /oo soit nul et nous en définirons la solution dans des
voisinages (élémentaires) des arguments u et e nuis.

Si nous mettons en évidence dans (24) les toriniis correspondants
à m = I , n — o, termes qui ne contiennent que u et au premii*r degré,
qui peuvent donc s’écrire

— r( s ) ui s ) -h I c(s, f ) ii( t) (l/,

•-A)

l’équation (24) deviendra ( - )

( 24 ') c{s)u(s)—J' c{s, t)u{t)(lt— s\-^ 2 finn\n, s\,

et l’équation aux variations, écrite pour m(s) et v{s) nuis, sera

(' 2 ) )

<'{s) 5 u( s

t)S u( () dt =/oi [ <î(>; $ |.

(‘) Il est élémentaire que la série ainsi obtenue est convergente pour V et VV
assez petits.

(^) /«i contient pas u.

ÉQUATIONS INTÉGRALES NON LINÉAIRES. 325

Si ç(s) u’osl pas nul dans l’intervalle (o, i), c’est une (équation de
Fredholm régulière et, en divisant par c(s), on peut se ramener au cas
où c(s) est égal à un. Si c(s) s’annule pour des valeurs isolées, on a
une équation singulière du type de M. Picard (Ghap. IX, u“ 13,
équation de troisième espèce)', slc(s) est Identiquement nul, on a
une équation de première espèce. M. Schmidt laisse de côté ces
deux derniers cas.

17. (aà) est donc une équation de Fredholm régulière et le déter-
minant de cette équation sera le déterminant de la relation fonction-
nelle (24). S’il n’est pas nul, nous pourrons appliquer la méthode
indiquée au paragraphe précédent, n" 10. (24’) a précisément la
forme indiquée (i4) ) a» n" 10 ; on la résoudra en u{s) eu supposant
pour un instant le second membre connu. On aura ainsi

(2't") = jfo, r ( / i; U- V M, r; i j,

L 0 J

le second membre étant une série de tout point analogiu* à celle qui
figure dans (2.4^) et dont les divers termes g, un se calculent facilement
en fonction des et du noyau résolvant de l’équation de Fredholm.

D’après le n" 10 précédent, c’est à celte équation qu'il faut appliquer
la méthode d’approximations successives, et cela ne fait pas de
difficulté.

18. M. Schmidt procède de fac^ujn un peu dlUéronle. Il remarque

(jue l’on satisfait formellement à (240 série analogue

h^, II.,. . . ., hp, étant respectivement homogènes en r de degrés i,
2, . . ., p, ... (ce sont des sommes de monomes fonctionnels). Si
l’on porte dans (24") et <|ue l’on identlfu*, on volt que les termes du
premier degré ne peuvent venir que d(' ,.",11 ; il faudra prendre

A, [ r; s] — A'n, f r; .v].

En général les termes hp s’obtiennent en remplaçant dans le second
membre de (24'’) u par h\ h-i . • . + /i//_i et en gardant seulement
les termes de degré p.

326

CHAPITRE XI.

Au lieu de {M") prenons l’équation

(24Ï) U = Go,V-f- 2

m-h/i > 2

où figure au second membre une série majorante du second membre
de (24'').

Il est élémentaire qu’on en tire U en fonction de V par une série
(26,) ü = HiV-hHîV^-i-...-4-H/,V/'-h...

convergente si V est assez petit et dont les coefficients sont tous

Or un terme s’obtient à partir de (24, ) par un calcul exac-

tement parallèle à celui qui donnait hp\^v \ à partir de ( 24 ' 0 ' Tous
les termes des divers types de la série qui figure au second membre
de (24'^) se retrouvent majorés dans (24,J), de sorte que
majore A/j[v; s]. La série (26) est régulièrement convergente et
donne une solution de V équation proposée si \ v{s) | est assez petit.
Cette solution est d’ailleurs une fonctionnelle de continue au

sens élémentaire.

19 . Unicité. — S’il y avait une autre solution u{s) -t- <v(s), fonc-
tionnelle de e(5) s’annulant avec e(^), on aurait

(27) w{s)= 2 \ gmn[u. W, i>-, s] — g,n„[u, Vy s]\.

m-\-n > 2

I Or, étant donné un monome fonctionnel quelconque e; ^],

si l’on développe qmn[u->r w, v, 5], on y retrouve qmn[uy v; 5], de
sorte que dans la différence -f- tv, v, «] — ^mn[«, e; 5] tous les

termes sont réunis par des signes -!-• Ces termes se retrouvent
majorés dans la différence Qmn(U -h W)"* V" — Q/nnU'" V", majorée
elle-même par mQ„,,i(U -t- WV".

Le second membre de (27) est donc inférieur en module à

W 2 G,„„ ( U -+- W y«-i V«.

m-k-n > 2

Prenons pour W le maximum du module de U, V et W

ÉQUATIONS INTÉGRALES NON LINÉAIRES.

327

étant choisis assez petits, la série ^ wG„ift(U + V" aura une

WH-/1 > 2

valeur numérique d inférieure à 1. Dans ces conditions (27) entraî-
nerait

I ) I < ow,

ce qui est absurde. Il y a donc unicité dans un voisinage d’ordre zéro
des valeurs milles des arguments u(s) et i>{s).

IV. - LE CAS DU DÉTERMINANT NUL :

LES ÉQUATIONS AUX RAMIFICATIONS.

20 . Suivant toujours l’analyse de M. Schmidt, nous reprenons
l’équation (24') en supposant que, par division par c(.ç), on se soit
ramené au cas où c(a‘) est égal à i. L’équation s’écrit

(28) It(s)~f C(S, t)u( t) (/t — s] ■+■ ^ /,nn[n, e;

* ^ ni-i-n > 2

et nous nous placerons dans le cas où le déterminant de Fredholm
calculé à partir du noyau c(. 9 , f) est nul.

Les équations homogènes associées

s(s ) — / Ci s, t)^( t) ilt = O,

^ ( 5 )CM i, « ) r /5 = O

^ 0

admettent alors des solutions fondamentales indépendantes (associées )
9l(5), 9r(5); •••» '^r( ()■

Soit alors le noyau

/•

e(i, t) == 6Mi, 0-+-5!

1

où les fonctions et sont supposées continues, respectivement
linéairement indépendantes et peuvent d’ailleurs être réelles ou
imaginaires; nous allons établir que :

Lemme. Pour que le déterminant de Fredholm de e{s, t) ne

3i8

CHAPITRE XI.

soit pas nul, il est nécessaire et suffisant qu’il n' existe ni une com-
binaison linéaire des <^i{s) orthogonale à tous les q,„ ni une com-
binaison des orthogonale à tous les jx,.

En effet, soit l’équation

( 29 ) M(i) — / e{ S, t )H{ t ) (It — O

qui, si le déteniiinanl en question n’est pas nul, doitn’aNoir d’autre
solution que zéro. Elle s’écrit (notation p. 288).

i29'i ms) — I r[ s, t )e(t ) (1t — s ).ucp,.

•J»

Si elle a une solution non nulle, ou bien tous les «</., sont nuis, mais
alors cette solution est une combinaison linéaire des ç, orlbogouale à
toutes les ou bien l’équation (2()') entraîne, en posant uq~,~ A,, et
par un calcul immédiat,

^ A./i//7>v - o:

V

or ce sont là des équations du |)remier degré en A-, dont le déterminant
est forcément nul puisque les A,, ne sont pas tous nuis; il existe alors
des constantes G, non toutes iiulles telles que

cela donne une combinaison des orthogonale à toutes les

Incidemment notons que les comlitions posées par le lemim;
reviennent à dire que, posant

les déterminants qui ont pour éléments A/* ou B, 7 ne sont nuis ni
l un ni l’autre.

21. Bevenons à (28). Il sera toujours facile de trouver des fonc-
tions pQlq satisfaisant aux conditions du lemme. Nous transformerons
alors (28) comme au n" 10, mais en isolant au premier membre

ni s )

-I

f )lH f ) (if y

ÉQUATIONS INTÉGRALES NON LINÉAIRES. Sîg

puis résolvaiil celle équation de Fredholin comme si le second
membre était connu.

Nous obtenons ainsi

(3()) uis}—^ (

I

^ ( — Pi^ S} -h I ôis, Dpfit) A' ‘H [<’; f; s]

étant le noyau résolvant de e et en posant

( 3 1 1 ^ (f, f \ii{ t ) dt.

Laissons pour un instant les constantes xi arbitraires, l’équation (3o)
se traitera exactement comnu» du paragraphe III. I.e fait qu’il y

figure, en plus d(‘ la fonction-argument (I(‘s variables ordi-

naires Xi n’introduit amninc difficulté. On aura la solution de forme

( 3’> ) !({$)" ^ .

.-t I

valable lors(|U(î les u'i et v{t) sont assez petits (ui module; les
désignant toujours des fonctionnelles homogènes, de degré /t (ui e(/),
obtenues comme sommes de monomes des difTérents types.

e ' t)\
0

!22. Il reste à choisir les constantes .e/ de façon à satisfaire les (3i);
il suffît d’y porter l’(‘xpression (3‘>. ) et l’on a

ût|. .X,

(33) 2 ^ L;>

a, i 7. . i . . . a, 1

00 ^ ,

i V V /

-H ▼ J ^ J , I n

a, 3-. . .-3-a, >0 1

'( / ;'c .7,(

les coeftioienls étant des conslanles quand {'{s) est connue. Nous avons
distingué dans (33) l(‘s termes venant des h„ qui donnent des coefli-
cieiils L indépendants de i> et les autres termes, dont les coefficients
sont des fonctionnelles de

Les termes du premier degré obtenus dans la première somme aux
seconds membres disparaissent avec les premiers membres. On s’en
rend compte de suite en remarquant que ces termes du premier degré

33o

CHAPITRE XI.

peuvent être évalués on remplaçant l’équation (3o) par
(3o') t)pi{t)d^

Xi.

Introduisons enfin un autre paramètre e en remplaçant e(^)
par s Les (33) s’écrivent

(34) 0= 2 Lf'--*'-xf‘...x^!'-

Oi^~h, . .-+-Otr ^ 2

“ *) I

ai-h...-har><‘ ^

Ce sont des équations entre les variables ordinaires . . ., ^r,-,
e, ne contenant, dans la première somme, que des termes de degré
supérieur à i par rapport aux inconnues Xi, Xj, . . x,- qu’il s’agit

d’obtenir en fonction de «. Le déterminant fonctionnel de ces équa-
tions est donc nul pour les valeurs milles dos variables et l’on se
trouve dans le cas singulier des fonctions implicites ordinaires, cas
qui a été l’objet des travaux classiques de Puiseux.v

On sait qu’en général le système (34) définit plusieurs système des
solutions Xi(e) (solutions milles avec e); en portant dans (32), on en
déduira autant de solutions de l’équation fonctionnelle qu’il s’agissait
de résoudre, solutions valables quand le module de c(s) est assez
petit.

Quand le déterminant de V équation fonctionnelle est nul, on
obtient donc, comme pour les équations définissant des fonctions
implicites ordinaires, la multiplicité des solutions. La théorie
donnée par Puiseux pour le dernier cas s’applique, comme on vient
de le voir, aux équations fonctionnelles.

Les équations (34), qui ont un rôle fondamental dans la question,
sont dites équations aux ramif cations.

23. Précisons un peu dans le cas où le noyau c(s, t) n’a qu’une
fonction fondamentale. Il y a alors une seule équation aux ramifi-
cations

(34')

OP

a>2 a>o 1 ^

ÉQUATIONS INTÉGRALES NON LINÉAIRES. 33 1

Si L'^, \j’~' sont nuis, n’élant pas nul, l’équation (34’)

aura p solutions Jî(e) dans le domaine de l’origine, solutions réelles
ou imaginaires, distinctes ou confondues. Il en sera de même pour
l’équation proposée.

Il peut arriver que tous les L“ soient nuis ; dans ce cas. pour v{s) = o,
on peut garder le paramètre a? arbitraire et l’équation fonctionnelle où
l’on prend e(5) nulle, à une infinité de solutions en m(a); dans le cas
où e(5) n’est pas nulle, il faut poursuivre la discussion sur (34’).

V. — OBTENTIOÎV DE RÉSULTATS NON I.OCAUX.

24. Les méthodes précédentes concernant les équations fonc-
tionnelles

f 35 ) F j^M ( ^ ), P ( < ); 5 j = O

donnent des résultats locaux : on prend un couple de fonctions a© (.y),
Po(y) vérifiant (35), et l’on étudie, comme nous l’avons vu, la réso-
lution de (35) lorsque M(.y) et e(ir) restent dans des voisinages
de ao(i^) et e„(.y).

Il est plus difficile d’obtenir, sauf pour des équations fonction-
nelles de type particulier, des résultats non locaux.

D’intéressants développements à ce sujet ont été donnés par
M. L(îraj [60]. Ils se rattachent directement à la méthode de Schmidt,
et nous en donnerons une idée ici.

25. Admettons que, u{s) étant toujours l’inconnue, la fonction-
nelle F du premier membre de (35) fasse intervenir, ainsi que la
donnée v{s), un certain nombre de paramètres : deux pour fixer
les idées, "k et fA. Il s’agit d’étudier l’ensemble des solutions de (35)
quand le point (X, p.), figuré géométriquement sur un plan auxi-
liaire, reste dans un domaine fermé D de ce plan.

Soit M(,(.y) une solution de (35) obtenue pour des valeurs X„, p-o
des paramètres, le point (X„,p„) appartenant au domaine D. Admet-
tons que l’on puisse toujours appliquer les méthodes précédentes à
l’étude des solutions voisines de Uu{s)j obtenues pour des valeurs des
paramètres voisines de Xo, Po, c’est-à-dire dans un champ

I X — X|, I < TjO, I P — Po I < Çfl.

1 u(s)— U»(s) I < £o,

CHAPITRE XI.

3a 2

On aura éventuellemenl à (^crire dos équations aux rainificalions

<P/(X, |X, ic,.) = <) ii — i,'i, . . r)

qu’il faudra discuter. Le plus souvent ces équations (dans lesquelles
}. — Xo et fi — p,, tiendront le rôle du paramètre £ du n“22) défini-
ront des multiplicités à deux dimensions, les Xi étant des fonctions
uniformes des variables indépendantes X et fji (voisines de Ïq et po);
exceptionnellement, ces équations peuvent définir des multiplicités
à plus de deux dimensions. Toute variété à deux dimensions donne
une solution (que M. Leraj dit usuelle), voisine de m„(a); une
variété à plus de d(!ux dimensions donnera une infinité de solutions
(dites exceptionnelles).

Ceci posé, il faut, pour aller plus loin, introduire la condition
suivante, à vèrijier sur V équation (35) :

L'ensemble des solutions étudiées est un ensemble fonctionnel
compact et fermé.

Comme, dans ce qui précède, il était toujours question d'un voisi-
nage élémentaire d’ordre zéro, la condition à vérifier sera la suivante :

Les solutions étudiées sont également bornées et également
continues ( ’ ) ;

En ajoutant enfin la condition suivante :

Toute fonction limite d'une infinité de solutions de (35) est
aussi solution de (35).

Sous ces hypothèses, on peut appliquer le théorème de Borel-
Lebesgue ('•'):

Les voisinages d'ordre zéro de toutes les solutions formant
l'ensemble étudié peuvent être remplacés par un nombre fini
d'entre eux. Et cela donne de suite des résultats non locaux.

On établit ainsi que le domaine ouvert correspondant à D est
divisé en régions par un nombre fini d’arcs analytiques, régions telles
que, dans chacune d’elles, le nombre des solutions exceptionnelles

{') Cf. Chap. ir, n* 8, b.
(■) Ibid., n* 1).

ÉQUATIONS INTÉGRALES NON LINÉAIRES. 333

soit nul OU infini, le nombre des solutions u.sueiles étant Uni et
constant,

La parité du nombre des solutions usuelles est la même dans
toutes les régions de D, En particulier, si ce nombre est impair pour
une région, l’équation admet forcément une solution quelle qu(* soit
la position du point (X, /jl) dans D.

On trouvera des applications de ce résultat dans le travail cité.

Une autre méthode pour établir l’existence des solutions se trouve
développée dans un travail récent de MM, Leray et Schauder [61 ].
Elle repose sur l’extension, an cas fonctionnel, de la notion de degré
topologique d’une transformation continue de l’espace à n dimen-
sions. Nous aurons à y revenir au tome III du présent Ouvrage.

Signalons enfin un intéressant Mémoire de M. P. Lévy [64] qui
donne des conditions pour que l’inversion d’une transformation
fonctionnelle soit toujours possible et univoqin*.

VI. LE LAS DES LIMITES VARIABLES.

26. Signalons d’abord plusieurs travaux de M. L, Pomey, qui étudie
des équations non linéaires où figurent des intégrales multiples avec
une limite supérieure d’intégration variable [88]. Ces travaux
concernent aussi des équations intégro-différentielles et nous aurons
à y l’cvenir.

Dégageons seulement ici la notion d’équation dite « normale ».
Elle concerne le cas où le domaine d’existence des solutions com-
prend on entier le domaine où sont définies les données, et c’est un
cas qui est évidemment particulièrement intéressant. Du point de
vue de M. Pomey, les éijuations différentielles linéaires sont « nor-
males ».

Prenons, par exemple, une équation du type suivant :

^ X ^ t ni — I

■{3t)) œ( X,/) — /( .r,y) -H À / dt,n

X / rfe,... 1 dVpP\a;,y,

6, X, y étant des nombres complexes et <p(aî,y) étant la fonction
inconnue. On suppose que fi^x^ y) est holomorphe quand les

CHAPITRE XI.

334

variables a?, y sont intérieures à des aires D.^., D, des plans complexes
correspondants, aires contenani les points a et 6 et les chemins d’inté-
gration (a, ar), (6, y)^ d’ailleurs arbitraires. Admettons pour fixer
les idées que P soit un polynôme en cp dont les coefficieiils sont
holomorphes quand les variables a?, al y, V/, sont dans et et
que l’on peut évidemment supposer sans terme constant.

La solution de (36) est imtnédiale par une série des puissances
de \

et

0 = 9o -t- Xçi -t- ...-+- X" ?„(' X, y .

n

)

s cl (J étant les longueurs des chemins d’intégration (rt, x) et (6, y),
pris les plus courts possibles dans D.,. (‘t Dy. Si / et V sont les maxima
de s et (T pour tous les couples (a, x) et (6, y) intérieurs respecti-
vement à Dj; et D, . I cHjuation sera normale si

À \ /«» r/> < «i ! P î ,

inégalité toujours vérifiée si le nombre des intégrations m -\- p est
assez grand.

''Zl . Cas où l’équation aux variations est une équation de
Volterra. — Une classe notable d’équations fonctionnelles sera celle
des é([ualions qui donnent, pour équation aux variations, une équa-
tion de Volterra de seconde espèce. Le déterminant sera toujours
différent de zéro et la solution sera bien déterminée.

Prenons une fonctionnelle ne dépendant des valeurs de l’argument
Inconnu y (/) que pour o'^t'yx. Nous devons logiquement nous
attendre à nous trouver dans le cas qui vient d’être envisagé, do sorte
([ue, sous des conditions assez largos, une relation telle que

ne pourra avoir plus d’une solution. C’est ce qu’a montré
M. Sabbatini (' ).

Résumons brièvement sa démonstration dans le cas où la fonction-
nelle F est du second degré et régulière, c’est-à-dire dans le cas de

(' ) Saiihatini, [ !) 6 , 97 ]. '

ÉQUATIONS INTÉGRALES NON LINÉAIRES.

335

l’équation

(37) y{x)-^r f Kt(x,(}y(t

^0

) dt

- / / K. 2 (.r, ^ 1 , ti)y{ t^)y( /., ) dtuit> — z(æ).

S’il existait deux solutions y, (a?), (•^)j en posant

H — )i — r->.

nous aurions

U{ X )

-1 Kii\x, t) u(t}fH -i- I I Ki(x, l,,

J 0 J ^ J ^

-+- / / Kj(a;, <1, «2 ) j2( /•)) H(fi) = O,

d i\ t/o

c’est-à-dire, en admettant symétrique en et (ce qui est
toujours permis), et en posant

fil./', t ) = K t ( X' , t ) -4- Ç X ^ ^ -4— yi ^ I ) ï 1 .

t/n

- / il ( X, t)m

t'o

( .r )

' { t ) dt = O \

c’est une équation d<! Volterra qui n’a d’autre solution que u{x) == o,
d’où

yd X ) — y..i X ).

Nous renvoyons au travail de M. Sabbatini pour l’étude du champ
d’existence de la solution de (d^).

28. Équations intégrales formées avec des compositions. — Dès
le début de l’étude des équations intégrales linéaires, nous avons vu
l’avantage qu’il y avait à introduire Vojx' ration de composition
(à limites variables ou à limites fixes).

Il y a intérêt à étudier à part la catégorie très étendue d’équations
intégrales non linéaires (à limites variables ou à limites fixes) qu’on
obtient par composition des fonctions inconnues et de fonctions
connues. M. Volterra les a envisagées systématiquement, et il a
montré comment leur étude se reliait très étroitement et très sim-
plement à celle des équations qui, dans l’analyse ordinaire, défi-
nissent les fonctions implicites. Il a prolongé la théorie en établi»-

336 CHAPITRE XI. — ÉQUATIONS INTÉGRALES NON LINÉAIRES.

sanl un lien analogue entre les équations différentielles et les équations
intégro-différentielles de compositions.

Le développement de ces divers sujets se trouvera dans le volume
suivant du présent Ouvrage ( ' ).

29. Nous aurons aussi à revenir ultérieurement sur quelques
résultats concernant l’inversion des transformations fonctionnelles
générales et, en particulier, sur les équations où figurent des inté-
grales de Stieltj(‘s. Nous donnerons enfin au volume suivant, après
l’étude des opérations de composition, divers détails sur la résolution
numérique des équations intégrales, soit directement, soit par utili-
sation d’appareils [méthodes mécaniques (■^)].

liCs relations entre la théorie des équations intégrales et d’autres
branches des mathématiques n’ont pu être envisagées ici et nous
avons laissé de côté les nombreuses applications. Ces divers sujets
trouveront place dans le troisième volume (•’).

( ‘ ) ^ sur ce sujet : Voltebra, [113] de la bibliograpliie I ; Vot.TEBRA et Pérès, [133].
(^) Cf. (7.V1 et [75-].

(’) Signalons du moins, dès maintenant, de curieux résultats de M. Galbrun [31']
sur le r<Ue inattendu <jue jouent, dans certaines questions de proI)abilitPs, des
formules relatives à lu résolution <les équations intégrales linéaires.

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123.

))

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variables, quatre notes).

124.

))

Sulla inversione degli integrali definiti (Rend. Ac.
Lincei, 5® série, t. Sj, 1896).

125.

))

’ Sulla inversione degli integrali multipli (Id.),

126.

»

— Sopra alcune questioni d’inversione di integrali definiti
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127.

»

Sul fenomeno delle Seiches (Nuoi>o Cimenta, 4® série,
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128.

))

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))

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130.

))

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différentielles (Gauthier-Villars, éditeur, Paris, 19 1 3).

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INDEX DES AUTEUKS CITÉS.

(Les luiincros reiivoicnl aux paj^es.)

Abel, 171, ijx, 17;, i7i, 173,

Adams, .209.

Alexaiidroi, i‘L
Arzelà, 20, iio, 121, 122.

Aseoli, 20, 12 r, 122.

Bairc, 10, 18, 26.

Bertrand (G.), ^-79*

Bcssel, 291, 29'^, 3oi, 3()2.

Bôcher, i/^o.

Bogolioubofï (N.), 128.

Bois-Reymoiid (Du), 12b.

Borel, XII, 9, ri, 21, 35, 332.

Bourlel, ii.

Carleman, 246, 273, 279.

Cauchy, 18, 44> ^7^-
Cinquini (S.), 128.

Conforto, 12.

Cottoii (E.], 3i^.

Cramer, i34.

Dauiell, 106.

Davis, X.

Del Chiaro, 128.

Dirichlct, 20, 109, no, 137, 175, 18 î.
Egorofî, 273.

Euler, 95, 107, 108, Ï09, 12C 128, 178.
Evans, x, i5o, i5i, 201, 202, 2o3, 206.

Fabri (C.), 7.

Fantappiè, 12, (38, (39.

Fisher (E.), 29).

Fourier, 10, Ti, 288, 291, 293, 294, 295,
^97» ^9^» 3o4, 3o 8, 309, 3io.

Frcchet, x, xi, 12, i3, 1(3, 18, 19, 21,
22, 24, 25, 32, 49, 57, 58, 61, 67, 68,
7G 89, 90, 96, ro8.

Freda, xii.

Fredholm, xi, lio, l3l, 222, 225, 226,
232, 236, 2,37, 243, 244, 256, 263,

2(35, 26G, 267, 268, 269, 271, 273,

273, 276, 277, 279, 281, 283, 284,

285, 286, 3o8, 3ri, 3i3, 317, 3i8,

320, 32.5, 327, 329.

Fubini, lio, 3o2.

Fuchs, 195, 200.

(jralbrun, 336 .

Gatoaux, 29, 61, 102, io3, io5.

Giraud, xi, 279, 281, 2.83, 284.

(ioursat, X, 217, 248, 257, 3oo.

Graves (L.-M.), 128.

Green, 97, 108, 1 17.

Hadamard, 26, 28, 49, 52, 53, 71, 108,
174, 227, 215.

Hahn, 128.

Hamilton, 108.

Heiseuberg, 12.

Heywood, x, 248.

Hilbert, x, 12, iio, 127, 271, 285, 286,
296, 299, 3o2, 307.

Mille, 202, 268.

Holder, I22, 279.

Holmgren (E. A.), x, 182, 188, 196,
197, 200, 201.

35 o

INDEX DES AUTEURS CITÉS.

Holmgren (H.), 174.

Horn, aoi.

Jacobi, 108, 109.

Kostitzin, 207.

Lagrange, loi, 128.

Laguerre, 245 .

Lalesco, x, i4o, 164 182, 194, 195, 196,
199» 200, 201, 209, 2^6, 3 o 3 , 3 ii,

3 I 2 .

Laplace, 89.

Laureiitiefî (M.), 128.

Lauricella, 294, 3 o 8 .

Lebesgue, x, 21, 3 i, 35 , 87, 38 , 89, 4o,
43, iio, III, 119, 120, 257, 273, 332 .
Leray, xi, 33 i, 332 , 333 .

Le Roux, i4o.

Letnikolï, 174.

Levi (Beppo), no.

Levi Civita, I2, 3 10.

Lévy (Paul), x, i 3 , 14, 58 , Sg, 66, 71,
89, 100, loi, 102, 108, 333.
Liouville, 173, 174, 175.

Love, 207.

Mae Shaiie (E. J.), 128.

Mandelbrojt, 17^1.

Manià, 128.

Marty (J.), 3o2.

Mayer, 128.

Montel, 19.

Moore (E. H.), xi, 12, i 3 , 16.

Myller, 209, 21 3 .

Naguino, 128.

Neumann (G.), no.

Pauli, 12.

Picard (E.), i 3 i, 140, 195, 208, 277,
3 o 8 , 3 i 3 , 325 .

Picone, 209, 2 i 3 , 3 i 4 .

Pincherle, ii, 174.

Poincaré, iio, 269, 279, 280.

Pomey, 333 .

Popovici, XI, 209, 210, 212, 214, 219.
Puiseux, 33 o.

Ricci, 12.

Riemann, 109, 174, 3 i 2 .

Rieaz (F.), x, 3 i, 45 , 5 o, 53 , 55 , 56 , 63 ,
64, 65 , 77, 295.

Sabliatini, 334 , 335 .

Scalizzi, 174.

Schauder, 333 .

Schmidt, x, xi, 12, 234 , 285 , 3 o 5 , 3o6,
307, 3 o 8 , 320 , 321 , 324,325, 327, 33 i.
Schur, 246.

Schwarz, 44 , 49 , no, 122.

Sinigaglia, i 63 .

Sonine, 175, 176, 177.

Steinhaus, 49 -

Stieltjcs, 14, 56 , 57, 58 , 59, 64, 65 , 66,
77, 88, 106, 336 .

Stokes, 96, 97, 99, loi.

Tamarkin, 202, 209, 221, 268.

Taylor, 9, 10, 58 , 83 , 85 , 86, 88, ii 5 ,
118, 319.

Tedone, i 5 i.

Tonelli (L.), x, 26, iio. Il 8, 120, 123 ,
128.

Tricomi, 279, 280.

Urysohn, i 3 .

Vallée-Poussin (de La), i5.

Villat, 279, 282.

Vitali, 12, III, 125 .

Weierstrass, lo, 25 , 62, 63 , 109, 245 .
Weyl, 276.

Whittaker, i 5 i, 177.

Wiener, 106.

Zaremba, iio.

INDEX ALPHABÉTIQUE DES MATIÈRES

PnRi's.

Analyse générale i i

Approximations successives :

Application à l’équation de

Fredholm

Application à réquation de

Volterra i^o

Pour les écpiations intégrales
non linéaires 3 i 3 , 3 i 8

Borel-Lchesgue :

Extension du Ihcorème de — . 21

Caractéristique d'une fonction,.. 167

Composition :

De deuxieme esi)èce 23 'J

De première espece i 4 '^

Équations intégrales de com-
position 335

Continuité :

D’une fonctionnelle 23

Élémentaire, d'ordre zéro 27

Élémentaire, d’ordre p 29

En moyenne 4 i

Uniforme 24

Convergence :

En mesure 32

En moyenne 44

Chjcle fermé :

Groupe du — i 49

Dérivation et différentiation :
Dérivation d’ordre fraction-

naire 174

Dérivation d'une fonctionnelle

composée 90

Dérivées et différentielles des

fonctionnelles 70

Dérivées et différentielles d’or-
dre supérieur 83

Deux points de vue sur les déri-
vées et différentielles 78

Différentielles de Fréchet 89

Inversion de deux dérivations
fonctionnelles 8 ^, 86 , 9^

Déterminant :

De récjuation de Fredholm. . . 225

D’une transformation fonc-

tionnelle 317

Théorème de Hadamard.... 227

Diagonale :

D’une fonction 167

Distance :

Dans un espace abstrait 17

Élémentaire, d’ordre zéro .... 27

Élémentaire, d’ordre p 29

En moyenne 42

Ensemble :

Champs fonctionnels 8

Ensembles abstraits 12

Ensembles compacts 19

Ensemble dérivé fermé 18

Mesure d’un ensemble... i 5 , 36

Mesure inférieure à un nombre

donné 32

Mesure nulle 32

INDEX ALPHABÉTIQUE DES MATIÈRES.

S.'Vi

, . Pa^es.

Equations aux ramifications de

Schmidt S'îo

Équations intégrales :

D’Abel lyi

De Liouville 173

De Picard (troisième espèce) . . . 277

De Sonine 175

Où figurent des valeurs princi-
pales d’intégrales 278

Équation intégrale de Fredholm de
deuxième espèce :

Équation associée 281

Équation homogène 237

Équations singulières 275

Intégrales multiples 265

Les trois principes 227

Passage du fini à l’infini 222

Systèmes 263

Équation intégrale de Fredholm de
première espèce 3o8

Équations intégrales de Volferra
de deuxieme espèce :

A deux limites variables 21.4

Cycle fermé i/|8

Intervalle d’intégration infini. 204

Intégrales multiples 1 5i

Les trois principes i36

Passage du fini ù l’infini i33

Noyau infini 168, 201

Systèmes i58

Équations intégrales de Volt erra
de première espèce :

A deux limites variables 21 i

Cas où la diagonale du noyau

è un zéro isolé i8r

Intégrales multiples i56, 161

Lien avec les équations diffé-
rentielles 162

Noyau infini d’ordre a 169

Noyau logarithmique ........ 177

Passage du fini a l’infini i52

Réduction à une équation de

deuxième espèce i53

Systèmes 160

Équations intégrales non linéaires :

A limites variables 333

De Lalesco 3 12

Méthode générale do Volterra. 3i5

Procédé de Schmidt 3*24

Équations intégra- jonctionnelles :

De Picard 208

Généralisations 21 3

Résultats de M. Popovici. .... 210

Espace :

Abstrait 16

Analyti(jne 11

Complet 18

Des fonctions holomorphes de

Frcchet 19

Des fonctions mesurables. .... 3o

Distanciable 16

Fonctionnel 9

Hilbertien n

de Fréchet 16

Fonctionnelles :

Analytiques 12, 69

Bilinéaires 6^

Définies dans un (‘iisomble

abstrait i3

Exlremum 24

Linéaires 49

Normales do P. Lévy 66

Régulières 48, 60

Représentations de Hadamard
et de Hiesz pour les lonction-

nelles linéaires 52, 55

Séries de fonctionnelles homo-
gènes 67

Fonctions :

Absolumoiit continues ni

Additives i4

Arguments (Fonctions argu-
ments) 6

D’ensemble l4

D’une infinité de variables. . . lo

D’une ligne 7

INDEX ALPHABÉTIQUE DES MATIÈRES.

I*aj;es.

D*un hyperespace 7

Également bornées 20

Également continues sio

Fondamentales 9-43

Fondamentales de Schmidt. . . 3 o 5

Mesurables 87

Orthogonales 243

Principales 255

Sommables 39

Genre :

Du déterminant de Fredholm 245

Inégalité de Bessel 291

Extension 3 oi

Intégrale :

De Lebesgue 3 o

De Stieltjes i4, 56

Multiple de Stieltjes 66

Quasi régulière 112

Régulière, positive ou négative 1 12

Valeur principale d’une — . . . 278

Intégration des fonctionnelles :
Extension de la formule de

Stokes 9 ^

Généralisation de l’intégrale

multiple loi

Valeur moyenne dans l’espace

fonctionnel 102

Mono mes fonctionnels :

Définition 821

Séries régulièrement con\er-

gentes 323

Noyaux :

Ambigus

Canoniques

Discontinus

Fermés

Infinis 166,

Itérés (puissances de composi-
tion) i 36 , 233 ,

2^99

259

266

298

201

235

3 V 1

Logarithmiques 177

Orthogonaux 249

Positifs 299

Principaux 248

Résolvants i 36 , 147, 227

Symétriques 285

Symétriques gauches 3 o 3

Symétrisables 3o2

Ordre :

D’une fonction 167

Principe de passage du discontinu
au continu 3

Semi-continuilé :

D’une fonctionnelle 26, ii 3

Extension de la — 119

Théorèmes sur les maxima et

minima 26, 120

Séries du type de Fourier :

Définition, constantes de Fou-

rier 291

Série convergente en moyenne. 298
Théorème de Fischer-Riesz . . , 295

Théorème de Hilbert 296

Théorème de Schmidt 807

Suites :

Biorthogonales et normales. . . 3 oi

Orthogonales 289

Orthogonales et normales 289

Système orthogonal et normal

complet 293

Taylor :

Extensioii de la formule de — . 85

Trace d'un noyau 244

Transformation fonctionnelle :

Et opérateur fonctionnel 6

Inversion 129, 3 16

Valeurs fondamentales :

Ou singulières, ou caractéris-
tiques 2'|3

VOLTBRHA

23

3 3 /| INDEX ALPHABÉTIQUE DES MATIÈRES.

P«ftCS.

Variations [Calcul des) :

Équation d'Euler. . . qS, 107,

Et calcul fonctionnel 107

Méthode directe ni

Principe de Dirichlet 109

Voisinage :

Élémentaire, d’ordre zéro. *28, 112

Élémentaire, d’ordre p 29

En moyenne 44

Weierstrass ( Généralisation des
théorèmes de] :

Sur les fonctions continues
obtenues comme limites de

polynômes 63

Sur les limites supérieure et
inférieure des fonctions con-
tinues 25

TABLE DES MATIÈRES

Page s.

Préface vu

LIVRE I.

Généralités sur les fonctionnelles.

(’.IIAI'ITHK I.

La notion de fonctionnelle.

I. Exemple préliminaire l

II. La notion de fonctionnelle *]

in. Champs fonctionnels 8

IV. Fonctionnelles et fonctions d’une inlinité de variables lo

V. Ensembles abstraits ef analyse générale \‘X

(biAïuTur: IL

C'otUinuiié des fonctionnelles et questions connexes.

L Limite et distance dans un ensemble abstrait ii\

Espace (L), iG; espace distaiiciable, 17; espace complet, 18; (‘useml>l<*
compact, 19; extension du théorème d(ï Bor<‘l-T..el)esjçue,

IL Continuité et semi-continuité d’une fonctionnelle ■> I

Extrcinum, ‘j/\; semi-continuité, ?().

III. Le cas du calcul fonctionnel. Distances et continuités élémentaires. .>7

IV. L’espace des fonctions mesurables. Digression su^l’intégrale de

Lebesgue

Intégrale d’uno fonction bornée, 33 ; fonctions sommables, 39.

V. Autre définition de la distance : distance et continuité en moyenne.

‘ 23 .

356

TABLE DES MATIÈRES.

Chapitre HT.

Fonctionnelles linéaires. Autres types simples de fonctionnelles.

Pages.

T. Fonctionnelles linéaires 4 ^

Représentation de Hadamard, 62; représentation do Riesz, 55 ; cas de la
continuité en moyenne, 58 ; cas de la continuité élémentaire d’ordre p, 58 »

IL Fonctionnelles du second degré et de degré supérieur 59

Fonctionnelles régulières, 59; généralisation du résultat de Riesz, 63 .

III. Séries de fonctionnelles homogènes 67

Chapitre IV.

Opérations sur les fonctionnelles,

I. Dérivée et différentielle d’une fonctionnelle 70

Dérivée fonctionnelle, 7 î ; passage à la différentielle, 78.

II. Dérivées et différentielles d’ordre supérieur. Extension de la formule

de Taylor 83

Différentielles de Fréchet, 89; dérivation d’une fonclionnello composée, 90.

III. Exemples 93

IV. L’intégration des fonctionnelle? 96

Détermination d’une fonctionnelle dont on connaît la dérivée, 96; la notion
<le moyenne dans Fespaco fonctionnel, lOi.

Chapitre V.

Le calcul fonctionnel et les méthodes nowelles du Calcul des suiriaiions.

1 , Remarques générales 107

II. Méthode directe pour l’étude du maximum, ou minimum d’une

intégrale simple 111

Semi-continuité, condition nécessaire, ii 3 ; condition suffisante, 117; exten-
sion, 119; existence du minimum, 120; l’équation d’Euler,

LIVRE IL

Théorie des équations intégrales.

Chapitre VI.

Gémralitès, Équations intégrales de V^olterra.

t. Préliminaire : inversion d’une transformation fonctionnelle 129

IL L’équation linéaire de Volterra de seconde espèce 182

TABLE DES MATIÈRES.

357

Problème à n inconnues correspondant, i33; passage à Téquation inté-
grale, i35; principes fondamentaux, i39; méthode d’approximations succes-
sives, i4o; notion de composition, 142; noyau fonction de ;/ — x, i48*, intégrales
multiples, i5i,

III. Équation de Volterra de première espèce i5‘i

*

K {y, y) ne s’annule pas, i53; le symbole K i55; cas des intégrales
multiples, i57.

IV. Système d'équations de Volterra i 58

Cas des intégrales multiples, 161.

V. Lien avec les équations différentielles 162

Chapitre VII.

Compléments aux résultats précédents. Autres types d* équations de Vùlterra.

I. Noyaux infinis pour y = x ï66

Puissances d<i l’uiiité, 1G8; équation do seconde espèce dont le noyau est
d'ordre a, 168; équation de première espèce, 1G9; équation d’Abel, 17 1;
équation do Lîouville, i73; noyaux logarithmiques, 177.

II. Équations de première espèce dans le cas où la diagonale du noyau a

un zéro isolé i8i

Indication sur la méthode de Lalcsco, 194; méthode de M. Pérès, 197;
indications sur d’autres cas, 200.

III. Résultats généraux concernant les noyaux non bornés. Cas où l’inter-

valle d’intégration est infini

Noyaux absolument intégrables, 201; noyau non intégrable, 2o3; intervalle
d’intégration infini, 20f\,

IV. Équations dites intégro-fonctionnelles » ‘208

V. Équations de Volterra avec les deux limites de l’intégralo variables. ^t 4

Chapitre VIII.

L'équation intégrale de Fredholm.

L Cas limite d’un système algébrique. Sa résolution quand le détermi-
nant n’est pas nul

Les trois principes, 23i; l'équation associée, 23i; approximations succes-
sives, 232; composition de seconde espèce, 234-

II. Cas où le déterminant est nul ‘^36

Équations homogènes, 237; l’équation avec second membre, 2f\\ .

III. Propriétés du déterminant et du noyau résolvant 241

Série donnant log A(X), 244î genre de A (X), 246; relations caractérisant les
noyaux résolvants, 247-

IV. Décomposition d’un noyau en noyaux principaux 248

358

TABLE DES MATIÈRES.

Paries.

Noyau principal, -> 4 ^; orthogonalité de noyaux, ?. 49 i équations dont le noyau
est somme de noyaux orthogonaux, 260; décomposition d’un noyau, 253 .

V. Décomposition d’iin noyau principal en noyaux canoniques !254

Noyaux — X, (t) 255 ; réduction du noyau principal, 257; résolvante

canonique, 259 ; conséquences, 2G1.

Chapitre IX.

Compléments. Systèmes tV équations intégrales-, cas des intégrales multiples.

Noyaux discontinus.

I. Systèmes et cquaiious où figurent des intégrales multiples 26]

11. Noyaux discontinus

vXpproximatioiis successives, 268; extension de la méthode do Fredholm, 2Ù9;

■‘“y»'-’'

111. Cas singuliers. Intégrales prises en valeurs prim ipales 9.75

Équations de M. Picard, 277; valeurs principales, 278.

(iH A PITRE X.

Noyaux spéciaux. Suites orthogonales et biorthogonales.

L'équation de Fredholm de première espèce.

I. Fonctions i'ondamentales d'un noyau symétrique 9.85

II. Notion de suite orthogonale. Développements en série du type de

Fourier 988

III. Autres types spéciaux de noyaux 999

Noyaux syraétrisahles, 3 o‘>; noyaux symétriques gauchos, 3 o 3 .

IV. Noyau dissymétrique. Fonctions fondamentales de Schmidi 3o5

V. Équation de Fredholm de première espèce 3o8

Chapitre XI.

Les équations intégrales non linéaires.

I. Étude de quehjues cas simples 3li

II. Les résultats généraux de M, Volterra 3i5

III. Les équations de Schmidt. Cas où le déterminant n’est pas nul 390

Monomes fouet ioniuds, 821 ; équations d(‘ Sclimidt, 324 ; unicité, S'iG.

IV. Déterminant nul. É^quations aux ramilications 397

V. Obtention de résultats non locaux 33 1

VI. Cas des limites variables 333

TABLE DES MATIÈRES.

■55«j

Paftes.

VhiiLiOGRAPiiiE • Livre 1 337

Livre II 3/j2

Index des Auteurs cixÉs 34<J

Index alphabétique des matières 35 1

Table des matières 355

LIBRAIRIE-IMPRIMERIE

GAUTHIER-VILLARS

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